新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数章末素养提升课件新人教A版必修第一册

第四章指数函数与对数函数章末素养提升|体系构建||核心归纳|(3)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．上述有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用．2．对数重要公式与运算性质(1)对数的基本性质(a＞0，且a≠1，N＞0)①loga1＝0；logaa＝1；②alogaN＝N；logaaN＝N．3．指数、对数函数的图象与性质函数指数函数y＝ax对数函数y＝logaxa＞10＜a＜1a＞10＜a＜1图象

定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R函数指数函数y＝ax对数函数y＝logaxa＞10＜a＜1a＞10＜a＜1性质过定点(0，1)过定点(1，0)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0在R上单调递增在R上单调递减在(0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减函数指数函数y＝ax对数函数y＝logaxa＞10＜a＜1a＞10＜a＜1底数大小的比较

注：指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称(如图所示)．4．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．5．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε．(2)求区间(a，b)的中点c．(3)计算f(c)．①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4)．6．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较性质函数y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调递增，且a越大，增长越快单调递增，且a越小，增长越快单调递增，且x＞1时，n越大，增长越快增长速度越来越快越来越慢越来越快图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同选取上述三个增长函数模型时，应注意：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化．当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快．7．建立函数模型解决实际问题的基本思路|素养提升|(一)函数与方程思想思想方法解读：函数的某一种状态就是方程，例如，方程的问题可以利用它对应的函数的性质来解决，而函数的许多问题则需要利用方程来解决．函数思想是从变量出发研究整体的性质，而方程思想则是从未知数的角度出发，研究函数在某一状态下的性质．【点评】要注意在含变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．1．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点(－2，16)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m＋5)＜f(3m＋3)，求实数m的取值范围．(二)数形结合思想思想方法解读：用分析图形的方法解决问题，一方面要发挥图形的直观形象的作用，另一方面要注意画图的准确性、完整性和对图形的观察是否细致，并注意结合数学运算来完成．【答案】(1)－1

(2)(－∞，0)∪[1，＋∞)【解析】(1)由分段函数的表达式，得f(－1)＝2－(－1)＝2，f(2)＝a＋1，则由f(f(－1))＝0，得f(2)＝a＋1＝0，得实数a＝－1．作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象知当x＜0时，函数f(x)为单调递减函数，且f(x)＞1，当x≥0时，f(x)≤1．所以要使直线y＝m与y＝f(x)的图象有且只有一个交点，则m≥1或m＜0，即实数m的取值范围是(－∞，0)∪[1，＋∞)．

【点评】数形结合思想能把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合起来，通过对规范图形或示意图的观察分析，化抽象为具体，化直观为精确，从而使问题得解．【答案】1【解析】在同一平面直角坐标系中作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示．易知A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1．(三)分类与整合思想思想方法解读：涉及指数、对数函数，当底数a不确定时，要分0＜a＜1和a＞1讨论；涉及形如f(x)＝ax2＋bx＋c的函数，要分a＝0和a≠0讨论．【答案】C【解析】当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上单调递减，所以f(x)∈[4，＋∞)．当x＞2时，若a∈(0，1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上单调递减，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，故a＞1，此时f(x)在(2，＋∞)上单调递增，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)．由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，解得1＜a≤2．故选C．【点评】应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．3．(2022年金华期中)当x∈[1，2]时，函数f(x)＝ax2＋4(a＋1)x－3在x＝2时取得最大值，则实数a的取值范围是________．|思想方法|1．数学运算——指数运数中的学科素养指数的运算除了熟练运用定义和法则外，根据不同的题目结构，会有不同的方法技巧，体现了数学运算核心素养．化简下列各式(x＞0，y＞0)：【思路点拨】

善于根据题目特点利用平方差公式、立方差、立方和公式化简．【点评】对于分式的化简求值，我们应着重掌握乘法公式在分数指数幂中的应用，并能灵活运用乘法公式，熟记并灵活使用下列常用公式：①a2－b2＝(a－b)·(a＋b)；②a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．2．数学抽象——指数、对数函数中的学科素养大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．(一)以指数函数为模型的抽象函数设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．【思路点拨】由已知猜想f(x)是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的抽象函数，从而猜想f(0)＝1，且f(x)＞0．解：(1)将y＝0代入f(x＋y)＝f(x)·f(y)，得f(x)＝f(x)·f(0)，于是有f(x)[1－f(0)]＝0．若f(x)＝0，则对任意x1≠x2，有f(x1)＝f(x2)＝0，这与已知题设矛盾，所以f(x)≠0，从而f(0)＝1．(2)设x＝y≠0，则f(2x)＝f(x)·f(x)＝[f(x)]2≥0．又由(1)知f(x)≠0，所以f(2x)＞0．由x为任意实数，知f(x)＞0．故对任意x∈R，都有f(x)＞0．【点评】从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f(x)[1－f(0)]＝0，直接得出f(0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．【思路点拨】由已知猜想f(x)是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的抽象函数．【点评】(1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f”，从而使问题得以解决．|链接高考|指数、对数函数的运算【答案】C【点评】本题考查对数的运算，将L＝4.9代入题中所给公式，计算即可求出结果．【答案】C【点评】本题考查对数与指数的运算，注意整体代入思想的运用，属基础题．

(2022年天津)化简(2log43＋log83)·(log32＋log92)的值为 (

)A．1 B．2C．4 D．6【答案】B【点评】本题考查了对数的换底公式应用问题，是基础题．【答案】C【点评】本题考查指数的运算与应用问题，是基础题．【答案】C指数、对数函数的性质及应用【点评】本题考查根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值大小，是基础题．

(2021年新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝______