第4章 实数【单元提升卷】（解析版）

第4章实数【单元提升卷】（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）1．（2023秋•滕州市期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图，下列结论错误的是（）A．a＜1＜b B．1＜﹣a＜b C．1＜a＜b D．﹣b＜a＜﹣1【分析】根据实数a，b在数轴上的位置结合绝对值表示该点到原点的距离即可得出答案．【解答】解：根据实数a，b在数轴上的位置结合绝对值表示该点到原点的距离得出a＜﹣1＜0＜1＜b，且|a|＜|b|，即a＜1＜b，A选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意；1＜﹣a＜b，B选项正确，不符合题意；﹣b＜a＜﹣1，D选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了实数与数轴上的点一一对应的关系，熟练掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数是解题的关键．2．（2023秋•鲤城区校级期中）下列各数：、π﹣3.14、、，是无理数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据无理数的定义逐一判断即可．【解答】解：，下列各数：、π﹣3.14、、，是无理数的有、π﹣3.14．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，首先求出，然后根据无理数的概念求解即可．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．3．（2023秋•贵阳期中）正方形的面积是27，估计它的边长大小在（）A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间【分析】首先求出正方形的边长，进而估算其边长的取值范围．【解答】解：∵一个正方形的面积为27，∴正方形的边长为：，∵25＜27＜36，∴5＜＜6，∴它的边长在5和6之间．故选：D．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出正方形的边长是解题关键．4．（2023春•东兰县期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：，∵＜＜，∴4＜＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．5．（2023•徐州）的值介于（）A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行估算即可．【解答】解：∵1600＜2023＜2025，∴＜＜，即40＜＜45，故选：D．【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．6．（2023秋•锡山区期中）圆周率“π”由四舍五入得到的近似数3.14，精确到（）A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位【分析】精确度由最后一位数字所在的位置确定，一般来说，近似数四舍五入到哪一位，就精确到哪一位．【解答】解：∵圆周率“π”由四舍五入得到的近似数3.14，3.14中的4在百分位，∴精确到百分位，故选：C．【点评】本题考查近似数，经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般地：近似数四舍五入到哪一位，就精确到哪一位．7．（2023秋•碑林区校级期中）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且C，B两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是（）A．2﹣ B． C． D．【分析】根据题意分别求得点B在数轴上所表示的数，然后由AB＝AC来求点C所表示的数．【解答】解：设点C所表示的数是a．∵点A、B所表示的数分别是1、，∴AB＝﹣1；又∵C，B两点到点A的距离相等，∴AC＝1﹣a＝﹣1，∴a＝2﹣．故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系．解题时，采用了“数形结合”的数学的思想．8．（2023秋•榆次区期中）如图是一个数值转换器，如果输入的x为81，则输出的y值为（）A． B． C． D．【分析】输入81，依次求得各数的算术平方根，直到得到无理数即可．【解答】解：输入的x为81，则＝9，它是有理数，返回继续运算；＝3，它是有理数，返回继续运算；它是无理数，输出结果；故选：A．【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（2022秋•仪征市期末）全球七大洲的总面积约为149480000km2，对这个数据精确到百万位可表示为1.49×108km2．【分析】先用科学记数法表示，然后根据近似数的精确度四舍五入即可．【解答】解：149480000km2≈1.49×108km2（精确到百万位）．故答案为1.49×108．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．10．（2023秋•未央区期中）一个正数的平方根分别是x+1和4﹣2x，则这个正数是36．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知x+1+4﹣2x＝0，解得：x＝5，x+1＝6，∴这个正数是62＝36，故答案为：36．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．11．（2023秋•海曙区期中）若|n+2|＝0，则m﹣n的值为3．【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵|n+2|＝0，∴1﹣m＝0，n+2＝0，解得：m＝1，n＝﹣2，∴m﹣n＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．12．（2023秋•沈河区校级期中）已知x是的整数部分，y是的小数部分，则是9．【分析】先根据题意求出x，y的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴x＝3，y＝﹣3，∴＝（﹣3﹣）2＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出x、y的值是解题的关键．13．（2023•淮阴区三模）8的立方根是2．【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可得到答案．【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根是2．故答案为：2．【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．14．（2023•雁塔区校级模拟）比较大小：＜4（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先估算2的值，然后判断即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴2＜2＜4，∴2＜4．故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练准确估算无理数的大小是解题的关键．15．（2023秋•青岛期中）如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是3．【分析】由于正方形的面积为12，利用算术平方根的定义可得到正方形的边长为，根据9＜12＜16可得到与最接近的整数为3．【解答】解：∵正方形的面积为12，∴正方形的边长为，∵9＜12＜16，∴3＜＜4，∵9＜12＜12.25，∴3＜＜3.5，∴最接近的整数为3．故答案为：3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根．能够正确估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键．16．（2023秋•济阳区期中）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是．【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据圆的性质，可得B点坐标．【解答】解：由勾股定理，得OB＝＝．B在原点的右侧时，B点表示的数为，B在原点的左侧是，B点表示的数为﹣，故答案为：．【点评】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出OB的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．17．（2023秋•衡南县期中）已知a2＝16，＝2，且ab＜0，则＝2．【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝±4，b＝8，∵ab＜0，∴a＝﹣4，b＝8，∴＝＝2故答案为：2【点评】本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．18．（2023秋•苏州期中）定义：不超过实数x的最大整数成为x的整数部分，记作[x]．例如，．按此规定，＝﹣3．【分析】先估算出的值的范围，从而估算出1﹣的值的范围，然后根据定义的新运算，即可解答．【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3，∴﹣3＜1﹣＜﹣2，∴＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，19-24题每题8分，25-26题9分，共66分．）19．（2023秋•衡南县期中）计算：﹣|5﹣|．【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可．【解答】解：原式＝10﹣5﹣（5﹣）＝10﹣5﹣5+＝．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（2023秋•武进区期中）求x的值：（1）（x﹣2）2﹣16＝0；（2）（x+3）3＝﹣27．【分析】（1）先移项，然后用开平方法进行解答；（2）根据开立方的方法即可得到结论．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣16＝0，（x﹣2）2＝16，∴x＝6或x＝﹣2；（2）（x+3）3＝﹣27，x+3＝﹣3，∴x＝﹣6．【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．21．（2023秋•惠安县期中）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）若x的算术平方根为4，求a的值；（2）如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．【分析】（1）先求出x的值，再根据x＝1﹣2a列出方程，求出a的值；（2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出a，然后求出x，最后求出这个正数．【解答】解：（1）因为x的算术平方根为4，所以x＝42＝16，即1﹣2a＝16，所以；（2）根据题意得：x+y＝0，即：1﹣2a+3a﹣4＝0，所以a＝3，所以x＝1﹣2a＝1﹣2×3＝1﹣6＝﹣5，所以这个正数为（﹣5）2＝25．【点评】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系．22．（2023秋•碑林区校级期中）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|+．【分析】由数轴可得b＜a＜0＜c，则c﹣a＞0，a+b＜0，然后利用算术平方根及绝对值的性质，立方根的定义进行化简即可．【解答】解：由数轴可得b＜a＜0＜c，则c﹣a＞0，a+b＜0，原式＝c﹣a﹣[﹣（a+b）]+b＝c﹣a+a+b+b＝2b+c．【点评】本题考查实数与数轴，算术平方根及绝对值的性质，立方根的定义，结合已知条件求得c﹣a＞0，a+b＜0是解题的关键．23．（2023秋•碑林区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求2a+b+c的算术平方根．【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a+b﹣9的立方根是2，∴15+b﹣9＝8，解得：b＝2，∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴c＝4，∴2a+b+c＝10+2+4＝16，∴2a+b+c的算术平方根为4．【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．24．（2023秋•李沧区期中）我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请根据以上信息，回答下列问题：（1）整数部分是5，小数部分是﹣5；（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求12a+7b的立方根；（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+y的值．【分析】（1）估算出在哪两个连续整数之间即可；（2）分别估算出及在哪两个连续整数之间后即可求得a，b的值，然后将其代入12a+7b中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案；（3）估算出9﹣的范围后即可确定x，y的值，然后将其代入x+y中计算即可．【解答】解：（1）∵5＜＜6，∴的整数部分是5，小数部分是﹣5．故答案为：5，﹣5；（2）∵的整数部分为a，且3＜＜4，∴a＝3，∵的整数部分为b，4＜＜5，∴b＝4，∴12a+7b＝12×3+7×4＝64，∴12a+7b的立方根是4．（3）∵2＜＜3，∴6＜9﹣＜7，∵，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝7，y＝﹣2，∴x+y＝7+（﹣2）＝5+．则x+y的值为5+．【点评】本题考查的是无理数的计算，估算无理数的整数部分是解题关键．25．（2023秋•海曙区期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为216cm3．（1）这个魔方的棱长为6cm．（2）图1的侧面有一个正方形ABCD，求这个正方形的面积和边长．（3）将正方形ABCD放置在数轴上，如图2所示，点A与数2表示的点重合，则D在数轴上表示的数为（）．【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方，再利用立方根的含义求解即可；（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度，利用勾股定理求解即可；（3）由，把A往左边平移个单位即可得到D点表示的数．【解答】解：（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得a3＝216，∴a＝6，故答案为6．（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得8b3＝216，∴b＝3∴所以根据勾股定理得AD2＝32+32＝18，∴，正方形的面积为18，答：这个正方形的面积是18cm2，边长是．（3）由（2）知，，