电子工程数学方法-复变函数论第3章

电子工程数学方法任课教师：陈其科联系方式：

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办公电话：618303111函数有精确表示和近似表示。精确表示（解析表示）：表示为初等函数通过四则运算近似表示：通过逼近，近似表示为初等函数通过四则运算级数表示：近似表示的一种，表示为一个函数级数第三章幂级数展开2第三章幂级数展开3.2幂级数3.3泰勒级数展开3.5洛朗级数展开§3.1复数项级数§3.6孤立奇点的分类3复数项无穷级数前n项之和若：则称级数收敛于F，此时实部和虚部对应的两个级数也是收敛的。§3.1复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据实数项级数性质可移用于复数项级数1、复数项级数的收敛的定义4§3.1复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据2、柯西收敛判据复数项级数收敛的充要条件是：对于任意小的正数，必存在N

使得n>N

时有式中p

为任意正整数。——柯西收敛判据5§3.1复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据3、绝对收敛若复数项级数各项的模组成的级数收敛，则称级数绝对收敛。1）绝对收敛的复数项级数必然收敛。注：2）两个绝对收敛级数的和或积仍绝对收敛。6复级数的每一项都是复数的函数，即为复变函数项级数：§3.1复数项级数（二）复变函数项级数由柯西判据，知复变项级数在区域B中收敛的充要条件：对于任意小的正数，必存在N(z)

使得n>N(z)

时有式中p

为任意正整数。若N与z无关，则称该复变函数项级数在B内一致收敛。注：7§3.1复数项级数（二）复变函数项级数复变函数项级数相关性质：

1、若复变函数项级数在区域B（或路径l)上一致收敛，且每一项都在区域B(或路径l）上连续，则级数和也是区域B(路径l）内连续函数。

2、在区域B内，若复变函数项级数的各项的模

而常数项级数收敛，则称在区域B上绝对且一致收敛。8§3.2幂级数（一）幂级数定义

幂级数是指各项都是幂函数的复变函数项级数。称为以z0为中心的幂级数。其中，各系数项均为复常数。9§3.2幂级数（二）幂级数的收敛性判别——达朗贝尔判别法1、达朗贝尔收敛判据（比值判别法）由正项级数的比值判定法可知，若模级数考察幂级数各项的模组成的级数则模级数收敛。由绝对收敛定义，知幂级数绝对收敛。10§3.2幂级数2、收敛圆由前可知，幂级数绝对收敛条件为：引入，则幂级数绝对收敛条件变为：收敛圆：以z0圆心，半径为R的圆。R称为收敛半径。幂级数在收敛圆内绝对收敛，而在圆上和圆外可能发散。圆外仍可能有区域是收敛的。（二）幂级数的达朗贝尔收敛性判据11若，则幂级数发散；若，则模级数收敛，幂级数绝对收敛；§3.2幂级数3、根值判别法：（三）幂级数的收敛性判别——根值判别法由此可得收敛半径的另外一种定义：12例：求幂级数的收敛圆（t为复变量）。解：则收敛半径:故，收敛圆为以t=0为圆心，半径为1的圆。§3.2幂级数13例：求幂级数的收敛圆。解：则收敛半径:故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为1的圆。§3.2幂级数另解：则收敛半径:14例：求幂级数的收敛圆。解：则收敛半径:故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为2的圆。§3.2幂级数15§3.2幂级数（四）幂级数的积分表示将上式沿收敛圆取路径积分，并利用柯西公式，可得：在收敛圆内，幂级数的和可表示为连续函数的回路积分——在收敛圆内幂级数和为解析函数。16§3.3泰勒级数任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数。问题：解析函数任意阶导数都存在，是否可将解析函数展开为复变函数项的泰勒级数呢？可以！17§3.3泰勒级数展开泰勒级数展开定理：设在以为圆心的圆内解析，则对圆内任意点，可展开为其中即：泰勒级数18§3.3泰勒级数展开证明：设在收敛圆内解析，则由柯西积分公式而由于ζ为积分路径上点，而z为积分路径内点，故有等比数列19§3.3泰勒级数展开证明(续)：20§3.3泰勒级数展开例（重要）：在z0=0的邻域上将展开为泰勒级数。解：（展开时能直接求导就求导）21§3.3泰勒级数展开例（重要）：在z0=0的邻域上将展开。解：22bB§3.4解析延拓（一）解析延拓概念考察如下两个函数在区域等同对于某个区域b上的解析函数f(z)，如果能找到另一个函数F(z)，它在含有区域b的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等同于f(z)

，则这个过程就叫解析延拓。解析延拓：解析延拓就是解析函数定义域扩大后的结果。23§3.4解析延拓（二）解析延拓唯一性可以证明：函数F1(z)和F2(z)在区域B上解析，若在B的某子区域b上有

F1(z)≡F2(z)，则在整个区域B上必有

F1(z)≡F2(z)

。同一解析函数的解析延拓是唯一的。24§3.5洛朗级数展开（一）双边幂级数当所研究的圆域上存在函数的奇点时，就不再能将函数展为泰勒级数，而需考虑在除去奇点的环域上的展开

洛朗级数展开。考察双边幂级数：收敛半径为R1，在圆

z-z0=R1内收敛令收敛半径记为1/R2，即在圆

z-z0=R2外收敛。25§3.5洛朗级数展开若R2<R1，则双边幂级数在环域R2<

z-z0<R1内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，级数可逐项求导。环域R2<

z-z0<R1称为该双边幂级数的收敛环。（一）双边幂级数（续）26§3.5洛朗级数展开（二）洛朗级数洛朗展开定理：

设f(z)在环域R2<|z-z0|<R1的内部单值解析，则对环域内任一点z，f(z)可展为幂级数

其中积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。z0R1CR1R2C'R2C

R1CR2C洛朗级数展开27证明：为避免讨论圆周上函数的解析性和级数的收敛问题，将外圆稍微缩小为C

R1、内圆稍微扩大为C

R2，利用复通区域上的柯西公式：§3.5洛朗级数展开z0R1CR1R2C'R2C

R1CR2C28§3.5洛朗级数展开注：因为不满足柯西公式条件。29例：在以z=0为中心的0<|z|<+

的圆环域内把展开。

§3.5洛朗级数展开解:（直接法）30例：在以z=0为中心的0<|z|<+

的圆环域内把展开。

§3.5洛朗级数展开解:（间接法）31例：在z=1的邻域上将函数展开为洛朗级数。

§3.5洛朗级数展开解:先将函数分解为奇点分别为z=1和z=-1，因此在环域内解析，故有32例：在

环域上将函数展开为洛朗级数。

§3.5洛朗级数展开解:先将函数分解为33例：在

环域上将函数展开为洛朗级数。

§3.5洛朗级数展开解:34例：以z=0为中心将函数展开为洛朗级数。

§3.5洛朗级数展开解:先将函数分解为奇点分别为z=1和z=2，因此在z=0的邻域上可在三个环状区域内进行级数展开。35§3.5洛朗级数展开36§3.6孤立奇点的分类（一）孤立奇点与非孤立奇点孤立奇点：若函数f(z)在某z0点处不可导，而在其任意小邻域内除z0外处处可导，则称z0为f(z)的孤立奇点。非孤立奇点：若函数f(z)在某z0点处不可导，且在的任意小邻域内还可找到除z0外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。例:1/z、exp(1/z)、f(z)=1/[sin(1/z)]在z0=0点的情况奇点：若函数在某z0点处不解析，则称该点为f(z)

的奇点。37§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点

洛朗级数的正幂项(含常数项)部分被称作解析部分(或正则部分)；负幂项部分被称为主要部分(或无限部分)。a-1具有特别重要的地位，特称其为函数f(z)在奇点z0的留数。38§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点例:z0=0为

sinz/z可去奇点

1、可去奇点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<R上的洛朗级数中不含有(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点。可去奇点的主要特征（1）f(z)在奇点的去心邻域内的洛朗级数中无主要部分；（2）即f(z)在z0点的去心邻域内有界。39§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点

2、极点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<R上的洛朗级数中含有有限个(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的极点。其中a-m0，m为有限数，则称z0为f(z)的m阶极点。特殊地，一阶极点称为单极点。极点的主要特征：1.f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数的主要部分为有限多项；2.。例:f(z)=(z-2)/[(z2+1)(z-1)3],讨论z=1,z=i40§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点

3、本性奇点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<R上的洛朗级数中含有无限多(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。对于本性奇点z0，当z

z0时，f(z)的值并不固定，而是与z趋于z0的方式有关。本性奇点的特征1.f(