高考数学B版真题及模拟：平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积及其应用A组

自主命题·北京卷题组1.(2018北京,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

C本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断.|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔2a2+3a·b-2b2=0,又∵|a|=|b|=1,∴a·b=0

⇔a⊥b,故选C.2.充分条件与必要条件的判断方法:(1)直接法:分别判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假.(2)集合法:设p、q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系进行判断.(3)利用原命题与其逆否命题同真假来判断.方法总结1.平面向量模的问题的处理方法:通常是进行平方,转化成平面向量的数量积问题解决.2.(2017北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的

()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案

A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分

性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.3.(2014北京,10,5分,0.77)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=

.答案

解析∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|=

,∴|λ|=

.思路分析先根据已知得到|a|,|b|的关系,再求出|b|,然后计算|λ|.4.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则

·

的值为

;

·

的最大值为

.答案1;1解析①如图,建立直角坐标系,则D(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0).设E(x,1),那么

=(x,1),

=(0,1),∴

·

=1.

②∵

=(1,0),∴

·

=x.∵正方形的边长为1,∴x的最大值为1,故

·

的最大值为1.评析本题考查向量的数量积运算,建立适当的直角坐标系是解题的关键.B组

统一命题、省(区、市)卷题组考点一长度与角度问题1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量

=

,

=

,则∠ABC=

()A.30°

B.45°

C.60°

D.120°答案

A

cos∠ABC=

=

,所以∠ABC=30°,故选A.2.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=

.答案2

解析本题考查向量数量积的计算.由题意知a·b=|a|·|b|cos60°=2×1×

=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2

.3.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=

.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.评析本题考查向量数量积及向量的模,难度不大.4.(2014课标Ⅰ,15,5分,0.688)已知A,B,C为圆O上的三点,若

=

(

+

),则

与

的夹角为

.答案90°解析由

=

(

+

)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以

与

的夹角为90°.1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=

()A.4

B.3

C.2

D.0考点二数量积的综合应用答案

B本题考查平面向量的运算.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故选B.解题关键掌握向量的运算是解题关键.2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为

,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是

()A.

-1

B.

+1C.2

D.2-

答案

A本题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离.设

=a,

=b,

=e,以O为原点,

的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A点在第一象限,∵a与e的夹角为

,∴点A在从原点出发,倾斜角为

,且在第一象限内的射线上.设B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而

=a-b,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=

x(x≥0)的距离减去圆的半径,所以|a-b|min=

-1.选A.一题多解将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).设

=e,

=a,

=b,

=3e,

=2e,则

⊥

,∴点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图.

∵|a-b|=|

|,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径.∵|

|=2,∠AOM=

,∴|a-b|min=2sin

-1=

-1.3.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若

点E为边CD上的动点,则

·

的最小值为

()

A.

B.

C.

D.3答案

A本题主要考查数量积的综合应用.解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),

B

,C(0,

),令E(0,t),t∈[0,

],∴

·

=(-1,t)·

=t2-

t+

,∵t∈[0,

],∴当t=-

=

时,

·

取得最小值,(

·

)min=

-

×

+

=

.故选A.

解法二:令

=λ

(0≤λ≤1),由已知可得DC=

,∵

=

+λ

,∴

=

+

=

+

+λ

,∴

·

=(

+λ

)·(

+

+λ

)=

·

+|

|2+λ

·

+λ2|

|2方法总结向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可

用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.=3λ2-

λ+

.当λ=-

=

时,

·

取得最小值

.故选A.4.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=

()A.-8

B.-6

C.6

D.8答案

D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D.5.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|

|=6,|

|=4.若点M,N满足

=3

,

=2

,则

·

=

()A.20

B.15

C.9

D.6答案

C依题意有

=

+

=

+

,

=

+

=

-

=

-

,所以

·

=

·

=

-

=9.故选C.6.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则

·(

+

)的最小值是

()A.-2

B.-

C.-

D.-1答案

B设BC的中点为D,AD的中点为E,则有

+

=2

,则

·(

+

)=2

·

=2(

+

)·(

-

)=2(

-

).而

=

=

,当P与E重合时,

有最小值0,故此时

·(

+

)取最小值,最小值为-2

=-2×

=-

.

一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,

则A(-1,0),B(1,0),C(0,

),设P(x,y),取BC的中点D,则D

.

·(

+

)=2

·

=2(-1-x,-y)·

=2

=2

.因此,当x=-

,y=

时,

·(

+

)取得最小值,为2×

=-

,故选B.方法总结在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用

·

=

-

可快速求出最值.7.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若

=2

,

=λ

-

(λ∈R),且

·

=-4,则λ的值为

.答案

解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积.如图,由

=2

得

=

+

,所以

·

=

·(λ

-

)=

λ

·

-

+

λ

-

·

,又

·

=3×2×cos60°=3,

=9,

=4,所以

·

=λ-3+

λ-2=

λ-5=-4,解得λ=

.

思路分析根据

=2

得

=

+

,利用

·

=-4以及向量的数量积建立关于λ的方程,从而求得λ的值.一题多解以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,∠A=

60°,所以B(3,0),C(1,

),又

=2

,所以D

,所以

=

,而

=λ

-

=λ(1,

)-(3,0)=(λ-3,

λ),因此

·

=

(λ-3)+

×

λ=

λ-5=-4,解得λ=

.

8.(2015湖北,11,5分)已知向量

⊥

,|

|=3,则

·

=

.答案9解析∵

⊥

,∴

·

=0,即

·(

-

)=0,∴

·

=

=9.9.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别

在线段BC和DC上,且

=λ

,

=

,则

·

的最小值为

.答案

解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C

,D

.由

=λ

得E

,由

=

得F

.从而

·

=

·

=

+

+

≥

+2×

=

当且仅当λ=

时,取等号

.

C组

教师专用题组考点一长度与角度问题1.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|

+

+

|的最大值为

()A.6

B.7C.8

D.9答案

B解法一:由圆周角定理及AB⊥BC,知AC为圆的直径.故

+

=2

=(-4,0)(O为坐标原点).设B(cosα,sinα),∴

=(cosα-2,sinα),∴

+

+

=(cosα-6,sinα),|

+

+

|=

=

≤

=7,当且仅当cosα=-1时取等号,此时B(-1,0),故|

+

+

|的最大值为7.故选B.解法二:同解法一得

+

=2

(O为坐标原点),又

=

+

,∴|

+

+

|=|3

+

|≤3|

|+|

|=3×2+1=7,当且仅当

与

同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|

+

+

|max=7.故选B.评析本题考查向量的坐标运算,向量的模等基础知识,对能力要求较高.2.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=

min{x,y}=

设a,b为平面向量,则

()A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

答案

D在A中,取a=(1,0),b=(0,0),则min{|a+b|,|a-b|}=1,而min{|a|,|b|}=0,不符合,即A错.在B

中,设a=b≠0,则min{|a+b|,|a-b|}=0,而min{|a|,|b|}=|a|>0,不符合,即B错.因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b,|a

-b|2=|a|2+|b|2-2a·b,则当a·b≥0时,max{|a+b|2,|a-b|2}=|a|2+|b|2+2a·b≥|a|2+|b|2;当a·b<0时,max{|a+b|2,|

a-b|2}=|a|2+|b|2-2a·b≥|a|2+|b|2,即总有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2.故选D.3.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若

e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是

.答案

解析本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则

e1-e2=(

,-1),e1+λe2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cos60°=

=

=

,所以

-λ=

,解得λ=

.疑难突破根据“e1,e2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题

的突破口.易错警示对向量的夹角公式掌握不牢而致错.1.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=

.若n⊥(tm+n),则实数t的值为

()A.4

B.-4C.

D.-

考点二数量积的综合应用答案

B因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-

,又4|m|=3|n|,所以cos<m,n>=

=

=-

=

,所以t=-4.故选B.评析本题主要考查了非零向量垂直的充要条件和夹角公式,属中档题.2.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则

·

=

()A.-

a2

B.-

a2C.

a2

D.

a2

答案

D

·

=(

+

)·

=

·

+

=

a2+a2=

a2.3.(2014重庆,4,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=

()A.-

B.0

C.3

D.

答案

C2a-3b=(2k-3,-6),由(2a-3b)⊥c,得4k-6-6=0,解得k=3.选C.4.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,

DF=μDC.若

·

=1,

·

=-

,则λ+μ=

()A.

B.

C.

D.

答案

C以

,

为基向量,则

·

=(

+λ

)·(

+μ

)=μ

+λ

+(1+λμ)

·

=4(μ+λ)-2(1+λμ)=1①.

·

=(λ-1)

·(μ-1)

=-2(λ-1)(μ-1)=-

②,由①②可得λ+μ=

.5.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中

的是

()A.|a·b|≤|a||b|

B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2

D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

答案

B|a·b|=|a|·|b|·|cos<a,b>|≤|a|·|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确;当b=-a≠0时,|a-b|>||a|-|b||,B错误.故选B.评析本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力.6.(2015福建,9,5分)已知

⊥

,|

|=

,|

|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且

=

+

,则

·

的最大值等于

()A.13

B.15

C.19

D.21答案

A以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B

(t>0),C(0,t),P(1,4),

·

=

·(-1,t-4)=17-

≤17-2×2=13

,故

·

的最大值为13,故选A.7.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE

并延长到点F,使得DE=2EF,则

·

的值为

()A.-

B.

C.

D.

答案

B建立平面直角坐标系,如图.

则B

,C

,A

,所以

=(1,0).易知DE=

AC,则EF=

AC=

,因为∠FEC=60°,故选B.所以点F的坐标为

,所以

=

,所以

·

=

·(1,0)=

.疑难突破若利用公式a·b=|a|·|b|cos<a,b>求解十分困难,则可以考虑建立平面直角坐标系,利

用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.评析本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积.考查运算求解能力和数形结合思想.8.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m

=

()A.-2

B.-1C.1

D.2答案

D解法一:由c与a的夹角等于c与b的夹角,可设c=λ

=

a+

b(λ∈R),∵c=ma+b,∴

⇒m=2.解法二:c=ma+b=(m+4,2m+2),∵c与a的夹角等于c与b的夹角,且向量夹角的取值范围是[0,π],∴

=

,∴2(a·c)=b·c⇒2(m+4+4m+4)=4m+16+4m+4⇒m=2.9.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于

点O.记I1=

·

,I2=

·

,I3=

·

,则

()

A.I1<I2<I3

B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2

D.I2<I1<I3

答案

C解法一:因为AB=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.过B作BE⊥AC于E,则∠EBC=45°.因为AD<DC,所以D、A在BE所在直线的同侧,从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角,所以∠DOC为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可设

=-λ1

(λ1>1),

=-λ2

(λ2>1),从而I3=

·

=λ1λ2

·

=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,∴I3<I1<0,∴I3<I1<I2.故选C.

解法二:如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).

设D(m,n),由AD=2和CD=3,得

从而有n-m=

>0,∴n>m.从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可设

=-λ1

(λ1>1),

=-λ2

(λ2>1),从而I3=

·

=λ1λ2

·

=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故选C.10.(2014湖北,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=

.答案

±3解析|a|=3

,|b|=

,a·b=3×1+3×(-1)=0.因为(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.11.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,

=3

,

·

=2,则

·

的值是

.

答案22解析

·

=(

+

)·(

+

)=

·

=

-

+

·

=25-

×64-

·

=13-

·

=2,故

·

=22.12.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤

,则a·b的最大值是

.答案

解析对任意单位向量e,均有

≥|a·e|+|b·e|≥|a·e+b·e|=|(a+b)·e|,∴|a+b|≤

,当且仅当a+b与e共线时,等号成立.∴a2+2a·b+b2≤6,又|a|=1,|b|=2,∴a·b≤

,即a·b的最大值为

.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组考点一长度与角度问题1.(2018北京朝阳一模,4)已知a,b为非零向量,则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的

()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案

B∵a,b为非零向量,∴a·b>0⇔cos<a,b>>0⇔<a,b>∈

,a,b的夹角为锐角⇔<a,b>∈

,又

⫋

,故选B.2.(2017北京丰台二模,5)已知向量a=

,b=(

,-1),则a,b的夹角为

()A.

B.

C.

D.

答案

B由题意可得cos<a,b>=

=

=

=

,∴a,b的夹角为

,故选B.3.(2017北京顺义二模,3)已知向量

=(1,

),

=(-1,

),则∠BAC=

()A.30°

B.45°

C.60°

D.120°答案

C∵cos∠BAC=

=

=

,且∠BAC∈[0,π],∴∠BAC=60°,故选C.4.(2018北京海淀二模,11)已知平面向量a,b的夹角为

,且满足|a|=2,|b|=1,则a·b=

,|a+2b|=

.答案1;2

解析

a·b=|a||b|cos<a,b>=2×1×

=1,|a+2b|=

=

=

=2

.5.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a·(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量a,b的夹角为

.答案

解析设a与b的夹角为θ,因为a·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0⇒|a|·|a|+|a|·|b|cosθ=0,又因为2|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cosθ=0,即1+2cosθ=0,所以cosθ=-

,从而θ=

.1.(2018北京延庆一模,4)已知非零向量a,b,c,则“a·(b-c)=0”是“b=c”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件考点二数量积的综合应用答案

B若a·(b-c)=0,则b=c或a⊥(b-c),故充分性不成立.若b=c,则b-c=0,∴a·(b-c)=0,故必要性成立,故选B.2.(2018北京朝阳二模,5)如图,角α,β均以Ox为始边,终边与单位圆O分别交于点A,B,则

·

=

()

A.sin(α-β)

B.sin(α+β)C.cos(α-β)

D.cos(α+β)答案

C解法一:

·

=|

|·|

|cos<

,

>=1×1×cos(β-α)=cos(β-α)=cos(α-β).故选C.解法二:由三角函数的定义得A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),∴

·

=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β).3.(2018北京西城期末,6)设a,b是非零向量,且a,b不共线.则“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

C由|a+2b|=|2a+b|,两边平方得,|a+2b|2=|2a+b|2,即|a|2+4a·b+4|b|2=4|a|2+4a·b+|b|2,所以3|a|2=3|b|2,即|a|=|b|,所以“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的充分必要条件,故选C.4.(2017北京东城一模,5)已知向量a,b满足2a+b=0,a·b=-2,则(3a+b)·(a-b)=

()A.1

B.3

C.4

D.5答案

B∵2a+b=0,∴a与b的夹角为π,且|b|=2|a|,又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cosπ=-2,∴|a|=1,|b|=2,故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.5.(2018北京通州期中,9)已知向量a=(

,1),b=(0,-1),c=(

,k),若a-2b与c垂直,则k=

.答案-1解析∵a=(

,1),b=(0,-1),∴a-2b=(

,3),又∵a-2b与c垂直,c=(

,k),∴(a-2b)·c=0,即

×

+3k=0,解得k=-1.6.(2018北京丰台期末,9)已知单位向量a,b的夹角为120°,则(a+b)·a=

.答案

解析由题意得a·b=1×1·cos120°=-

,∴(a+b)·a=a2+a·b=1+

=

.7.(2018北京通州期中,13)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足

=2

,则

·(

+

)的值为

.答案-4解析∵AM=3,点P在AM上,且满足

=2

,∴|

|=2.∵M是BC的中点,∴

+

=2

=

,∴

·(

+

)=

·

=-|

|2=-4.8.(2017北京朝阳二模,10)若向量a=(cosθ,sinθ),b=(1,-1),且a⊥b,则sin2θ的值是

.答案1解析由a⊥b得a·b=0,因为a=(cosθ,sinθ),b=(1,-1),所以a·b=cosθ-sinθ=0,所以(cosθ-sinθ)2=

cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=0,所以sin2θ=2sinθ·cosθ=sin2θ+cos2θ=1.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:25分钟分值:45分)一、选择题(每题5分,共20分)1.(2018北京东城期末,6)设a,b为非零向量,则“|a+b|=|a-b|”是“a·b=0”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

C充分性:由|a+b|=|a-b|,两边平方得|a+b|2=|a-b|2,∴|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,化简得a·b=0.必要性:由a·b=0,得2a·b=-2a·b,∴|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即|a+b|2=|a-b|2,∴|a+b|=|a-b|.故选C.2.(2018北京通州期中,7)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若

+

+

=0,且|

|=|

|,则

·

等于

()A.

B.

C.3

D.2

答案

C∵

+

+

=0,∴

=-

,故点O是BC的中点,则△ABC为直角三角形,又△ABC的外接圆半径为1,|

|=|

|,所以BC=2,CA=

,∠BCA=30°,∴

·

=|

|·|

|cos30°=2×

×

=3.故选C.3.(2018北京海淀一模,8)已知点M在圆C1:(x-1)2+(y-1)2=1上,点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1上,则下

列说法错误的是

()A.

·

的取值范围为[-3-2

,0]B.|

+

|的取值范围为[0,2

]C.|

-

|的取值范围为[2

-2,2

+2]D.若

=λ

,则实数λ的取值范围为[-3-2

,-3+2

]答案

B解法一:如图1,因为∠MON≥90°,所以

·

≤0,因为|OM|≤|OC1|+|C1M|=1+

,|ON|≤|OC2|+|C2N|=1+

,所以

·

=|OM|·|ON|·cos<

,

>≥-(

+1)2=-3-2

,注意到当M(1,0),N(0,-1)时,

·

=0,当M

,N

时,

·

=-(

+1)2=-3-2

.故选项A正确.

图1如图2,

+

=

+

+

+

=

+

,故|

+

|≤|

|+|

|=2,选项B错误.

图2如图3,

-

=

=

+

+

,|

-

|=|

|≤|

|+|

|+|

|=2+2

,|

-

|=|

|≥-|

|+|

|-|

|=-2+2

,当M

,N

时,|

|=2+2

;当M

,N

时,|

|=-2+2

.选项C正确.

图3由题意λ<0,且|λ|=

,注意到|OM|,|ON|∈[

-1,

+1],故|λ|∈

,故λ∈[-3-2

,-3+2

],选项D正确.解法二:如图,设M(1+cosα,1+sinα),N(-1+cosβ,-1+sinβ),<

,

>=θ,α,β∈[0,2π],θ∈

,则

·

=|OM|·|ON|·cos<

,

>=

·

·cosθ,当α=

,β=

,θ=π时,

·

取最小值,为-3-2

,当θ=

时,

·

取最大值,为0,选项A正确.

设M(1+cosα,1+sinα),N(-1+cosβ,-1+sinβ)(α,β∈[0,2π]),则

+

=(cosα+cosβ,sinα