2022年北京市首师大附中高考数学模拟试卷及答案解析

2022年北京市首师大附中高考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。）

1.(5分)若全集U=R,A={x\x<l}fB={x\x>-1},则()

A.AQBB.BQAC.%CuAD.CuAGB

（5分）若复数等的实部与虚部相等，则实数a

2.)

A.B.1C.-2D.2

3.(5分)若a=log23,b=log32,c=log46,则下列结论正确的是)

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

4.（5分）下列函数中,既是偶函数，又在区间（0,+8）上单调递减的函数为（）

A.f(x)=x1B.f(x)=cosx

C.f(x)=2WD./(%)=logr\x\

2

5.（5分）已知圆C:（X+1）2+（厂1）2=1与x轴切于A点，与y轴切于3点，设劣弧崩的

中点为M,则过点M的圆。的切线方程是（）

1

A.y=x+2-s/2C.y=x-2+V2D.y=x+l—V2

B.y=x+i一质

6.（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）

主视图左视图

僚视图

73235.-i-q

A,-cmB.-cm5C.-cnvD.-cnr

8362

71

7.（5分）将函数y=sin（2x-（p）（0<<p<n）的图象沿无轴向左平移二个单位后得到的图

6

象关于原点对称，则<p的值为（)

nn27r57r

A.-B.-C.—D.—

6336

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xy

8.（5分）“加=5”是“双曲线C：—+，一=1的虚轴长为2”的（）

m4-m

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.（5分）已知函数=\/其中国表示不超过x的最大整数，（如[-1.1]

[f（%+1）x<0

=-2,...）.若直线y=A（x+1）（心>0）与函数y=/（x）的图象恰有三个不

同的交点，则实数人的取值范围是（）

111111

A.—）B.[―,—）C.L-,-）D.（0,1J

10.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABC。-AiBiGQi中，E是侧面881cle内的一个

动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（）

A.三角形AEU的面积无最大值、无最小值

B.存在点E,满足DiE_L8|E

C.存在有限个点E,使得三角形AEG是等腰三角形

D.三棱锥B-AED\的体积有最大值、无最小值

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）

11.（5分）抛物线/=2x的准线方程为

12.（5分）已知｛斯｝为等差数列，S”为其前"项和，若0=*,S2="3，则”2=，

Sn=•

13.（5分）（1-2x）5=。0+。1工+。/+〃/+。4^4+。5^5，则43=.

14.（5分）已知菱形ABCC的边长为1,ZBAD=60°,AP=AAB^>0）.当4时，AC-

PD=；当前•茄取得最小值时，入=.

15.（5分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人

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的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这

种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.

(1)若甲声波的数学模型为力(f)=sin200m,乙声波的数学模型为发(f)=sin(200m+(p)

(<p>0),甲、乙声波合成后的数学模型为f(f)=/i(z)+fi(/).要使/(力=0恒成

立，则⑴的最小值为；

(2)技术人员获取某种声波，其数学模型记为，(f),其部分图象如图所示，对该声波

进行逆向分析，发现它是由Si，S2两种不同的声波合成得到的，51，S2的数学模型分别

记为f(力和g(f),满足”(r)=/(?)+g(f).已知Si,S2两种声波的数学模型源自

于下列四个函数中的两个.

©y=sin^t；②y=sin2Ttf；③y=sin3nf；④y=2sin3nf.

则Si，S2两种声波的数学模型分别是.(填写序号)

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三、解答题（本大题共5小题，每小题15分，满分75分。解答应写出文字说明、演算步

骤或证明过程。）

16.（15分）如图，在四棱锥P-A8CZ）中，BC_L平面方B,AB//CD,若。C=£＞尸=2,BC=

V2,A尸=1,A8=3.

（I）求证：APLAB；

（H）求直线PC与平面AOP所成的角的正弦值.

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17.(15分)在△ABC中，V3sin4+cosA=V3,b=2®再从条件①、条件②这两个条件中

选择一个作为已知，求：

(I)tan2A的值；

(II)c和面积S的值.

条件①：a=2,庐>〃2+。2；条件②：y[3a=2c,c>3.

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18.（15分）某企业2022年招聘员工，其中4、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人

数和录用比例（精确到1%）如下:

岗位男性应聘人男性录用人男性录用比女性应聘人女性录用人女性录用比

数数例数数例

A26916762%402460%

B401230%2026231%

C1775732%1845932%

D442659%382258%

E3267%3267%

总计53326450%46716936%

（I）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率;

（II）从应聘E岗位的6人中随机选择2人.记X为这2人中被录用的人数，求X的分

布列和数学期望；

（III）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不

大于5%）,但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其

中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.（只需写出结论）

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19.（15分）己知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为一的椭圆经过点例（2,1）,动点

2

A，8（不与定点M重合）均在椭圆上，且直线MA与M8的斜率之和为1,。为坐标原

点.

（I）求椭圆G的方程；

（II）求证：直线A8经过定点（0,-2）.

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20.(15分)已知函数/(x)=a>r+(x2-2x+2)ex.

(I)求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(II)若0为函数/(x)的极小值点，求。的取值范围；

(III)曲线y=/(x)是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给出这两个点的

坐标及此时a的值，若不存在，请说明理由.

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2022年北京市首师大附中高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。)

1.(5分)若全集U=R,A={x\x<l}tB={x\x>-1},则()

A.AQBB.BQAC.D.CUAGB

解：・・・CRA={4T21},CRB={X\X^-1},：.CRAQB9

故选：D.

2.(5分)若复数等的实部与虚部相等，则实数。=()

A.-1B.1C.-2D.2

e一、”，a+i-i(a+i)1-ai1a上，一°­

解：•.•复数~7~=的实部与虚部相等，

21—二2142=~2^=22

1a

:•一=一—，解得a--1.

22

故选：A.

3.(5分)若Q=log23,力=log32,c=log46,则下列结论正确的是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

立万・・irlg37_1八lg2_/lg6I9g3+lg2Jg3+lg3lg3

解：.”=log23=/>l"=log32=拳<l'C=log46=卷=2lJ■■<-2lg2=总'

故有b<c<af

故选：D.

4.(5分)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+8)上单调递减的函数为()

A.f(x)=尤“B.f(x)=cosx

W

C.f(x)=2D./(x)=logx\x\

2

解：A.函数/(x)=/I是奇函数，...不满足条件.

B.函数f(x)=cosx是偶函数，但在(0,+8)上不是单调函数.不满足条件.

C.函数/(x)=23是偶函数，在(0,+8)上是单调递增函数，不满足条件.

D.函数/(x)=/ogi|x|是偶函数，在(0,+8)上是单调递减函数，满足条件，

2

故选：D.

5.(5分)已知圆C：(x+l)2+(y-I)2=］与X轴切于4点，与)，轴切于8点，设劣弧崩的

第9页共21页

中点为例，则过点M的圆C的切线方程是（)

1

A.y=x+2—V2B.y=x+lC.y=x-2+V2D.y=x+\—y]2

解：由题意，M为直线y=-x与圆的一个交点，代入圆的方程可得：（x+l）2+（-%-1）

2=1.

•.•劣弧通的中点为M,.•.许乎一1,；.y=l-:，

•.,过点M的圆C的切线的斜率为1,

过点M的圆C的切线方程是厂1+孝=厂孝+1,即y=x+2—&.

故选：A.

6.（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）

2%5a14

B.-6772*C.-cm'D.-cm'

362

解：由三视图可知该几何体为正方体去掉一个三棱柱得到的几何体.

1

正方体的棱长为1,去掉的三棱柱底面为等腰宜角三角形，直角边为5,

ill1

棱柱的高为1，棱柱的体积为:；X-X-X1=

2228

,剩余几何体的体积为13-J=

OO

故选：A.

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71

7.(5分)将函数)，=sin(2x-<p)(0<(p<n)的图象沿x轴向左平移二个单位后得到的图

6

象关于原点对称，则<p的值为()

TC

解：将函数y=sin(2x-4))(0<4)<n)的图象沿x轴向左平移二个单位后得到y=sin[2

6

(x+1)-4)]=sin(2x+§-4>)的图象，

7TTT

根据所得图象关于原点对称，可得孑-巾=K1,kez,

故选：B.

x2y2

8.(5分)=5”是“双曲线C：—+——=1的虚轴长为2”的()

m4-m

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

尢2y2

解：①当加=5时，双曲线为一一二=1,・,2=1,・••虚轴长为26=2,・•・充分性成立,

51

%2y2

②若双曲线为一+-=1虚轴长为2,

m4-m

(m>0

当焦点在x轴上时，则{4一?nVO=5,

v2Vm-4=2

m<0

4-m>o，・"="1,

{2yJ—m=2

・・.m=5或m=-1,・••必要性不成立，

x2y2

・••加=5是双曲线一+-=1虚轴长为2的充分不必要条件.

m4-m

故选：A.

9.(5分)已知函数/(x)==…其中㈤表示不超过k的最大整数，(如[-1.1]

=-2,).若直线y=Z(x+1)(心>0)与函数y=/(x)的图象恰有三个不

第11页共21页

同的交点，则实数2的取值范围是（

111111

A.[一，一)B.[一,—)C.[一,一D.(0,1]

543243

(X-[x]X>0

解：•.•函数f(x)=〃二、„，

(/(X+1)%<0

函数八X）是周期为1的函数，且每个区间［〃，〃+1）,〃ez上均斜率为1,左端点可取、

右端点取不到，函数图象如下所示:

；直线y=k（x+1）

二直线图象恒过点（-1,0）,

1

当直线y=&（x+1）过点（3,1）时，得k=不

1

当直线（x+l）过点（2,I）时，得仁手

11

由图象可知，当蛇［一，-）时直线y=k（x+1）（%>0）与函数（x）的图象恰有三个

43

不同的交点.

故选：C.

10.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABC。-AiBCiDi中，E是侧面8BC1C内的一个

动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（）

A.三角形AEDi的面积无最大值、无最小值

B.存在点E,满足DiE_L8iE

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C.存在有限个点E,使得三角形AE0I是等腰三角形

D.三棱锥B-AEDi的体积有最大值、无最小值

解：选项A中，边AG的长度为定值，三角形AEG面积与点E到AOi的距离有关，

当点E在线段8cl上时，距离最小，此时面积取得最小值，在端点Bi,C处的距离最大，

此时面积取得最大值（舍去，端点不可取），所以A不正确；

选项B中，若DiELBiE,可得点E在以中点为球心，鱼为半径的球面上，

因为以为直径的球面与侧面8B1GC有交，所以存在点E,满足。

所以8正确；

选项C中，三角形是等腰三角形，当A£=DiE时，点E在的中垂面上，

且E在侧面281cle上，所以点E的轨迹是线段BC（不含端点），有无穷多，所以C不

正确；

选项。中，由=VE-ABD1=寺SAABDjh，高h不存在最大值（不包含端点）和最

小值，所以。不正确.

故选：B.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）

11.（5分）抛物线/;右的准线方程为_%=—/_

解：抛物线/="的准线方程为：

故答案为：x=

12.（5分）已知｛斯｝为等差数列，S,为其前〃项和，若0=去S2=〃3，则02=1,5〃

1

=_-n（n+1）_.

解：根据｛斯｝为等差数列，S2=ai+a2=a3=1+«2；

..1

・・4=。3"〃2=2

.1^11

・・42=2+2=

c1,n（n-l）11,「、

Sn=2-----2—x2=4九（九+1）

1

故答案为：1,-n（n+1）

4

13.（5分）（l-2x）5=。0+。1%+〃2^2+43/+。平4+。/，则。3=-80.

第13页共21页

解：二项式展开式的通项公式为7M=-2x)r,故/的系数43=c*-2)3=-80,

故答案为：-80.

14.(5分)已知菱形A8CO的边长为1,ZBAD=60°,AP=XAB^>0).当;1=4时，AC-

_*3TT1

PD=-；当4P•DP取得最小值时，入=-.

—4——4—

解：取AB中点O,连接£>。，：四边形A8CD为菱形，ZBAD=60°,

.♦.△ABO为等边三角形，得。。_LA8,

则以O为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，

1V3V31

贝I]A(―5，0),C(1,—),D(0,—),B(―,0).

2222

1

当;1=★时，点P为AB的中点，即为坐标原点O,(0,0),

：.AC=(|,易,访=(0,易,则品.而=,；

T1T

设P(x,y),则4P=(x+W，y),又4B=(1,0),

：.[x+i=A,解得卜="三

(y=0ly=0

：.P(A-1，0),AP=(A,0),DP=(A-i,一多，

TT11

：.AP-DP=A(A-1)=A2-浊

则当;I=今时，4P•DP取得最小值一卷

15.(5分)声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人

的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这

种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.

(1)若甲声波的数学模型为/1(f)=sin200m,乙声波的数学模型为及(r)=sin(200m+(p)

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(<P>0),甲、乙声波合成后的数学模型为/(，)=/1(r)+fi(/).要使/(/)=0恒成

立，则隼的最小值为；

(2)技术人员获取某种声波，其数学模型记为HG),其部分图象如图所示，对该声波

进行逆向分析，发现它是由S”S2两种不同的声波合成得到的，Si,S2的数学模型分别

记为f(/)和g(t),满足H(r)=/(r)+g(r).已知Si，S2两种声波的数学模型源自

于下列四个函数中的两个.

①y=sin£t；(2)y=sin2n/；③y=sin3•n7；④y=2sin3m.

则Si，S2两种声波的数学模型分别是②③.(填写序号)

XVsin(ir+a)=-sina,

•・(p〃〃力=Tl，

(2)当f=l时，y=sin^=1,y=sin2n=0,y=sin3n=0,y=2sin3n=0,

由图象可知H(l)=0,...排出①，

由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明了(t),g(r)的

周期不同，

而③④的周期相同，.•.一定包含②y=sin2m,

若②④组合，当f=1时，H(-)=sin(2nX+2sin(3nX=堂+2>3,与图象不

符，

...排除④，...只能是②③.

故答案为：TT,②③.

三、解答题(本大题共5小题，每小题15分，满分75分。解答应写出文字说明、演算步

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骤或证明过程。）

16.（15分）如图，在四棱锥P-ABC。中，BC_L平面AB//CD,若DC=DP=2,BC=

V2,AP=1,AB=3.

（I）求证：APA.AB；

（II）求直线PC与平面AOP所成的角的正弦值.

（I）证明：如图，过点。作A8的垂线，垂足为E,

因为BCJ_平面以B,所以8CJ_AB,BC±AP,（2分）

所以BC〃OE,因为BC=&,DC=2,AB=3,

所以DE=&,AE=1,则

因为AP=1,DP=2,所以AJ+AP2：。户，（4分）

HPAP±AD,因为BC与4。相交，BC、ADu平面ABC。,

所以AP_L平面A8CC,ABu平面ABC。，所以AP_LAB；（6分）

（II）解：如图，建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),P(l,0,0),0(0,1,V2),C(0,3,V2),

第16页共21页

所以G=(l,0,0),AD=(0,1,V2),PC=(-1,3,V2),

设平面AOP的法向量为7=(x,y,z),

则层”=0x=0

,所以

(几•AD=0y+42z=0'

令名=行，则?i=(0,-2,V2),

而I”尸nr\nPC-4\[2

所以COS〈7l,PQ=———=-=-7==-"不，

171HpeId6X243$

y[2

所以直线PC与平面AOP所成角的正弦值为(12分)

17.(15分)在△ABC中，遮sinA+cosA=g,6=2遮.再从条件①、条件②这两个条件中

选择一个作为已知，求：

(I)tan2A的值；

(IDc和面积S的值.

条件①：。=2,房>〃2+c2；条件②：yf3a=2c,c>3.

解：因为V5sinA+cosA=V3

所以2sin(A+1)=V3,

o

即sin(4+1)=堂，

oz

又0<A<7T,

所以巴V4+a<2

所以A+W或A+好手

得A=看或A=

若选择条件①：

(I)因为〃=2,b=2®

所以A不是最大角，得

所以tan2A=tan-=

3

,―――ab2273

(II)由正弦定理一二=一二，可得一^=-

sinAsinBsin-sinB

6

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所以sinB=r、

因为/AcP+c2,

222

匚匚I、I-a+c—b/

所以cosB=--------<0,

Zac

所以巴<B<n,

2

所以8=等，C=%

36

所以c=a=2,S=^«i>sinC=V3.

若选择条件②：

(I)因为Wa=2c,c>3,

所以.=专＞+=2遮4,且a>c,

所以A是最大角，得A.,

所以tan2A=tann=0.

acTT

（II）由正弦定理（或直接利用c=〃sinC）,以总i=2c,A=亍

sinAsinC乙

可得sinC=孚，

因为0VCV%

所以C=泉B=*

又一=tan8,

c

所以c—2^=6,S=^bc=6y/3.

v-Jz

T

18.（15分）某企业2022年招聘员工，其中4、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人

数和录用比例（精确到1%）如下：

岗位男性应聘人男性录用人男性录用比女性应聘人女性录用人女性录用比

数数例数数例

A26916762%402460%

B401230%2026231%

C1775732%1845932%

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D442659%382258%

E3267%3267%

总计53326450%46716936%

（I）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率;

（H）从应聘E岗位的6人中随机选择2人.记X为这2人中被录用的人数，求X的分

布列和数学期望；

（III）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不

大于5%）,但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其

中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.（只需写出结论）

解：（I）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000,

被该企业录用的人数为264+169=433,

433

所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P

1000,

（II）X可能的取值为0,1,2.

因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，

所以P（X=0）=3=强;P（X=1）=竽*；P（X=2）=§=|.

CAQA「A

所以X的分布列为:

X012

P182

15155

1824

£W=OXT5+1XT5+2X5=3-

264-167

（III）取掉A岗位后，男性的总录用比例为=36.7%,女性的总录用比例为

533-269

169-24

々34.0%,

467-40

故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近.

.•.这四种岗位是：B、C、D、E.

19.（15分）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为手的椭圆经过点M（2,1）,动点

A,B（不与定点M重合）均在椭圆上，且直线与MB的斜率之和为1,O为坐标原

点.

（1）求椭圆G的方程;

第19页共21页

（II）求证：直线48经过定点（0,-2）.

丫2”2Cy/3

解：（I）设椭圆G：2+与=l（Q>b>0）的离心率为77,所以一=二，

a“b2a2

又因为/=/+/,所以/=4/，

41

由定点M（2,1）在椭圆上可得于+77=1，解得y=2,/=8,