函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（解析版）

1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响2.解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题热点题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)图象及变换例1、已知函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到。解析：(1)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的振幅A＝2，周期T＝eq\f(2π,2)＝π，初相φ＝eq\f(π,3)。(2)令x′＝2x＋eq\f(π,3)，则y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝2sinx′。列表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)x′0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝sinx′010－10y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))020－20描点连线得函数图象：【提分秘籍】1．在指定区间[a，b]上画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的方法(1)选取关键点：先求出ωx＋φ的范围，然后在这个范围内选取特殊点，连同区间的两端点一起列表，此时列表一般是六个点。学=科网(2)确定凹凸趋势：令ωx＋φ＝0得x＝x0，则点(x0，y0)两侧的变化趋势与y＝sinx中(0,0)两侧的变化趋势相同，可据此找准对应点，以此把握凹凸趋势。2．两种不同变换思路中平移单位的区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先平移再伸缩，平移的量是|φ|个单位；而先伸缩再平移，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位。提醒：平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值。【举一反三】已知函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))。(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y＝sinx的图象经过怎么样的变化得到的。解析：(1)列表：xeq\f(π,2)eq\f(3,2)πeq\f(5,2)πeq\f(7,2)πeq\f(9,2)πeq\f(1,2)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2π3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))030－30描点、连线，如图所示：方法二：“先伸缩，后平移”先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sineq\f(1,2)x的图象；再把y＝sineq\f(1,2)x图象上所有的点向右平移eq\f(π,2)个单位，得到y＝sineq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的图象，最后将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象。热点题型二由图象求解析式例2、(1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，eq\f(π,3)(2)如图所示是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))图象的一部分，则f(x)的解析式为__________。答案：（1）A（2）f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,6)))＋1解析：(1)根据图示可知eq\f(1,2)T＝eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12)＝eq\f(6π,12)＝eq\f(π,2)，所以函数的周期为π，可得ω＝2，根据图象过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))代入解析式，结合－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，可得φ＝－eq\f(π,3)，故选A。【提分秘籍】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2)。(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq\f(2π,T)。(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入。②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π。【举一反三】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象如图所示，则它的解析式为__________。【答案】y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))【解析】由图象得A＝2，eq\f(T,2)＝3－(－1)＝4，所以T＝8。ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,8)＝eq\f(1,4)π，又eq\f(1,4)π×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，且|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))。热点题型三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质例3．【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】当时，，函数在该区间内不单调，选择D选项.【变式探究】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A＞0,0＜φ＜eq\f(π,2))的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝eq\f(π,6)是其图象的一条对称轴。(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))的单调递增区间。解析：(1)由题意，得A＝2，ω＝eq\f(2π,π)＝2，当x＝eq\f(π,6)时，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝±2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝±1，所以eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，解得φ＝kπ＋eq\f(π,6)，又0＜φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)。故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))。【提分秘籍】函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数。(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝eq\f(2π,ω)。(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得单调减区间。(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得中心坐标。利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得其对称轴。【举一反三】已知函数f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为eq\f(π,2)。(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)求函数y＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值及对应的x的值。(2)y＝2cos2x＋2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝2cos2x＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x－2sin2x＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))。令eq\f(π,4)－2x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，y有最大值2eq\r(2)，所以当x＝－kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)时，y有最大值2eq\r(2)。热点题型四函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用例4、某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0,24)。(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差。解析：(1)f(8)＝10－eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×8))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×8))＝10－eq\r(3)coseq\f(2π,3)－sineq\f(2π,3)＝10－eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－eq\f(\r(3),2)＝10。故实验室上午8时的温度为10℃(2)因为f(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，又0≤t＜24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)＜eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1。当t＝2时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；当t＝14时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1。于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8。故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为【提分秘籍】三角函数模型的应用三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题。【举一反三】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温为__________℃。答案：20.5解析：因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝f(x)＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))，所以当x＝10时，f(10)＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝23－5×eq\f(1,2)＝20.5。1.【2017天津，理7】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A）， （B）， （C）， （D），【答案】A【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．2【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【考点】三角函数图像变换.3.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】当时，，函数在该区间内不单调，选择D选项.【考点】函数的性质1.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点()（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.2.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.3.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为B.，的最小值为C.，的最小值为QUOTED.，的最小值为【答案】A【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.4.【2016高考新课标3理数】函数QUOTE的图像可由函数QUOTE的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）（A）向左平移个单位

（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位

（D）向右平移个单位【答案】B【解析】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位.故选B.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．【2015高考湖南，理9】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（）A.B.C.D.【答案】D.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：00500且函数表达式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.因为的对称中心为，.令，解得，.由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，.由可知，当时，取得最小值.（2014·四川卷）为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点()A．向左平行移动eq\f(1,2)个单位长度B．向右平行移动eq\f(1,2)个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为y＝sin(2x＋1)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin2x的图像向左平行移动eq\f(1,2)个单位长度．（2014·安徽卷）若将函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．【答案】eq\f(3π,8)（2014·北京卷）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，则f(x)的最小正周期为________．【答案】π【解析】结合图像得eq\f(T,4)＝eq\f(\f(π,2)＋\f(2π,3),2)－eq\f(\f(π,2)＋\f(π,6),2)，即T＝π.（2014·福建卷）已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－eq\f(1,2).(1)若0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(\r(2),2)，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以cosα＝eq\f(\r(2),2).所以f(α)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.方法二：f(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(1)因为0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以α＝eq\f(π,4)，从而f(α)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(3π,4)＝eq\f(1,2).(2)T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.（2014·广东卷）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()学！科网A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【解析】(1)因为f(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，又0≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.当t＝2时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；当t＝14时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.（2014·江西卷）已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)当a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．【解析】(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝eq\f(\r(2),2)(sinx＋cosx)－eq\r(2)sinx＝eq\f(\r(2),2)cosx－eq\f(\r(2),2)sinx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).因为x∈[0，π]，所以eq\f(π,4)－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为eq\f(\r(2),2)，最小值为－1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，,f（π）＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ（1－2asinθ）＝0，,2asin2θ－sinθ－a＝1.))又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，知cosθ≠0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2asinθ＝0，,（2asinθ－1）sinθ－a＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,θ＝－\f(π,6).))（2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝eq\r(3)sineq\f(πx,m)，若存在f(x)的极值点x0满足xeq\o\al(2,0)＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是()A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】C（2014·山东卷）已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝msin\f(π,6)＋ncos\f(π,6)，,－2＝msin\f(4π,3)＋ncos\f(4π,3)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝\f(1,2)m＋\f(\r(3),2)n，,－2＝－\f(\r(3),2)m－\f(1,2)n，))解得m＝eq\r(3)，n＝1.(2)由(1)知f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2φ＋\f(π,6))).设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．由题意知，xeq\o\al(2,0)＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y＝g(x)得，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2φ＋\f(π,6)))＝1.因为0<φ<π，所以φ＝eq\f(π,6).因此，g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.（2014·陕西卷）函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】已知函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为T＝eq\f(2π,ω)，故函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,3)))＝eq\f(4,5)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos2α，求cosα－sinα的值．【解析】(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(2kπ,3)，\f(π,12)＋\f(2kπ,3)))，k∈Z.(2)由已知，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))(cos2α－sin2α)，所以sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)－sinαsin\f(π,4)))(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝eq\f(4,5)(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，得α＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，此时，cosα－sinα＝－eq\r(2).当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝eq\f(5,4).由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),2).综上所述，cosα－sinα＝－eq\r(2)或－eq\f(\r(5),2).（2014·天津卷）已知函数f(x)＝cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．(2)因为f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上是减函数，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上是增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值为eq\f(1,4)，最小值为－eq\f(1,2).（2014·浙江卷）为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝eq\r(2)cos3x的图像()A．向右平移eq\f(π,4)个单位B．向左平移eq\f(π,4)个单位C．向右平移eq\f(π,12)个单位D．向左平移eq\f(π,12)个单位【答案】C【解析】y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，所以将函数y＝eq\r(2)cos3x的图像向右平移eq\f(π,12)个单位可以得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，故选C.（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ<\f(π,2)))的图像关于直线x＝eq\f(π,3)对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)<α<\f(2π,3)))，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))的值．【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝eq\f(2π,T)＝2.又因为f(x)的图像关于直线x＝eq\f(π,3)对称，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k＝0，±1，±2，….因为－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6).(2)由(1)得ƒeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\r(3)sin(2×eq\f(α,2)－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),4)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,4).由eq\f(π,6)＜α＜eq\f(2π,3)得0＜α－eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),4).因此coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α－\f(π,6)）＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋\r(15),8).1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度解析：由图象平移的规律“左加右减”，可知选A。答案：A2．若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,8)D.eq\f(3π,4)解析：f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)－2φ))，由该函数为偶函数可知2φ－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z，所以φ的最小正值为eq\f(3π,8)。答案：C3．为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝eq\r(2)cos3x的图象()A．向右平移eq\f(π,12)个单位B．向右平移eq\f(π,4)个单位C．向左平移eq\f(π,12)个单位D．向左平移eq\f(π,4)个单位解析：因为y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，所以将y＝eq\r(2)cos3x的图象向右平移eq\f(π,12)个单位后可得到y＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的图象。答案：A4．将函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq\f(π,2)个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上单调递减B．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上单调递增C．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递减D．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增解析：由题可得平移后的函数为y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(2π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，解得kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)，故该函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B。答案：B5．将函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是()A．y＝cos2x＋sin2xB．y＝cos2x－sin2xC．y＝sin2x－cos2xD．y＝sinxcosx解析：y＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))eq\o(――→,\s\up7(向左平移),\s\do5(\f(π,4)个单位))y＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋\f(π,2)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝cos2x－sin2x。答案：B6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象()A．向左平移eq\f(π,6)个长度单位B．向右平移eq\f(π,3)个长度单位C．向右平移eq\f(π,6)个长度单位D．向左平移eq\f(π,3)个长度单位解析：由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可得A＝1，根据eq\f(T,4)＝eq\f(1,4)·eq\f(2π,ω)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)，求得ω＝2，再根据五点法作图可得2×eq\f(π,3)＋φ＝π，求得φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，故把f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个长度单位，可得g(x)＝sin2x的图象。答案：C7．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝sinx的图象，则feq\b\lc\(\r