多元函数微分学8-5月11日

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义

如果对于该邻域内任何点(x

y)

都有在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值、极小值统称为极值

,使函数取得极值的点称为极值点.注

1.

使偏导数都为0的点称为驻点

.但驻点不一定是极值点.如,定理1

(必要条件)函数存在偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有故

2.

从几何上看

这时如果曲面z

f(x

y)在极值点(x0

y0

z0)处有切平面

则切平面z

z0

fx(x0

y0)(x

x0)

fy(x0

y0)(y

y0)成为平行于xOy坐标面的平面z

z0

类似地可推得

如果三元函数u

f(x

y

z)在点(x0

y0

z0)具有偏导数

则它在点(x0

y0

z0)具有极值的必要条件为

fx(x0

y0

z0)

0

fy(x0

y0

z0)

0

fz(x0

y0

z0)

0

时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有连续的二阶偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见P108

时,没有极值.时,不能确定

,需另行讨论.若函数求函数极值的一般步骤：第一步

解方程组求出实数解，得所有驻点.第二步

对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步

定出AC-B2的符号，再判定是否是极值.第四步对偏导数不存在的点(包括边界点)，再判定是否是极值点.例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;设z=z(x,y)是由确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值。

练习：例2.讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为注不是驻点也可能是极值点.因此,在考虑函数的极值问题时,

除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.但(0

0)不是函数的驻点

与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.多元函数的最值最值应用问题函数f

在闭域上连续函数f

在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据

例3

欲将长度为a的细杆分为三段,试问如何分才能使三段长度乘积为最大?解

设第一段和第二段的长分别为x

y

则三段长度乘积为

极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化二、条件极值拉格朗日乘数法方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有引入辅助函数辅助函数L(x,y)

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的极值.在条件例4.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:

设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:

利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.例5.设生产z吨某产品与所用A,B两种原料吨数x,y之间的关系式为现拟向银行贷款150万元购买原料,A,B两种原料每吨价格分别为1万元和2万元,问怎么样购进这两种原料使该产品生产的数量最多?分析：依题意,问题归结为求函数在附加条件x+2y=150下的最大值.例5.令解方程组解:

依题意,问题归结为求函数在附加条件x+2y=150下的最大值.因为此问题的最大值是存在的,且驻点是唯一的,所以点(100,25)是z(x,y)的最大值点,其最大值为z(100,25)=1250已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC

面积S△最大.解答提示:设C

点坐标为(x,y),思考与练习则设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与

E重合时,三角形面积最大.在实际问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值——实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式．（经验公式）最小二乘法问题：解决这个问题的常用的方法是什么？

例某证券公司近几年投资于资本市场的资金额如下表所示：如图，在坐标纸上画出这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的，使得在处的函数值与实际数据相差都很小．解就是要使偏差都很小.因此可以考虑选取常数，使得定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数的方法叫做最小二乘法．这种确定常数的方法是通常所采用的.最小来保证每个偏差的绝对值都很小．把看成自变量和的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数在那些点处取得最小值.