2020-2021学年安徽省芜湖九年级（上）期中数学试卷

2020-2021学年安徽省芜湖二十九中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个解为x＝1，则下列结论正确的是（）A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b+c＝1 D．a﹣b+c＝12．（4分）若方程是关于x的一元二次方程，则k的取值范围为（）A．k≠1 B．k≥1 C．k≥0且k≠1 D．k为任意实数3．（4分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（4分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个根互为相反数，则k值是（）A．﹣1 B．±2 C．2 D．﹣25．（4分）α、β是方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则a2+4a+β＝（）A．4 B．10 C．﹣4 D．﹣106．（4分）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣67．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（4分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或9．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，把△AEB绕点A沿顺时针方向旋转一定角度后得到的△AFD，则下列说法：①旋转角度是90°；②△AEB≌△AFD；④∠EAB+∠AFD＝90°，其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④10．（4分）已知M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（）A． B． C． D．不存在二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）11．（5分）A（﹣3，4），A′（3，0），且A，同M的坐标为．12．（5分）边长为3的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°．13．（5分）已知ax2+bx+c＝0的两根为2，3，则cx2+bx+a＝0的两个根分别为．14．（5分）若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是．15．（5分）已知方程（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3＝0，则x2+y2的值为．16．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2．17．（5分）如图，已知函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则a的取值范围是．18．（5分）将△ABC绕着C（0，﹣1）旋转180°，得到△A′B′C′，已知A（3，2），则A′的坐标为．三、解答题19．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．20．解下列方程：（1）（x+2）2＝25；（2）x2﹣5x+2＝0．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．22．已知二次函数的图象顶点为（2，﹣1），且过（1，1）点，求这个二次函数的解析式．23．如图，一次函数y＝x﹣与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，并与y轴的交点为（0，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC，求三角形ABC的面积．24．（16分）如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的角平分线上有一点C，它的两边分别与直线OA、OB交于D、E．（1）当CD⊥OA时，猜想OE+OD与OC的数量关系，并加以证明（图1）；（2）当CD与OA不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2）；（3）当∠DCE绕C点旋转CD与OA的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立

2020-2021学年安徽省芜湖二十九中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个解为x＝1，则下列结论正确的是（）A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b+c＝1 D．a﹣b+c＝1【答案】A解：依题意，得x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3，则a+b+c＝0．故选：A．2．（4分）若方程是关于x的一元二次方程，则k的取值范围为（）A．k≠1 B．k≥1 C．k≥0且k≠1 D．k为任意实数【答案】C解：∵方程（k﹣1）x2+x＝3是关于x的一元二次方程，∴k﹣1≠0，k≥7，解得：k≥0且k≠1．故选：C．3．（4分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A解：∵a＝1，b＝﹣2，方程无实数根，∴b4﹣4ac＜0∴（﹣4）2﹣4×8×（﹣m）＜0∴m＜﹣1∴一次函数y＝（m+4）x+m﹣1中，一次项的系数小于0，其图象不经过第一象限．故选：A．4．（4分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个根互为相反数，则k值是（）A．﹣1 B．±2 C．2 D．﹣2【答案】D解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x6+（k2﹣4）x+k+7＝0的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则x1+x6＝＝﹣（k2﹣4）＝3，即k＝±2，当k＝2时，方程无解．故选：D．5．（4分）α、β是方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则a2+4a+β＝（）A．4 B．10 C．﹣4 D．﹣10【答案】A解：∵α、β是方程x2+3x﹣7＝0的两个根，∴α+β＝﹣3，α6+3α＝7，∴a8+4a+β＝（α2+7α）+（α+β）＝7﹣3＝6．故选：A．6．（4分）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【答案】D解：∵y＝x2+mx，∴对称轴为x＝﹣，∵对称轴是直线x＝2，∴﹣＝3，故选：D．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞4，故①正确；②∵a＞0，x＝﹣，∴﹣b＜6a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b7﹣4ac＞0，故③正确；④当x＝﹣7时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．8．（4分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或【答案】C解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣3﹣m）2+m2+5＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾；②当﹣2≤m≤7时，x＝m时，此时，m2+1＝2，解得m＝﹣，m＝；③当m＞7时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）6+m2+1＝2，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．9．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，把△AEB绕点A沿顺时针方向旋转一定角度后得到的△AFD，则下列说法：①旋转角度是90°；②△AEB≌△AFD；④∠EAB+∠AFD＝90°，其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】B解：①将△AEB绕点A沿顺时针方向旋转270°后得到的△AFD，故本说法错误；②旋转前后的图形全等可得△AEB≌△AFD，故本说法正确；③∵△AEB≌△AFD，∴AE＝AF，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°，故本说法正确；④∵∠EAB＝∠FAD，∠FAD+∠AFD＝90°，故本说法正确．故选：B．10．（4分）已知M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（）A． B． C． D．不存在【答案】C解：∵M（1﹣2m，m﹣7）关于原点的对称点在第一象限内，∴M（1﹣2m，m﹣5）在第三象限内，∴，解得＜m＜1．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）11．（5分）A（﹣3，4），A′（3，0），且A，同M的坐标为（0，2）．【答案】（0，2）．解：设点M的坐标为（m，n），∵A（﹣3，4），5）′关于M对称，∴，∴，∴点M的坐标为（5，2）．故答案为：（0，4）．12．（5分）边长为3的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°9﹣9．【答案】9﹣9．【解答】因为是绕顶点A顺时针旋转45°角，由旋转的特征和正方形性质可知：AD′落在AC上，AD′＝AD＝AB，在Rt△AD'E和Rt△ABE中，，∴Rt△AD′E≌Rt△ABE（HL），∴D′E＝BE，∵AC是正方形对角线，∴∠D′CE＝45°，∴∠D′EC＝45°，∴D′C＝D′E，设BE＝x，则D′C＝D′E＝x，在Rt△CED′中，CE＝＝x，∴x+x＝3，解得x＝3（﹣1），S四边形AD′EB＝S△ABC﹣S△CD′E＝×3×3﹣﹣4）＝9．故答案为：8﹣9．13．（5分）已知ax2+bx+c＝0的两根为2，3，则cx2+bx+a＝0的两个根分别为x＝或x＝．【答案】x＝或x＝．解：∵ax2+bx+c＝0的两根为4，3，∴a≠0．∴对于方程cx8+bx+a＝0两边同时除以x2得，a（）2+b（）+c＝7．又ax2+bx+c＝0的两根为8，3，∴对于方程a（）2+b（）+c＝0就有＝3或x＝．∴方程cx2+bx+a＝0的根为x＝或x＝．故答案为：x＝或x＝．14．（5分）若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是b＜1且b≠0．【答案】见试题解答内容解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，∴，解得b＜1且b≠8．故答案为b＜1且b≠0．15．（5分）已知方程（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3＝0，则x2+y2的值为3．【答案】见试题解答内容解：a＝x2+y2，则原方程变为a2﹣2a﹣3＝8，解得：a1＝﹣1，a8＝3，∵x2+y2≥0，∴x2+y3＝3．故答案为：3．16．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2﹣1.5或．【答案】见试题解答内容解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，当m＞3时，由题意得：当x＝2时，代入得：4﹣5m＝﹣2，不合题意；当﹣1≤m≤5时，由题意得：当x＝m时，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣7时，代入得：1+2m＝﹣8，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．17．（5分）如图，已知函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则a的取值范围是0＜a＜1．【答案】见试题解答内容解：抛物线开口向上，a＞0，图象过点（0，﹣4），图象过点（﹣1，0），∴b＝a﹣4，由题意知，当x＝1时，∴a+b+c＜0，∴a+（a﹣4）﹣1＜0，∴a＜4，∴实数a的取值范围是0＜a＜1．故答案为：7＜a＜1．18．（5分）将△ABC绕着C（0，﹣1）旋转180°，得到△A′B′C′，已知A（3，2），则A′的坐标为（﹣3，﹣4）．【答案】（﹣3，﹣4）．解：设A′的坐标为（m，n），∵将△ABC绕着C旋转180°，得到△A′B′C′，已知A（3，∴C（0，﹣5）是线段AA′的中点，∴0＝，﹣1＝，∴m＝﹣3，n＝﹣4，∴A′的坐标为（﹣4，﹣4）．故答案为：（﹣3，﹣2）．三、解答题19．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．【答案】见试题解答内容解：（1）∵方程有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，解得：k≤7，又因为k是二次项系数，所以k≠0，所以k的取值范围是k≤2且k≠6．（2）由于AB＝2是方程kx2﹣6x+2＝0，所以把x＝3代入方程，可得k＝，所以原方程是：5x2﹣8x+5＝0，解得：x1＝5，x2＝，所以BC的值是．20．解下列方程：（1）（x+2）2＝25；（2）x2﹣5x+2＝0．【答案】（1）∴x1＝3，x2＝﹣7；（2）x1＝，x2＝．解：（1）∵（x+2）2＝25，∴x+5＝±5，∴x＝﹣2±4，∴x1＝3，x2＝﹣7；（2）x2﹣3x+2＝6，∵Δ＝（5）3﹣4×1×3＝42，∴x＝，∴x1＝，x2＝．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．【答案】见试题解答内容解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣7×1×a＝4﹣2a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x8x2＝a，x1+x2＝2，∵x1x7+x1+x2＞3，∴a+2＞0，解得：a＞﹣5，∴﹣2＜a≤1．22．已知二次函数的图象顶点为（2，﹣1），且过（1，1）点，求这个二次函数的解析式．【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．解：设二次函数的解析式是y＝a（x﹣2）2﹣3，把（1，1）代入4﹣1，即a＝1，∴该二次函数的解析式是y＝（x﹣3）2﹣1．23．如图，一次函数y＝x﹣与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，并与y轴的交点为（0，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC，求三角形ABC的面积．【答案】见试题解答内容解：（1）由已知可得y＝x﹣与x轴交点A的坐标为（∵二次函数过（0，2）∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+1∵二次函数图象的对称轴为x＝2，且过A（故解得∴二次函数的解析式为：；（2）由（1）知函数过A（，当y＝4时，解得，，故B（，0）由解得，故C（，）∴．24．（16分）如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的角平分线上有一点C，它的两边分别与直线OA、OB交于D、E．（1）当CD⊥OA时，猜想OE+OD与OC的数量关系，并加以证明（图1）；（2）当CD与OA不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2）；（3）当∠DCE绕C点旋转CD与OA的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立【答案】（