第4章 实数（压轴必刷30题7种题型专项训练）（解析版）

第4章实数（压轴必刷30题7种题型专项训练）一．平方根（共2小题）1．（2023秋•雁塔区校级期中）若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求2a+b+c平方根．【解答】解：∵正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，∵＝2，解得a＝5，∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，∴18的平方根是±3．【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系．2．（2023秋•德惠市校级月考）如果一个正数的平方根分别为a+2和2a﹣11，求这个正数．【分析】一个正数的平方根互为相反数，从而得到a+2+2a﹣11＝0，从而可求得a＝3，于是得到a+2＝5，从而可求得这个正数．【解答】解：∵一个正数的平方根分别为a+1和a﹣3，∴a+1+a﹣3＝0．解得：a＝3．∴a+2＝5．∵52＝25，∴这个正数是25．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，由平方根的性质求得a＝1是解题的关键．二．算术平方根（共7小题）3．（2020秋•高邮市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝0.1；y＝10；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈31.6；②已知＝1.8，若＝180，则a＝32400；（3）拓展：已知，若，则z＝0.012．【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；（2）①≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；（4）z＝0.012，故答案为：0.012．【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．4．（2020秋•天宁区校级期中）我们称长与宽之比为：1的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．（1）①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；（2）若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则k＝2n或n2（n≥0）；（3）①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为4；②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为16；③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则n＝2048．【分析】本题是新定义题，通过操作、类比寻找规律，从而解决问题．（1）根据定义，“奇异矩形”必须满足长是宽的倍，依此规律可画出图形；（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应20、21、22、…或需要n2个基本奇异矩形，（3）由勾股定理可知：奇异矩形的宽、长、对角线之比为1：，由此规律可解决问题【解答】解：如图①②，相关数据已标出，图①中，长为2，宽为2，长：宽＝2：2＝：1，符合奇异矩形的条件，图②中，长为4，宽为2，长：宽＝4：2＝：1，符合奇异矩形的条件．（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应20、21、22、…或需要n2个基本奇异矩形，故答案为：若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则k＝2n或n2（n≥0），（3）①若用32个奇异矩形组成奇异矩形，则长＝8，宽＝4，此时满足奇异矩形的条件，根据勾股定理，，故答案为：对角线为4，②若用256个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长＝16，宽＝16，此时满足奇异矩形的条件，根据勾股定理：，故答案为：16；③根据规律可知：2n个基本矩形拼成的奇异矩形，长为（）n+1，宽为（）n，则对角线为（）n×，∴（）n×＝32，∴n＝11，∴211＝2048，故答案为：2048．【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，寻找规律的应用，主要考查了学生的变换能力和动手画图操作能力．5．（2023春•芜湖期末）某小区有一块面积为196m2的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为100m2的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望？（参考数据：≈1.414，≈7.070）【分析】分两种情形，求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．【解答】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．2x•x＝100，∴x2＝50，∵x＞0，∴x＝，2x＝2，∵正方形的面积＝196m2，∴正方形的边长为14m，∵2＞14，∴当长方形的边与正方形的边平行时，开发商不能实现这个愿望．长方形花坛如图放置，设宽为2xm，长为4xm．∵正方形ABCD的面积为196m2，∴AB＝14（m），AC＝14（m），由题意2x+4x＝14，∴x＝，∴长方形EFGH的面积＝8x2≈87.1＜100，∴开发商不能实现这个愿望．综上所述，开发商不能实现这个愿望．【点评】本题考查算术平方根的性质，正方形的性质．长方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．6．（2022春•来凤县校级期中）某小区将原来400平方米的正方形场地改建300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3：2．如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？请说明理由．【分析】根据题意可以求出正方形的周长和长方形的周长，然后比较大小即可解答本题．【解答】解：把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏够用，理由：设长方形的长为3a米，宽为2a米，3a•2a＝300，解得，a＝5，∴3a＝15，2a＝10，∴后来长方形的周长是（15+10）×2＝50＝米，原来正方形的周长是：4×＝4×20＝80＝米，∵，∴把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏够用．【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出正方形的周长和长方形的周长，利用数形结合的思想解答．7．（2023秋•市南区校级期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？【分析】（1）设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，根据长方形面积列出方程求出x的值，进而可知长方形长与宽；（2）由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．【解答】解：设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，根据题意，得：5x•2x＝800，解得：x＝4或x＝﹣4（舍），∴长＝4×5＝20，宽＝4×2＝8，答：改建后的长方形场地的长和宽分别为20米、8米；（2）设正方形边长为y，则y2＝900，解得：y＝30或y＝﹣30（舍），原正方形周长为120米，新长方形的周长为（20+8）×2＝56，∵120＜56，∴栅栏不够用，答：这些金属栅栏不够用．【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．8．（2023春•乐陵市期末）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．【分析】（1）根据平方运算，可得1﹣2a，根据解一元一次方程，可得答案；（2）根据同一个数的平方根相等或互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解：（1）∵x的算术平方根是3，∴1﹣2a＝9，解得a＝﹣4．故a的值是﹣4；（2）x，y都是同一个数的平方根，∴1﹣2a＝3a﹣4，或1﹣2a+（3a﹣4）＝0解得a＝1，或a＝3，（1﹣2a）2＝（1﹣2）2＝1，（1﹣2a）2＝（1﹣6）2＝25．答：这个数是1或25．【点评】本题考查了算术平方根，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．9．（2022秋•渝中区校级期末）材料一：若a是正整数，a除以13的余数为1，则称a是“映辰数”例如：14是正整数，且14÷13＝1⋯1⋅，则14是“映辰数”；41是正整数，且41÷13＝3…2，则41不是“映辰数”材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定：F（p）＝．请根据以上材料，解决下列问题：（1）判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由．（2）若有一四位正整数q是“映辰数”，q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，且是有理数，求所有满足条件的q．【分析】（1）根据“映辰数”的定义进行判断即可；（2）由题意可知，q＝1000a+100b+10c+d，根据“q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4”可得出a，b的值，再根据“映辰数”的定义可得关于c，d的方程，再进行讨论即可．【解答】解：（1）300是“映辰数”，1029不是“映辰数”，理由如下：300是正整数，且300÷13＝23⋯1，则300是“映辰数”；1029是正整数，且1029÷13＝79…2，则1029不是“映辰数”；（2）由题意可知，q＝1000a+100b+10c+d，∵q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，∴a＝b﹣1＞0且a+b≤4，解得1＜b≤2.5，∴b＝2，a＝1，∴q＝1200+10c+d＝13×92+4+10c+d，∵q是“映辰数”，∴10c+d+4是“映辰数”，设10c+d+4＝13k+1，整理得，13k＝10c+d+3，∵是有理数，∴F（q）≥0．∴﹣22×2+10d≥0，解得d≥4.4；当k＝0时，不合题意；当k＝1时，c＝1，d＝0＜4.4，不合题意；当k＝2时，c＝2，d＝3＜4.4，不合题意；当k＝3时，c＝3，d＝6，q＝1236，F（q）＝＝＝＝（）2，符合题意；当k＝4时，c＝4，d＝9，q＝1249，F（q）＝＝＝，不符合题意；当k＝5时，c＝6，d＝2＜4.4，不合题意；当k＝6时，c＝7，d＝5，q＝1275，F（q）＝＝＝，不符合题意；当k＝7时，c＝8，d＝8，q＝1288，F（q）＝＝＝＝（）2，符合题意；当k＝8时，c＝10，d＝0，不合题意，舍．综上，符合题意的q的值为1236或1288．【点评】此题主要考查了新定义，不等式的应用，灵活应用新定义是解本题的关键．三．非负数的性质：算术平方根（共4小题）10．（2023秋•顺德区校级月考）已知，则的值为．【分析】根据已知条件可求出a和n的值，分别代入所求式子中，观察式子特征，可将式子互相抵消．【解答】解：根据非负数性质可知a﹣1＝0且ab﹣2＝0解得a＝1b＝2则原式＝裂项得；故答案为【点评】此题考查了非负数的性质，遇到此类题目可以观察公式特征用裂项的方法，相抵消．11．（2021秋•江都区月考）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根．【分析】根据互为相反数的和等于0列式，然后再根据非负数的性质列式求出x、y的值，代入代数式求出（x﹣y）2的值，再根据平方根的定义进行求解．【解答】解、∵与互为相反数，∴+＝0，∴x﹣y+3＝0且x+y﹣1＝0，解得x＝﹣1，y＝2，∴（x﹣y）2＝（﹣1﹣2）2＝9，∵（±3）2＝9，∴（x﹣y）2的平方根等于±3．【点评】本题主要考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．12．（2022秋•新余期中）（1）已知+|2x﹣3|＝0，求x+y的平方根．（2）已知a、b满足+|b﹣|＝0，解关于x的方程（a+2）x2﹣b2＝a﹣1．【分析】（1）利用非负数的性质求出x、y的值即可解决问题；（2）利用非负数的性质求出a、b即可解决问题；【解答】解：（1）∵+|2x﹣3|＝0，又∵≥0，|2x﹣3|≥0，∴x＝，y＝﹣，∴x+y＝1，∴x+y的平方根为±1．（2）∵+|b﹣|＝0，又∵≥0，|b﹣|≥0，∴a＝﹣4，b＝，∴方程为﹣2x2﹣3＝﹣5，∴x2＝1，∴x＝±1．【点评】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质的应用．13．（2022秋•平度市校级月考）若+（b﹣3）2+|c﹣2|＝0，求（a﹣b+c）3的值．【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a2﹣1＝0，b﹣3＝0，c﹣2＝0，解得a＝±1，b＝3，c＝2，当a＝﹣1，b＝3，c＝2时，原式＝（﹣1﹣3+2）3＝﹣8；当a＝1，b＝3，c＝2时，原式＝（1﹣3+2）3＝0．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．四．立方根（共4小题）14．（2023秋•姑苏区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．【分析】根据平方根和立方根得出2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝8，求出a、b的值即可．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，a＝5，∵3a+b﹣1的立方根是2，∴3a+b﹣1＝8，∴b＝﹣6，∴2a﹣b＝16，∴2a﹣b的平方根是±4．【点评】本题考查了对平方根和立方根定义的应用，关键是能根据题意得出算式2a﹣1＝9和3a+b﹣1＝8．15．（2020春•崇川区期末）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2＝4，2x+y+7＝27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，∴x﹣2＝4，∴x＝6，∵2x+y+7的立方根是3∴2x+y+7＝27把x的值代入解得：y＝8，∴x2+y2的算术平方根为10．【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．16．（2022秋•高新区校级月考）已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a﹣5b+8的值，然后根据立方根的定义求解．【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，∴2a+1＝9，3a+2b﹣4＝﹣8，解得a＝4，b＝﹣8，∴4a﹣5b+8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，∴4a﹣5b+8的立方根是4．【点评】本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．17．（2023秋•雁塔区校级期中）求满足下列各式的未知数x（1）27x3+125＝0（2）（x+2）2＝16．【分析】（1）直接利用立方根的定义化简求出答案；（2）直接利用平方根的定义化简求出答案．【解答】解：（1）27x3+125＝0则x3＝﹣解得：x＝﹣；（2）（x+2）2＝16则x+2＝±4，解得：x1＝﹣6，x2＝2．【点评】此题主要考查了立方根以及平方根，正确把握相关定义是解题关键．五．实数与数轴（共3小题）18．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3．（1）用代数式表示这个魔方的棱长．（2）当魔方体积V＝64cm3时，①求出这个魔方的棱长．②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为﹣2+1．【分析】（1）根据正方体的体积格式可求这个魔方的棱长；（2）①根据正方体的体积格式可求这个魔方的棱长．②根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．③根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．【解答】解：（1）这个魔方的棱长为（cm）；（2）①这个魔方的棱长＝4（cm）；②∵魔方的棱长为4cm，∴小立方体的棱长为2cm，∴阴影部分面积为：×2×2×4＝8（cm2），阴影部分的边长＝（cm）；③D在数轴上表示的数为﹣2+1．故答案为：﹣2+1．【点评】本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．19．（2022秋•嵊州市校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与2表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①表示的点与数﹣2﹣表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a＝，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．【解答】解：操作一，（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，∴折痕为原点O，则﹣2表示的点与2表示的点重合，故答案为：2；操作二：（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，则折痕表示的点为﹣1，①设表示的点与数a表示的点重合，则﹣（﹣1）＝﹣1﹣a，a＝﹣2﹣；②∵数轴上A、B两点之间距离为8，∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，∵A在B的左侧，则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；故答案为：①﹣2﹣，②﹣5和3；操作三：（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，a+a+2a＝9，a＝，∴AB＝，BC＝，CD＝，x＝﹣1++＝，如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，a+a+2a＝9，a＝，∴AB＝，BC＝，CD＝，x＝﹣1++＝，如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，a+a+2a＝9，a＝，∴AB＝，BC＝CD＝，x＝﹣1++＝，综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．故答案为：或或．【点评】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点坐标的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想．20．（2023春•雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是2﹣；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．【分析】（1）点A表示﹣，沿着x轴向右移动2个单位到达点B，B所表示的数为，﹣+2，即：2﹣，故答案为：2﹣．（2）m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，进而化简|m+1|+|m﹣1|，并求出代数式的值；（3）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．【解答】解：（1）m＝﹣+2＝2﹣；（2）∵m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．（3）∵|2c+d|与互为相反数，∴|2c+d|+＝0，∴|2c+d|＝0，且＝0，解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，①当c＝﹣2，d＝4时，所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．②当c＝2，d＝﹣4时，∴2c﹣3d＝16，∴2c﹣3d的平方根为±4，答：2c﹣3d的平方根为±4．【点评】考查数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法．六．估算无理数的大小（共7小题）21．（2020秋•南京期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：（1）求出+2的整数部分和小数部分；（2）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．【分析】（1）先估算出的范围，求出+2的范围，即可得出答案；（2）先估算出的范围，再求出10+的范围，求出x、y的值，即可求出答案．【解答】解：（1）∵1＜＜2，∴3＜+2＜4，∴+2的整数部分是1+2＝3，+2的小数部分是﹣1；（2）∵2＜＜3，∴12＜10+＜13，∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12＝﹣2，即x＝12，y＝﹣2，∴x﹣y＝12﹣（﹣2）＝12﹣+2＝14﹣，则x﹣y的相反数是﹣14．【点评】本题考查了估算出无理数的范围，能估算出和的范围是解此题的关键．22．（2021春•宁阳县期中）化简求值：（1）已知a是的整数部分，＝3，求的平方根．（2）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+2﹣|a﹣b|．【分析】（1）由于3＜＜4，由此可得的整数a的值；由于＝3，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求得平方根．（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．【解答】解：（1）∵3＜＜4，∴a＝3，∵＝3，∴b＝9，∴＝＝9，∴的平方根是±3；（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则+2﹣|a﹣b|＝a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）＝a+1+2b﹣2+a﹣b＝2a+b﹣1．【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．23．（2020秋•清江浦区期末）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：≈1.414⋯，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：（1）的小数部分是多少，请表示出来．（2）a为的小数部分，b为的整数部分，求a+b﹣的值．（3）已知8+＝x+y，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求2x+（y﹣）2020的值．【分析】（1）估算出的取值范围，进而可得出结论；（2）估算出和的大致范围，然后可求得a、b的值，然后再求代数式的值即可．（2）先求得x的值，然后再表示出y﹣的值，最后进行计算即可．【解答】解：（1）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴的小数部分是﹣1；（2）由（1）知，a＝﹣1，∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴b＝2．∴a+b﹣＝﹣1+2﹣＝1；（2）∵1＜＜2，∴9＜8+＜10，∴x＝9．∵y＝8+﹣9＝﹣1．∴y﹣＝8﹣x＝﹣1．∴2x+（y﹣）2020＝18+1＝19．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得y﹣的值的大小是解题的关键．24．（2023春•太和县期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值；（3）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案；（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）∵4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是，故答案为：4，﹣4；（2）∵2＜＜3，∴a＝﹣2，∵3＜＜4，∴b＝3，∴a+b﹣＝﹣2+3﹣＝1；（3）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴11＜10+＜12，∵10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝10+﹣11＝﹣1，∴x﹣y＝11﹣（﹣1）＝12﹣，∴x﹣y的相反数是﹣12+；【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、、、的范围是解此题的关键．25．（2022春•广信区期末）阅读理解．∵＜＜，即2＜＜3．∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1，∴﹣1的小数部分为﹣2．解决问题：已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分．（1）求a，b的值；（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17．【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得a，b的值，（2）根据开平方运算，可得平方根．【解答】解：（1）∴＜＜，∴4＜5，∴1＜﹣3＜2，∴a＝1，b＝﹣4；（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（﹣4+4）2＝﹣1+17＝16，∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±＝±4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜5是解题关键．26．（2022秋•雁峰区校级期末）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，的整数部分是c，求3a﹣b+c的值．【分析】根据乘方，可得a，b的值，根据被开方数是越大算术平方根越大，可得答案c，根据代数式求值，可得答案．【解答】解：∵2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，∴2a+4＝8，3a+b﹣1＝16，∴a＝2，b＝11，∵c是的整数部分，∴c＝3，∴3a﹣b+c＝3×2﹣11+3＝﹣2【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数是越大算术平方根越大得出c的值是解题关键．27．（2023春•荔城区校级期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求3a+2b﹣c的平方根．【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出的大小，可求得c的值，接下来，求得a+2b﹣c的值，最后求它的平方根即可．【解答】解：由题意得：，∴a＝5，b＝2．∵9＜13＜16，∴3＜＜4．