（高中数学）高考复习详细讲义

（高中数学）高考复习详细讲义（汇编）

第一板块：函数、导数

一、常见的基本初等函数

1、/（x）=kx+b（一次函数）；2、/（x）=ax2+bx+c（a0）（二次函数）

3、/（%）=ax3+hx2+ex+d（a0）（三次函数）；4、f（x）=—（k0）（反比

x

例函数）；

k

5、/。）=|履+切伏工0）（丫形函数）；6、/（九）=x+2（攵＞0）（对钩函数）；

x

k

7、/（x）=x+-（A;＜0）；8、/（无）=优（。＞0且a"）（指数函数）

x

9^/（无）=log“x（a＞0且a¥l）（对数函数）；10、f（x）=xa（黑函数）；

H＞f（x）=sinx（正弦函数）；12^/（x）=cosx（余弦函数）；

13、f（x）=tanx（正切函数）。

二、函数的性质

（一）函数的单调性判定方法：

1、定义法：

①卬々e/且匹＜々；①②n③（证明单调性，主要用于抽象函

数）

②/。）＜/（々）或/&）＞/（々）；②③口①（解抽象不等式、超越不等式）

③/（x）在//或/（x）在/\。①③n②（利用函数单调性求值域）

k="）-/（w）=|正，”x）在/单调递增.

玉-％2［负，/（X）在/单调递减’

,_，7.../（x+»—/（x）_J正，/（X）在/单调递增

―,（幻――。晟负，/（X）在/单调递减

2、复合函数单调性遵循同增异减原则。

3、子母同性法（函数在母区间的单调性与子区间的单调性相同）。

4、运算法则法（增+增=增，减+减=减）。

5、移缩依旧法(平移变换与伸缩变换不影响函数的单调性)。

6、奇函数在其对称区间单调性相同，偶函数在其对称区间单调性相反，原函

数与反函数的单调性一致)。

7、导数法：设函数/(x)在区间/内可导，则有：/(x)NOo/(x)在//；

尸(x)W0o/(%)在/、。(注意：/〈X)不恒等于零)。

(二)函数的奇偶性

1、判定方法：

(1)定义法(前提是函数y=/(x)的定义域必关于原点对称)

1°、f(-x)=/(x)of(-x)-/(x)=0of(x)是偶函数；

2°、f(-x)=-f(x)of(-x)+f(x)=0=/(x)是奇函数。

(2)图象法

1°、函数/(x)的图象关于y轴对称of(x)是偶函数；

2°、函数/(x)的图象关于原点对称。/(幻是奇函数。

2、性质：

(1)若y=/(x)是奇函数，且f(0)有定义,则/(—x)=-/(x),/(0)=0o

(2)若y=/(x)是偶函数，则/(—X)=/(%)=/(|刈)。

(3)若y=/(x)是奇函数，则y=/(x)在其对称区间单调性相同；

若丁=/*)是偶函数，则丁=/(x)在其对称区间单调性相反。

(4)奇、奇=偶，偶工偶=偶，奇、偶=奇，奇土奇=奇，偶士偶=偶。

(5)/(—ox+Z?)=/(ox+b)o/(ax+力是偶函数；

/(-ax+Z?)=-/(ax+份=/("+份是奇函数(用换元法，设/(x)=/(ax+A))。

(6)若y=/(x)是奇函数，则y=/(x)的值域必关于原点对称(奇函数/(x)的

最大值与最小值同时存在且/(X)max+/*)min=。，或同时不存在)。

(三)、函数的周期性

1、定义存在非零常数T,对任意的x恒有f(x+T)=f(x),则称函数耳=/(x)为

周期函数，T为其周期。(注意：①最小正周期，②定义域可能为(-8,+8),

(-8,a),(a,+oo)之一)

2、性质：

(1)若函数y=/(x)的最小正周期为T,则/(x+⑺=/(x)(TwO且丘z)。

(2)若对任意的x都有/(x)=-/(x+a),则/(x)为周期函数且7=2同。

(3)若对任意的x都有/(尤)=〃;幻，则/(》)为周期函数且7=2时。

(4)若函数/(x)的图象有两条对称轴：x=a,x=b,则/(幻为周期函数且

T=2\a-b\.

(5)若函数/(x)的图象有两个对称中心：(a,0),3,0),则/(x)为周期函数且

T=2\a-b\o

(6)若函数/(x)的图象有一条对称轴：x=a,一个对称中心S,0)则/(x)为周

期函数且T=4|a—〃|。

(四)函数图象的对称性

1、自对称性(就函数图象自身而言，相加取一半)

(1)若函数y=/(x)满足f(x+a)=f(b-x),则/(x)的图象关于直线彳=审

对称。

(2)若函数y=/(x)满足/(x+a)=-/S-x),则/(x)的图象关于点

0)对称。

2、互对称性(就两个函数图象而言，相等解方程)

(1)函数y=/(x+a)的图象与了=f(b-x)的图象关于直线》=2万0对称。

(2)函数y=/(x+a)的图象与y=-/(b-x)的图象关于点(2表,0)对称。

(五)易混淆的问题

(1)/(》)=/。+。)与/“)=/(—+。)前者周期性(T=a),后者对称性(对

称轴X=—')o

2

(2)f(x)=-f(x+a)^f(x)=-f(-x+a),前者周期性(T=2a),后者对称

性(对称中心(@,0))。

2

(3)/(x)f/(x+a)与/(x)ff\-x+d),前者平移变换，后者互对称变换(对

称轴X，)

2

(4)/(x)->-f(x+a)^f(x)->-/(-%+a),前者平移对折变换，后者互对称变

换(对称中心仔0))。

(七)函数的零点

1、定义：/是方程/(x)=0的根是函数/(x)的图像与x轴交点的横坐标

O，%是函数的零点。

2、零点定理:若函数y=/(x)在开区间(见加上连续，且/3)/。)<0,则函数

y=f(x)在开区间3万)内至少存在一个零点X。，即至少女。e(口力)，使得

3零点定理的推论:若函数y=/(x)在开区间(凡份上连续且单调，且f(a)f(h)<0,

则函数y=/(x)在开区间(a力)内有且仅有一个零点x(),即唯一三与e(a,b),使

得/“。)=0。

4、求函数y=/(x)零点的方法：

1°、解方程f(x)=0；2°、图像法(求函数y=/(x)的图像与x轴交点的横坐标)；

3°、运用零点定理或者零点定理的推论求函数的零点；4°、运用二分法求函数

/(无)的零点。

三、函数图象的变换：

(一)、平移变换(仅改变x或y中的常数项)

1、y=f(x)">"时’」移”个单位>y=/(x-a)

y=/(x)"时,左则个单位>y=f(x_a)

2、y=/(x)时t拗个单位>y-b=/(x)

y=f(x)”<时下则个单位>y-h=f{x)

（二）、伸缩变换（仅改变x或y中的系数，但不变号，啰>0,A>0）

横坐标为原来的上倍尔灰上二小店业g'H

］、y=/（x）------------——>,=/（如）；2、y=/（x）—1—：'：歪4±V一>y=4/~（X）

（三）对称变换

1、y=f(x)沿附对.折>y=/(—©；2、y=/(x)一轴对折>y=—/(x)

3、y=/（X）关「厩函称〉y=-/（一》）；

4、y_,（X）保留工釉上方部分，将X轴下方部分油轴对折,），_，（刈

5、v=f（x）保留）轴右方部分，将y轴右方部分沿y轴对折,y_/（凶）为偶函数。

6、y=/(x)关于直绳0对称>y=y-l(x)

四、基本初等函数

（一）、二次函数

1、二次函数的解析式：

（1）一般式:/（x）=+"+c（q/0）（其中c为抛物线的纵截距）。

（2）顶点式：/（X）=4Z（X+—）2+4ac-^2-（其中顶点（-2,处二£）,对

2a4。2a4。

称轴x=_2）

2a

（3）零点式：/（尤）=。（%-7）（%-工2）（其中无i、/为抛物线与不轴两交点的横坐

标，也称为函数/（X）的俩个零点，对称轴：直线》=也要）。

2、二次函数y=a/+〃x+c（a/o）的性质

（1）、开口方向：a>0时开口向上；aVO时开口向下;

⑵、其中顶点「£式),对称辄直线

(3)、抛物线与坐标轴的交点：点(0,c)是抛物线与y轴的交点；若△>(),则抛

h

物线与X轴交于两点(石,0),(12,0)；若八二。，则抛物线与X轴交于一点(一一,0)；

2a

若△<(),则抛物线与x轴无交点。

bb〃

。〉0时，〃尤)在(-8,-丁］递减G丁,+8)递增，/Wmin=/(-

(4)单调性1空2;)±

"00寸，/(X)在(-8,-丁］递增,(-丁,+8)递减，/U)=/(-

2a2amax

2a

3、二次函数/(x)=a(x-k)2+h(a>0)在xeIm,”]的值域问题:

(1)若Z>〃(区间在对称轴左侧)，则

/(X)在［孙〃］递减，/(工焉=/(«),/(%)max=f(m);

2)若

k<〃2(区间在对称轴右侧)，贝"(X)在［肛〃］递增/(/n),/(x)max=/(〃);

(3)若根(区间包含对称轴)，则/(X)mi,,=/W，f(X)max="(〃)"(项max

4、一元二次方程根的分布o二次函数/(尤)=依2+"+c(a>0)的零点分布:

⑴、若方程/(x)=0有一根X］,且X］e(加,“)，则/(加)/(〃)<()

h

m<----<n

2a

f(fn)>0

⑵、若方程/(x)=0有两根X],e(m,ri),则<

X2KXPX2

2a

[/(«)>0

b

---->m

2a

(3)、若方程f(x)=0有两根X1,/且0x2€,则</(m)>0

2a

h

(4)、若方程f(x)=0有两根X1,%2且^，/e(~°°，〃)，则5/(----)<0

2a

/(〃)>0

/(m)>0

(5)、若方程/(x)=0有两根X],%2且加<$<〃<*2<%，则，/(«)<0

以k)>0

m

(6)、若方程/(X)=0有两根X],乙且囚<<x2,贝U

/(〃?)<0。

k

(二)、对钩函数/(x)=x+£((>0)

x

1、定义域：(-oo,0)U(0,+oo)；

2、值域：(-co,-2〃]U[2A/T,+CO)；

/(X)极大值=/(—〃)=—2决，

/(X)极小值=f(尿)=2&

3、单调性：/(x)在递增，在［-冢,0)递减,

在(0,冢)递减，在［加,40递增；

k

4、奇偶性：f(x)^x+-(Z>0)是奇函数；

x

V

5、对称性：f(x)^x+-(k>0)的图象关于原点对称;

X

(三)、幕函数f(x)=x。的性质

1、当a<0时,函数/。)=吐的图像恒过点(1,1)；当a>0时，函数/(x)=x。

的图像横过点(0,0),(1,1)。

2、单调性：

(1)当a>0时，在(0,+8)单调递增；(2)当a<0时，/(x)在(0,+oo)单调

递减。

3、奇偶性：

(1)当a为偶数时，/(x)为偶函数(图像关于y轴对称，分布在第一、二象限)；

(2)当a为奇数时，为奇函数(图像关于原点对称，分布在第一、三象限)；

(3)当。=巴(巴为最简分数)时：

mm

若m为偶数,则人幻为非奇非偶函数(图像分布在第一象限)；

若用为奇数且”为偶数，则/(幻为偶函数(图像关于y轴对称，分布在第一、二

象限);

若“为奇数且〃为奇数，则/(x)为奇函数(图像关于原点对称，分布在第一、

三象限)。

4、凸凹性：

当()<«<1时，函数/(x)的图像在第一象限上凸；当a>l时，函数/(x)的图像

在第一象限下凹。

5、渐近线:

当。<0时，函数/(无)的图像有两条渐近线分别是x轴与y轴，limf(x)=+oc(y

,r->0

轴为其铅直渐近线)，lim/(x)=0(x轴为其水平渐近线)；当a>0时，函数f(x)

的图像无渐近线。

五、导数及应用：

(一)、导数的定义：

1

1、函数y=/(x)在x=x0处的导数：y'-f'(x0)=lim—=lim+""~”")

—Ax-AJC

2、函数y=/(x)的导函数：y'=八x)=Um包=lim丝+-/⑴。

以一。Ar加T。Ax

3、|/(刈的大小刻划了函数/(x)变化快慢的程度，/(刈越大则函数/(x)的图

象越陡，|广(刈越小则函数/(x)的图象越缓。

(二)、导数公式及运算法则：(C是常数)

1、导数公式：(/)'=〃炉7；(cy=o；

(a')'=a'lnQ(a>0且awl)；(es\=ex

(logx)f=--—(。>0且。工1)；(lnx)z=—；

flxlnax

(sin九)'=cosx；(cosx)r=-sinx；

(tanx)r=sen2x；(cotx)r=-esc2x

2、运算法则：

[/(x)±g(x)r=f'(x)±g'(x)；[Cf(X)Y=Cf'(x)；(uv)'=u'v+uv'；(-)z=VUVM

uu

3、复合函数求导法则：设f=g(x),y=/(f),则(f(g(x))Y=f'(t)g'(x)

(三)、导数的应用：

1、导数的几何意义：曲线在点(/，/(工0))处得切线的斜率为k=/lx。),切点

为(%,/(4))。

2、导数的物理意义：若物体的位移为5=5。)，则物体在£=。时刻的瞬时速度

为v=S'"。)。

3、函数的单调性：

①若函数尸/(%)在区间I可导，则］d：='=H鬻器鬻；

f(x)<0<^>y=/(x)在/内单调递减

②求函数的单调区间的步骤

'求导徼'(X)

■解导函数方科'(幻=0

画出导函数图象并由整象求出原函数的单调区间

4、函数的极值：

①/是函数/(x)的极值点n%是导函数/'(x)的零点<=>/是方程/'(X)=0的根。

②求函数极值的步骤

求导得f'(x)

<解导函数方程r(x)=o得根X。

检验r。左右两侧的导数值符1u?’:呼大值:

[左负右正,则f极小值(x)=/(Xo)

5、函数的最值

①求函数丁=/(x)在闭区间除目内的最值的步骤：

(1)求函数y=/(x)在开区间(风份内的极值；

(2)求区间端点的函数值：f(a),f(b)；

(3)/max(X)="极值(X)，/(a)JS)]m,x；Znin3=14值3,/。)，/(份焉

②求函数y=/(x)在开区间(a,力内的最值(函数y=/'(x)在开区间(a,匕)内必为

单峰函数，主要用于应用题的最值问题)：

/max。)=/极大值(X)；/min(X)=/极小值(”)

③不等式的恒成立问题：

(1)、f(X)>机在XG/恒成立O力小㈤>皿或/下确界O)>m)；

(2)、f(x)<根在xe/恒成立o/max(x)<根(或九确界(x)Wm)；

6、一元高次方程的实数根(重根算一个)个数判断方法(仅以一元三次方程为

例)：

设函数f(x)=axy+hx2+ex+d(a>0),则方程/(x)=0的实根个数

。函数y=/(x)的图象与x轴的交点个数。即有以下几种情况：

⑴((极大值方程f(x)=0有3个实数根;

I/极小值3<°

(2)/(x)极大值=0。炉(u)极小值=0=方程/(x)=0有2个实数根；

(3)/极大值(x)/极小值(x)>0或函数y=/(x)无极值n方程/(x)=0有1个实数根

7、三次函数/(x)=a?+川+5+Q的图象是中心对称图形，其对称中心为/(X)

的拐点(--,/(-—))，其中直线*=一2为其导函数尸(x)=3ox2+2/u+c的

3a3a3。

图象的对称轴。

8、用导数证明不等式。

第二板块：三角函数

一、三角函数有关概念：

1、角的定义：负角(。<0),正角(a>0),零角，象限角

71

2kji<a<2ki+万(一)

71一

2匕rH—<a<2kji+刀■(二)x轴上：a=k7i

2(%£z),轴上角＜y轴上：a=攵乃+宇&Gz）0

2k/r+7T<a<2k兀+—(三)

37r

2k兀+——<a<2k/i+2〃■(四)

2

2、角度制与弧度制的互化：r=2%/,i⑶d=（地）。

180n

3、两个计算公式（a为扇形所对圆心角的弧度，r为扇形的半径）:

弧长：/=|a|r；S扇形=g/r=g|aF（把扇形看作曲边三角形）。

4、三角函数的定义：

1°、终边定义：设角a终边上任一点（异于坐标原点）为P（x,y），且

r=op=-yjx2+y2)

rn.l.yxyxrr

则sina=jcosa=—；tana=—；cota=—；seccif=—；csca=­o

rrxyxy

2°、单位圆定义：设角。终边与单位圆交于点尸（匹y）,则

.yx

sin£z=y；coscr=x；tana--\cota=­o

%y

’第一象限全为正

第二象限正弦为正

3°、三角函数值符号

第三象限切为正

第四象限余弦为正

二、三角恒等变换公式

1、同角三角函数关系公式（作用：由某角的三角函数值求该角的其它三角函数

值）。

(1)平方关系：sin2cr+cos2«=1；；

(2)倒数关系：tanacota=l；；

/八五口二sinecosa

(3)商关系：tana=----；cot«=-----；

cosczsina

(4)sina-cosa；sina+cosa；2sinacosa三者之间的关系

asina+bcosa_otana+b

csina+dcosactana+d

（5）齐次分式与齐次方程均可施行弦化切々sin?a+8sinacosa+ecos2a=0

=>。tan2a+〃tana+e=0

2、诱导公式（作用：化任意角三角函数为锐角三角函数）

（1）转化步骤：负角n正角n小角（0<。<2］）n锐角（0<a<|o。

（2）转化法则：奇变偶不变，符号看象限（视a为锐角，符号为原函数值的符

号）即

±sina（左为偶数）兀/±cosa（女为偶数）

sin(Z•——\-a)=<

士cosa（左为奇数）2［±sin（々为奇数）

7i仕tana（左为偶数）1、［土cot。（女为偶数）

2［±cota（左为奇数）2［土tan=（女为奇数）

3、和（差）角公式（作用：化简求值）

（1）sin（a±77）=sinacos/?±cosasin以正余、余正符号同）；

（2）850±£）=85。。05万干5抽051!1伏余余、正正符号反）；

⑶33±0=黑器得（子同母异）。

4、二倍角公式（作用：升幕与降幕，坚持升幕角减半、降幕角加倍原则）：

（1）sin2^=2sinacosa；

cos2a=cos2a—sin2a-2cos2a-l=1-2sin2a

八2tana

tan2a-----------0

1-tan**a

（2）sin2cos2=—sin2«；

2

・

sin2a=1—（1—cos2a）；

cos*2-a=1］（l+cos2a）。

5、辅助角公式（作用：化同角的正（余）弦和（差）式为某个角的正弦或余弦）

TT卜

若。>0,Z?>0,/?£（0,—）且tan/?=一,贝U：

2a

(1)asina±bcosa=Ja2+b2sin(a±/?)；

(2)acosa±bsina=4a1+B1cos(am/?)。

三、三角函数的图象与性质：（Awz）

y=sinxy二cosxy=tanx

定

{木£R}{布GR}{小W卜冗+%,kGz\

义

域

值{y|-l<y<l}{y|”R}

域

单

[2%乃一工,2%乃+2]递增；[2k7T—4,2Avr]递增；

调22Qk兀一三、k兀+三）递」

性[2%/+29]22

工,版+递减[2左肛2左"+)]递减

22

奇

偶奇函数偶函数奇函数

^性

周

期T=2〃T=2兀T-71

性

对jr

对称中心：点（左乃,0）对称中心:点（&乃+《,0）

称对称中心：点（早,0）

性对称轴：直线1=我）+工对称轴：直线x=

2

函

数

图

象

2、/（x）=Asin（5+0）3>0）的图象与性质:

(1)图象可用五点换元法作出(设分别取0卷，万百,24)，也可以用

变换法(平移变换、伸缩变换)作图。

(2)主要性质：

①、用换元法求其值域：

设”劭;+9,由x的范围求出t的范围，进而转化为求y=Asin/的值域。

②、用换元法求其对称中心与对称轴：

7冗

1K,7U_(pH

设/=勿¥+%由以+夕=AT居对称中心(/—^,0),由0¥+夕=攵乃+工得对称轴x=........-

CD2co

③、求最小正周期：T=—o(相邻两对称中心、相邻两对称轴的水平距离均

CD

为两T相邻的对称中心与对称轴的水平距离为T:。

④、判断奇偶性：/(0)=0o/(x)是奇函数；/(0)=土Ao/(x)是偶函数。

⑤、求单调区间：

设/=(ax+0,则y=Asinf,根据复合函数同增异减求/1(x)=Asin(/yx+°)的单调区间。

四、解三角形

1、正弦定理：在A48C中，若角A,民C所对的边分别为a,b,c；则

abca+b+ca/甘士八日

(1)、-----=-----=-----=2Ro------------------=-----=2/?(其中R是

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA

AABC外接圆的半径，合比性质的运用)。

(2)、边角关系互化公式：

a

a=27?sinAsin4=——

2R

边化角，/?=27?sinB；bo

角化边sinB=——

c=2/?sinC2R

sinC=—

2R

(3)三角形面积公式：SUM=』absinC=L〃csinA='acsin3。

we222

2、余弦定理：在AA3C中，若角A,及。所对的边分别为a/,c；则

b2+c2-a2

cosA=

a2=b2+c1-2bccosA2hc

a1+C1-b1

b2=a2+c2-2accosBn变式不cosB=

2ac

222

c=a+b-2abcosCa2+b2-c2

COSC=

2ab

3、三角形内角和定理：A+B+C=180°

4、解三角形类型：(角多用正弦定理，边多用余弦定理)

(1)已知两角及一边(正弦定理)；(2)已知两边及一边所对角(正弦定理或

余弦定理)

(3)已知两边及夹角(余弦定理)；(4)已知三边(余弦定理)。

5、小结论：在A48c中，若角A,5,C所对的边分别为a,dc；则

(1)sinA<sinB；A=BosinA=sinB；A>B<=>smA>sinB0

(2)acosB+bcosA=c；acosC+ccosA=b；hcosC+ccosB=ao

五、三角函数主要数学思想方法：

1、换元法；2、数形结合思想；3、消除差异思想；4、函数思想；5化归思想。

六、三角函数的高考题模型：

1、三角函数的化简与求值：关键是寻找条件角与结论角的关系。

2、三角函数的图象与性质：关键是将复杂的三角函数式转化为某个角的正弦或

余弦。

3、三角函数与向量交汇：关键是抓好向量的共线、垂直、坐标运算。

4、解三角形：关键是灵活运用正余弦定理、边角互化公式、消除差异思想。

5、解三角形的有关范围问题，主要是考查以角为自变量的函数思想。

第三板块：数列

一、数列的有关概念：

1、数列的定义

2、数列的通项公式：4=/(〃)(〃eN*)(自变量”为数列的项数，函数值%为

数列的项其图象为坐标平面内一群离散的点)。

3、数列的分类

a\>a,<=>｛a“｝递增

'有穷数列n+

(1)按项数的多少<(2)按项的大小，a<ao｛%｝递减

无数列穷n+tn

a”=p=｝为常数列

4、数列｛%｝的前〃项和S“与a”的关系:

S|(〃=1)

(1)S=〃[+a,+%+…+<2„_)+(2)

nS.一S,i(/22_a〃eN*)

S,T=«1+%+%+…+4T

二、等差数列

1、定义：若数列伍”｝满足。,,-。,1=以〃22且〃6"*,4为常数)，则数列｛%｝是

等差数列，其中常数d为其公差。

2、判定方法：

(1)%——=d(〃之2且〃eN*,d为常数)n数列一“｝是等差数列。

(2)2an-an_x+an+x(n>2且"eN*)=>数列｛an｝是等差数列。

3、通项公式：

(1)an=ai+(n—V)d(nGN*)；(2)an=am+(n-m)d(m,neN*)；

(3)an=/(〃)=A"+8(a”是关于〃的一次函数)。

4、前〃项和公式：

八一0"(%+%)八一一on(n-i)dd2/d、

公式一：S“=-------；公式一：5“=〃。］+-------=—n+(4-5)〃；

公式一：S2“_i=(2〃-1)%

解读：公式一主要用于选择题、填空题；公式二主要用于前〃项和的最值问题；

公式三主要用于前项和通项相关联问题

5、主要性质：(m,n,p,qe.N*)

(1)、4=缄卫(d为过两点(〃,4),(乙4,)的直线的斜率)。

n-m

(2)、m+〃=〃+qnam+an=ap+4(即项数之和相等=>项之和相等)。

特殊化：2〃=m+〃=>ap二卷^^卸与是金与句的等差中项)o

(3)S“,邑”-5”,邑,「52“-4-”_犷-成等差数列，其中公差％24

(4)等差数列的前〃项和S,,的最值的确定方法：

①若q>0且4<0,则S,,有最大值；②若q<0且4>0,则S“有最小值。

由二次函数S“=/(〃)=《*+(卬_f〃的性质求其对称轴,离对称轴最近的自

然数〃即为S“取得最值时的自变量值。

三、等比数列

1、定义：若数列｛七｝满足上匚=<7(〃22且”€7^*国工0),则数列｛%｝是等比

an-\

数列，其中非零常数4为其公比。

2、判定方法：

(1)-^-=q(n>2且“eN*,q*0)=>数列｛%｝是等比数列;

%

(2)a；=4_四用(〃22且〃eN*)n数列｛4｝是等比数列。

3、通项公式：

nm

(1)an=a｝q~'(〃eN*)；(2)an=amq'^(m,nwN*)；(3)an=pq"(nwN*)

4、前〃项和公式：

%(j")=a「a"q①*

sn=<1_q]_q

na](q=1)

5、单调性

（1）若%>0且q>l,则｛aj递增；（2）若q>0且0<q<l,则｛a,J递减;

（3）若q<0且q>l,则｛aj递减；（4）若q<0且0cq<1,则｛aj递增;

（5）若4=1,则｛aj是常数列；（6）若q<0,则｛a,J是摆动数列。

6、主要性质：（加,〃,p/eN*）

（1）、m+n-p+t=>aman=apat（即项数之和相等=>项之积相等）。

特殊化：2P〃=a,"a”（即%,是a,“与a”的等比中项）。

（2）所有奇数项同号，所有偶数项同号。

⑶S„,S2n—S.S,-S2.…成等比数列，其中公上次

四、递推数列通项公式的求法：

1、型（采用迭加法），

aaa

得n=。|+（。2一%）+（。3—°2---卜（n-l-。"-2）+（。”—n-\）°

（注：若/（〃）=4则｛a0｝为等差数列）

2、2=/（〃）型（采用迭乘法），得％=qx"x2x-x-x'。

an-\a\。2an-2an-\

（注:若/（〃）=q（q丰0）,则｛a。｝为等比数列）

3、/(a“,S.)=O型：通过4=0c广、」股、采用退一相减法消去

[S„-S“_](n>2且〃eN*)

S“求明或者由a,=S„-5„.t消去a“求S”o

4、a„=pa,-+/(〃)型(p丰1)(采用待定系数法求其通项公式)

1°、若/(n)=q,则设a“-4=p(a,T-㈤，求出在得公比为p的等比数列｛a„-处。

2°、若/(〃)=左〃+"则设a“-(/l〃+〃)=p｛a“T+求出几,〃，得公

比为p

的等比数列｛氏-(2〃+〃)｝。

3°、若/(〃)=/：

(1)若pwq,设4-W=p(a,i-勿J),求出4得公比为p的等比数列

｛a“-也"｝。(2)若p=q,

则由a“=p*+g"n今=占+1n数列｛亍｝为公差是1的等差数列

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以

上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式4.

五、数列的求和

1、两个重要数列的求和(灵活运用公式求解)；

2、｛许+。〃｝型采用分组求和法求和；

3、｛%•2｝为等差数列，，为等比数列)型，采用错位相减法求和；

4、｛义｝(可也eN*且4<勿)型，采用裂项相消法，-^-=—^-(—-^-)0

ahanbnbn-ananbn

常见的拆项公式有：

111否11z11、

〃(〃+1)nn+\(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

③—j=--f=——-(>/^—V^)；

yja+ylba-b

六、数列主要数学思想：

1、函数思想：an=f（n）,neN*

6（1W）a「a,,q,八

2、分类讨论思想：等比数歹U的前〃项和5“="匚q"="匚二9）

n%（q=1）

3、换元思想：如一1---------=1,可设a=」一，则有22=1,故

2-a“+i2-a”2-an

数列｛」_｝是等差数列，其中公差〃=1,首项为」_。

2—cin2-q

4、特殊与一般思想：将等差数列、等比数列特殊化为常数列，在选择、填空题

中效果比较明显。

第四板块：平面向量、数系的扩充与复数

一、平面向量的有关概念：

1、把既具有大小又具有方向的量称为向量，其中大小称为向量的模（或向量的

长度）。

-»

2、把长度为零、方向任意的向量称为零向量。记作：0=（0,0）o

3、把长度为1个单位的向量称为单位向量，其中向量是与向量z同向的单位

向量。（向量单位化）。

4、若a+B=6,则称］是a的相反向量，记作3=-。。

5、a=00）=a〃B

（1）若4〉0,则a=/lg（a与碘线且同向）

（2）若4<o,则R=wq（1与碘线且反向）

二、平面向量的线性运算与数量积：（1=（和凹）］=（々。2））

（一）平面向量的线性运算

1、平面向量的加减法：

（1）几何运算

加法的三角形法则：首尾顺次相接，首向量的起点到末向量的终点。

减法的三角形法则：起点重合，减向量的起点到被减向量的终点。

加法的平行四边形法则：以共起点的两个向量为一组邻边作平行四边形，则与两

个向量共起点的对角线向量为两个向量的和。

引申：a+3=aoa_L否（矩形）；（a+3）-L（a-否）=卜|=恸（菱形）

（2）代数运算（坐标运算）：1±办=（百±々,凶土必）。

2、平面向量的数乘：花=（心,办）

（二）平面向量的数量积：

~~—

1、儿何运算：〃•力=4〃COS。（处JQ与〃的夹角）

（1）夹角:

夹角。必须是当。与芯的起点重合时所成的角，月力£[0,4]。

b=ab<=>8=0（a与词向）

-»—>—>—TT

（）<”•/?<ab=0<6<一

2

f々•f”=o<z>e=—7T

2

-阚TT71

<cfb<Q—<0<7i

2

->fIT—>—>

〃•〃二一b<=>e=〃（a与力反向）

->->

一b

在匕上的投影cos。I

（2）投影

TT

〃在。上的投影“cos。b

2、代数运算（坐标运算）

（1）>平面向量的数量积：a*b=xtx2+yty2

（2）、平面向量的夹角：COS6=*=T

HR77^77^7

（3）>平面向量的模（长度）：，=a=>|a|=^a=Qx：+y；

（三）平面向量基本定理及推论：

1、平面向量基本定理：如果£，J是同一平面内的两个不共线向量，那么对于

—―>—>—>

这一平面内的任意向量。，有且只有一对实数乙，4使：a=2）e,+22e2

2、推论1：点三点共线。方=/1厉+（1-/1）》

3、推论2：若点P分有向线段AB所成的比为；I（空=4）,则

PB

丽=」一次+4而该式称为定比分点向量公式。当％=1时，点P为线段AB

1+A1+2

—►1—*1——►

的中点，0P=—Q4+—08。

22

4、推论3：若点P分有向线段A——B-所成的比为2（丝AP=#，且点尸（打,%）,点

PB

4%以）

乙+木8

XP

点5（4，①），则<1+4该式称为定比分点坐标公式。当4=1时，点P为

%+生

%

1+A

二+%

XP~O

线段AB的中点，则2,该式称为线段中点坐标公式。

v—力+%

yp-z

5、推论4：若而=xE+y而,且/〃A8,则x+y的值确定如下:

1）若点尸在两平行直线外且<dp-/，则x+y>l；

2）若点尸在直线A8上，则x+y=l；

3）若点尸在两平行直线之间，则0<x+y<l；

4）若点P在直线/上，则x+y=O；

5）若点P在两平行直线外且>分_,，则x+y<0。

三、向量的运用

（-）、「与否的夹角d（Q<0<n）和两异面直线a与b的夹角外0<"乡的

对比：

G.ga»b

cos。=■[^而7（0〈。<万）；cos^=（0<^<—）

HWkM2

（二）、而在力上的投影和点A到平面a的距离的对比:

AB•n

cos^=-p.—R

（三）、向量的平行，垂直和直线（平面）的平行，垂直的对比:

—>―»—>—>

(1)AB=ACD^>