奥数练习题之除法中的巧算(含答案)

除法中的巧算

(一)学习方法指导

我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除

数同时乘以或同时除以一个数(零除外)，它们的商不变。

一般有这样的公式：a+5=(axx〃)

或=(a++0+〃)(〃声0)

如：12+3=(12x2)+(3x2)=24+6=4

或12+6=(12+2)+(6+2)=6+3=2

例1.用简便方法计算下列各题。

(1)825+25(2)47700+900

分析：(1)(2)可以利用“商不变的性质”去计算。

(1)825+25

=(825x4)+(25x4)

=3300+100

=33

想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。

(2)47700+9(X)

=(47700=100)+(900+100)

=477+9

=53

看到被除数，与除数末尾都有00,这样让它们同时缩小100倍。

在除法运算中，还有两个数的和，(或差)除以一个数，可以用这个数分别去除这两

个数(在都能整除的情况下)，再求两个商的和或差。

一般公式：(a+Z?)+c=a+c+/7+c

(a-b)+c=a+c-b+c

如：(12+6)+2=12+2+6+2=6+3=9

(12-6)+2=12+2-6+2=6-3=3

这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

例2.用简便方法计算。

(1)(250+165)+5

(2)(702-213-414)-3

分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和(差)除以一个数”的

除法运算性质。

(1)(250+165)+5(2)(702-213-414)^-3

=250+5+165+5=702+3-213+3-414+3

=50+33=234—71-138

=83=25

除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的

性质：

(1)两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的

除数。

一般有：a+b+c=a+c+b

如：12+3+2=12+2+3

(2)两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因

数相乘。

一般有：axb+c=a+cxb

或=〃+cxa

如：12x6+2=12+2x6=36

或：12x6+2=6+2x12=36

例3.计算下面各题。

(1)525+7+5

(2)128x5+8

分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。

(1)525+7+5(2)128x5+8

=525+5+7=128+8x5

=1054-7=16x5

=15=80

在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质：

1.一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。

一般公式：a+=a+b+c

如：12+(6x2)=12+6+2=1

例5.简便计算下面各题。

(1)756+(7x9)

(2)1260+7+9

分析：利用以上公式计算，发现(1)被除数+两个数的积，可以用下面公式计算：

(1)756+(7x9)(2)1260+7+9

=756+7+9=1260+(7x9)

=108+9=1260+63

=12=20

2.一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。

一般的有：ax(/?+c)=axb+c

如：12x(64-2)=12x64-2

例6.简便计算。

(1)720x12+4

(2)125x(8-2)

分析：以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。

(1)720x12+4(2)125x(8+2)

=720x(12+4)=125x8+2

=720x3=1000+2

=2160=500

3.一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。

一般有：”(b+c)=a+bxc

如：12+(6+2)=12+6*2=4

例7.简便计算下面各题。

(1)216+24x6

(2)8750004-(10004-8)

分析：这两题即根据小③性质去做，可“添括号”。

(1)216+24x6(2)875000-(1000-8)

=216+(24+6)=875000-1000x8

=216+4=875x8

=54=7000

以上6题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。但要注意：我们在

使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。如果商有余数，在使

用这些运算性质时，余数是会发生变化的。如：

324+(9x7)324+(9x7)

=324+63=324+9+7

=5……9=36+7

=5....1

例8.巧算下面各题。

(1)1326+39(3)248x68-17x248+248x48

(2)520x125(4)999x99x9

分析：以上4题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或

转化，从而使计算简便。另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方

法，有时可反复使用有关的定律和性质。

(1)1326+39

=1326+(13x3)

=1326+13+3

=102+3

=34

这题我们将39分解为39=13x3,然后按性质去做。

(2)520x125

=520x(1000+8)

=520x1000+8

=520-8x1000

=65x1000

=65000

此题将125转化为1000+8=125

(3)248x68-17x248+248x48

=248x(68-17+48)

=248x99.........这一步将99转化为(100—1)

=248x(100-1)

=248x100—248

=24552

此题直接利用乘法分配律计算就可以。

(4)999x99x9

=(1000-1)x99x9

=(99000-99)x9.........再次转化为(10-1)

=98901x(10-1)

=989010-98901

=890109

对接近100的两位数相乘的速算。

接近100的两位数，用被乘数减去，100减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再

用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。或用乘数减去,

100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位，再用100减去被乘数的差与100减去乘数

的差相乘，所得的结果作积的后两位。我们用这种方法计算。

例9.计算：98x91

分析：因为100—98=2……＜1＞差对98而言

100—91=9……＜2＞差对91而言

所以98—9=89或91—2=89

2x9=182x9=18

所以98x91=891898x91=8918

用这种方法，有两种特例需要注意：

特例1.用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时，要在这个一位数前添

0,否则积变成三位数就错了。

如：96x98速算为：

100—96=4.........＜1＞差

100-98=2……＜2＞差

96-2=94

4x2=8

.♦.96x98=9408

(注意8前添0)

发现：差＜1＞、差＜2＞,用第一个因数一差＜2＞,再用差＜2＞X差＜1＞,最后结果是第一

个因数X差＜2＞的结果做为前两位数，差＜2＞X差＜1＞的结果做为后两位数。如果结果为一

位数，前面要添0。

特例2.用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于10时，要将百位作为向前进

位的数，否则积变成五位数就错了。

如：93x84速算为：

100-93=7……<1>差

100-84=16……<2>差

93-16=77

16x7=112

.•.93x84=7812(注意百位上的1要向前进位)

［答题时间:30分钟］

练习：

(1)97x96(2)95x93(3)98x97

(4)99x92(5)88x89(6)95