4.2.1 等差数列的概念（8大题型）精讲（原卷版）

等差数列的概念重点：1、掌握等差数列的判定方法；2、掌握等差数列的有关性质；难点：1、理解等差数列的概念与通项公式的意义；2、能灵活运用等差数列的性质解决问题.一、等差数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列）【注意】（1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．（2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．二、等差数列的通项公式与等差中项1、等差数列的通项公式已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为：2、等差数列通项公式的推导过程如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到：，，，…所以，，，……由此归纳出等差数列的通项公式为．3、等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq\f(a＋b,2).三、判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法：（常数）是等差数列；2、中项法：是等差数列；3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。四、等差数列的性质1、若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则.特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，.2、对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即3、若是公差为d的等差数列，则①（c为任一常数）是公差为d的等差数列；②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列；③（k为常数，k∈N*）是公差为2d的等差数列．4、若，分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列(p，q是常数)是公差为的等差数列．5、通项公式的推广：(n，m∈N*)．五、设元法巧解等差数列中常见的设元技巧1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为。六、等差数列的实际应用1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题题型一等差数列的概念【例1】（2022·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考期中）下列数列不是等差数列的是（）A．0，0，0，…，0，…B．－2，－1，0，…，n－3，…C．1，3，5，…，2n－1，…D．0，1，3，…，，…【变式11】（2023·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（）A．可能是等差数列B．一定不是等差数列C．一定是等差数列，且公差为D．一定是等差数列，且公差为【变式12】（2023·湖北孝感·高二校联考期末）设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式13】（2023·全国·高二课时练习）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（）①②③④A．1B．2C．3D．4题型二等差数列的通项与基本量【例2】（2022·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期末）已知数列，则是这个数列的（）A．第11项B．第12项C．第13项D．第14项【变式21】（2023·福建龙岩·高二校考阶段练习）已知等差数列中，，，则首项与公差分别为（）A．B．C．D．【变式22】（2023·辽宁大连·高二统考期末）在等差数列中，，，则的公差为（）A．1B．2C．4D．8【变式23】（2023·河北·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（）A．167B．168C．169D．170题型三等差中项及其应用【例3】（2023·山东日照·高二统考期中）已知，，则a，b的等差中项为（）A．B．C．1D．【变式31】（2023·重庆·高三统考期中）记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（）A．0B．C．1D．2【变式32】（2023·湖北孝感·高二统考期中）已知为等差数列，，，则（）A．B．C．D．【变式33】（2023·上海闵行·高二七宝中学校考期中）已知数列满足，且，，则．题型四等差数列的性质【例4】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则（）A．12B．18C．6D．9【变式41】（2023·河南平顶山·高二统考期末）已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（）A．3B．6C．8D．9【变式42】（2023·重庆·高二西南大学附中校考阶段练习）已知等差数列满足，则（）A．36B．42C．48D．54【变式43】（2023·广东·高二校联考期末）已知等差数列满足，，则值为（）A．1024B．C．256D．题型五设元法巧解等差数列【例5】（2022·全国·高二课时练习）三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，求这三个数．【变式51】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（）A．2，4，10，16B．16，10，4，2C．2，5，8，11D．11，8，5，2【变式52】（2023·全国·高二课时练习）已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．【变式52】（2023·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（）A．B．20C．D．题型六由等差数列构造新数列【例6】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列5，，2，，…的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为（）A．B．C．D．【变式61】（2023·辽宁锦州·高二渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（）A．4043B．4044C．4045D．4046【变式62】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为.【变式63】（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列．（1）求新数列的通项公式；（2）16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．题型七等差数列的证明【例7】（2022·湖南岳阳·统考二模）数列满足，.（1）求，；（2）证明是等差数列，并求的通项公式.【变式71】（2023·浙江绍兴·高二校考期中）已知数列满足，（），令.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.【变式72】（2023·湖北·高二校考期中）已知满足，且.（1）求；（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式.【变式73】（2023·全国·高二专题练习）设数列的前n项和为，，，．证明：为等差数列；题型八等差数列的实际应用【例8】（2023·河北保定·高二统考期末）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为寸，问大雪、寒露的日影长之和为（）A．21寸B．寸C．20寸D．寸【变式81】（2022·江苏·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）中国古代有一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A．升B．升C．升D．升【变式82】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（）A．3916年B．4190年