专题16 因式分解分类总复习（原卷版）

专题16《因式分解》单元分类总复习考点一因式分解【知识点睛】因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算（故：将因式分解的结果乘出来可以用来检验因式分解的正误）因式分解基本步骤：一“提”→提取公因式（公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式；提公因式一定要一次提完）二“套”→套用乘法公式（两项想平方差公式、三项想完全平方公式）分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底！！！【类题训练】1．下列变形中，是因式分解的是（）A．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1 C．4x2y＝2x•2xy D．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y）2．下列分解因式正确的是（）A．4x3﹣x＝x（4x+1）（4x﹣1） B．﹣x2+xy+x＝﹣x（x﹣y+1） C．x3+2x2+x＝x（x+1）2 D．x2﹣3x+9＝（x+3）（x﹣3）3．下列多项式可以用平方差公式进行因式分解的有（）①﹣a2+b2；②x2+x+；③x2﹣4y2；④（﹣m）2﹣（﹣n）2；⑤﹣121a2+36b2；⑥﹣s2+2s．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（）A．﹣x2+16y2 B．81（a2﹣2ab+b2）﹣（a+b）2 C． D．﹣x2﹣y25．若多项式4x2﹣6mx+9能用完全平方公式分解因式，则m的值是（）A．m＝±2 B．m＝±1 C．m＝2 D．m＝﹣26．下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣17．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b28．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+aC．（a﹣1）2﹣a+1D．（a+2）2﹣2（a+2）+19．因式分解：x2﹣ax+4＝（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b＝（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．410．因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．11．因式分解：（1）mx2﹣my2；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．12．分解因式：（1）4x2﹣；（2）3a﹣6a2+3a3．考点二因式分解方法拓展【知识点睛】分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。先分组，分别因式分解，再利用“一提”、“二套”的步骤组合在一起。十字相乘法：应用公式→添项、拆项法：当以上因式分解的方法都不足以解决问题时，有时我们需要将某一项拆开使用，或者添加上某一项，再减去。但需要注意的是：每一步的变形都必须是恒等变形。【类题训练】13．用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（）A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）14．因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝．15．先阅读下面材料，再完成后面的问题：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，再把它的后两项分成组，并提出b，从而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）＝．（2）m2﹣mn+mx﹣nx．（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．16．因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝．17．因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．18．阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人说，无论x，y取何实数，代数式去x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数，请说明理由．19．【阅读理解】如何将x2+（p+q）x+pq型式子分解因式呢？我们知道（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得；x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+12．（2）﹣2x2﹣2x+12．20．若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．221．甲、乙两个同学分解因式2x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（2x+3）（x﹣2）；乙看错了a分解结果为（x+3）（2x+2），则a+b＝．22．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+5x﹣24＝；（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是；（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．23．若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），则p+q的值为（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣824．对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：（1）x2﹣6x﹣16；（2）x2+2ax﹣3a2．考点三因式分解的应用【知识点睛】因式分解也可以用于代数式类问题，方程类问题。比如代数式类问题，有时需要把式子的部分进行因式分解或者部分因式分解，再根据因式分解的结果解决后续问题。【类题训练】1．若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是x+1，b﹣c的值是（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．12．当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（）A．5 B．6 C．7 D．83．若s+t＝4，则s2﹣t2+8t的值是（）A．8 B．12 C．16 D．324．已知x1，x2，…，x2016均为正数，且满足M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016），N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015），则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M≥N5．若＝8×10×12，则k＝．6．如果a﹣3b﹣2＝0，那么：3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab＝．7．若x+y+z＝2，x2﹣（y+z）2＝8时，x﹣y﹣z＝．8．已知x2+x+1＝0，则x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．29．现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．小涵的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．若对于多项式（x4﹣y4），因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若x＝10，y＝6，则（x﹣y）＝4，（x+y）＝16，（x2+y2）＝136，于是可将“416136”作为密码．对于多项式9x3﹣xy2，小涵用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是（）A．123933 B．339321 C．333912 D．39123310．已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为．11．已知2a﹣b＝2，那么4a2﹣b2﹣4b+5的值为．12．若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝．13．已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于．14．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游15．观察下列分解因式的过程：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（）A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形 C．围成一个锐角三角形 D．以上选项都不正确16．如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．这个大正方形边长为a+b+c，用（a+b+c）2可求得其面积．同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和；已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，则ab+bc+ac的值是（）A．34 B．23 C．20 D．1917．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2+2020的值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．202318．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝．（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．（3）利用配方法，尝试解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．19．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（只要写出一个即可）；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三个实数x，y，z满足2x×4y×8z＝，x2+4y2+9z2＝40，求2xy+3xz+6yz的