清单07 双曲线及其性质 （11个考点梳理题型解读提升训练）（原卷版）

清单07双曲线及其性质（11个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．【考点精讲】考点1：双曲线的定义与标准方程例1．（2023·重庆·高二校联考期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（

）A． B． C．或 D．不确定例2．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）若曲线C上存在点M，使M到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（

）A． B． C． D．例3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．例4．（2023·高二课时练习）如图所示，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．例5．（2023·四川成都·高二期末）已知双曲线的两个焦点分别为，且过点．（1）求双曲线的虚轴长；（2）求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．例6．（2023·陕西咸阳·高二校考期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)一个焦点为，且离心率为；(2)经过两点.例7．（2023·河北沧州·高二校联考期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；(2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.考点2：双曲线方程的充要条件例8．（2023·上海·高二上海师大附中校考期中）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件例9．（2023·宁夏银川·高二银川二中校考期中）若方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例10．（2023·江苏常州·高二校联考期中）方程表示实轴在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例11．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（

）A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或C．曲线不可能是圆D．若为椭圆，且长轴在轴上，则例12．（2023·江苏常州·高二统考期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．且考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题例13．（2023·河北石家庄·高二校联考期中）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A． B． C． D．例14．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（

）A． B．3 C．4 D．6例15．（2023·福建南平·高二校考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（

）A． B． C． D．例16．（2023·广东中山·高二中山市华侨中学校考期末）为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的面积是（

）A．2 B．4 C．8 D．16例17．（2023·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考阶段练习）设点在双曲线上，若､为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（

）A． B． C． D．例18．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（

）A．16 B．18 C．21 D．26考点4：双曲线上两点距离的最值问题例19．（2023·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考期末）已知定点，且动点满足，则的最小值是A． B． C． D．例20．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（

）A．16 B．18 C． D．例21．（2023·河南郑州·统考一模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例22．（2023·广东韶关·高二统考期末）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．4考点5：双曲线上两线段的和差最值问题例23．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．例24．（2023·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8例25．（2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．例26．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11例27．（2023·广东肇庆·统考二模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．例28．（2023·吉林·高二统考期中）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．例29．（2023·安徽滁州·高二统考期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．考点6：离心率的值及取值范围例30．（2023·辽宁·高二校联考期中）已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是．例31．（2023·江苏南通·高三统考期中）已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为．例32．（2023·河北邢台·高二校联考期中）如图，，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A，若，则C的离心率为．例33．（2023·浙江温州·高二校联考期中）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为．例34．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考期中）已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，设两曲线的其中一个交点为P，且，则双曲线的离心率为．例35．（2023·江苏常州·高二统考期中）双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为.例36．（2023·江苏常州·高二常州市第一中学校考期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是.例37．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）已知双曲线为双曲线的右焦点，点在双曲线的右支上，为关于原点的对称点，且，若，则双曲线的离心率为.例38．（2023·广西玉林·高二统考期中）已知双曲线左右焦点分别为，，过的直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为.考点7：双曲线的简单几何性质问题例39．（多选题）（2023·浙江金华·高二浙江师范大学附属中学校考阶段练习）已知双曲线的方程：，下列说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．焦距为 C．渐近线方程为 D．离心率为例40．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期中）已知双曲线，则（

）A．的焦点坐标是B．的渐近线方程为C．的虚轴长为D．的离心率为例41．（多选题）（2023·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（

）A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为C．C的实轴长为2 D．C的右焦点到渐近线的距离为例42．（多选题）（2023·河北沧州·高二校联考期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，以线段为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（

）A．圆M的方程为 B．双曲线C的离心率为C．双曲线C的渐近线方程为 D．的面积为例43．（多选题）（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考开学考试）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为2B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则C．若是双曲线C的一个焦点，则D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2例44．（多选题）（2023·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线，当变动时，下列结论正确的是（

）A．的焦点恒在轴上B．的焦距恒大于4C．的离心率恒大于2D．的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变考点8：利用第一定义求解轨迹例45．（2023·四川绵阳·高二四川省江油市第一中学校考期中）已知动圆与圆，圆中的一个外切､一个内切，求动圆圆心的轨迹方程为例46．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为．例47．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为．例48．（2023·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为.例49．（2023·福建三明·高二校联考期中）双曲线：实轴的两个顶点为，，点为双曲线上除，外的一个动点，若，，则动点的轨迹方程是.例50．（2023·四川乐山·高二统考期末）从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为.例51．（2023·安徽淮北·高二淮北一中校考期中）已知，，在中，，则顶点的轨迹方程为.例52．（2023·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知，，动圆与，均外切，则动圆圆心的轨迹方程为.考点9：双曲线的渐近线例53．（2023·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知A，B为双曲线E：（，）的左、右顶点，M为E上一点，若点M到x轴的距离为2，，，则E的渐近线方程为．例54．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为.例55．（2023·浙江·高二校联考期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为.例56．（2023·全国·模拟预测）已知某双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为．例57．（2023·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为.例58．（2023·黑龙江鸡西·高二校考期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是．例59．（2023·陕西商洛·高二校考期末）如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为．考点10：共焦点的椭圆与双曲线例60．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为．例61．（2023·湖北·高二华中师大一附中校考期中）已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为.例62．（2023·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左、右焦点，M是椭圆和双曲线在第一象限的交点.已知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为.例63．（2023·浙江·高二校联考期中）已知椭圆和双曲线的焦点相同，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为.例64．（2023·山东青岛·高二校考期中）我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若P为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率．例65．（2023·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为.考点11：直线与双曲线的位置关系例66．（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期末）已知直线与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？例67．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.例68．（2023·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期中）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．(1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值．例69．（2023·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.例70．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知定点，动点.直线MA，MB的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程:(2)直线与点的轨迹的交点为C，求的面积（为坐标原点）.例71．（2023·重庆·高二统考期末）双曲线的离心率为，虚轴的长为4.(1)求的值及双曲线的渐近线方程；(2)直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.例72．（2023·宁夏银川·高二六盘山高级中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.（1）求双曲线的标准方程;（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程.例73．（2023·陕西西安·高二校考期末）已知双曲线及直线．（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．【提升练习】一、单选题1．（2023·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·高三统考期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．33．（2023·浙江·高二校联考期中）过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为点，交双曲线的左支于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．3 D．54．（2023·河北·高二校联考期中）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线右支交于点，原点到直线的距离为，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．5．（2023·浙江·高二校联考期中）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（

）A． B． C． D．6．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知实数，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·河北邯郸·高二校联考期中）已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023·江苏徐州·高二统考期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·江苏常州·高二常州市第一中学校考期中）已知曲线，以下说法正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是两条直线C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，则是圆，其半径为10．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则D．若，则为定值11．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（

）A．为线段的中点 B．点在直线上C． D．12．（2023·广西玉林·高二校联考阶段练习）已知椭圆与双曲线，点，，是它们的左、右焦点，则下列说法正确的是（

）A．过原点与点的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点B．若在椭圆上，的最大值为5C．若在椭圆上，的最大值为D．若在双曲线上，，则三、填空题13．（2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）如图，从双曲线的左焦点F引圆的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则．14．（2023·河北保定·高二校联考期中）已知双曲线的渐近线与