期末典例专练11：分数和百分数应用综合“奥数思维训练版”-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（解析版）苏教版

第第页2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列期末典例专练11：分数和百分数应用综合“奥数思维训练版”[]1．一列火车有31节车厢（含车头），车头长度为15米，每节车厢长28米，每两节车厢间距为1.5米，这列火车每小时可行驶90千米，一辆汽车的最快速度比火车快，如果这辆汽车行驶到火车尾部想快速超过这列火车，最少需要多长时间？【答案】1.5分钟【分析】由题意可知，火车的长度包括1个车头的长度、（31－1）节车厢的长度、（31－1）个间距的长度，先求出火车的总长度，并把单位转化为“千米”；再把火车的速度看作单位“1”，汽车的速度比火车的速度快，汽车的速度＝火车的速度×（1＋）；汽车追上火车时比火车多行驶了一个火车的长度，最后根据“追及时间＝路程差÷速度差”求出这辆汽车超过火车需要的时间，据此解答。【详解】火车的长度：15＋（31－1）×28＋（31－1）×1.5＝15＋30×28＋30×1.5＝15＋840＋45＝855＋45＝900（米）900米＝0.9千米汽车的速度：90×（1＋）＝90×＝126（千米/时）追及时间：0.9÷（126－90）＝0.9÷36＝0.025（小时）0.025×60＝1.5（分钟）答：最少需要1.5分钟。【点睛】求出火车的长度和汽车的速度并掌握追及时间的计算公式是解答题目的关键。2．抄一份稿件，李、刘二人合作15小时可抄完，如果李单独一人抄，24小时可抄完．现在李、刘二人合抄9小时后，余下的由刘一人单独抄，还需几个小时抄完？【答案】16小时【详解】李、刘二人的工作效率和是，刘的工作效率是－．根据工作时间等于工作总量除以工作效率作答．答案：(1－×9)÷(－)＝16(小时)3．甲、乙、丙三人合修一条公路。甲、乙合修6天修好公路的，乙、丙合修2天修好余下的；剩下的部分三人又合修了5天才完成。共得到劳务费3600元，按各人完成工作量的多少来分配劳务费，三人各应得劳务费多少元？【答案】甲获660元，乙获1820元，丙获1120元。【分析】假设工程总量为3600，分别求出甲乙丙三人的工作效率，再算出三人的劳务费即可。【详解】假设工作总量为3600甲、乙合修6天修：3600×甲乙每天修：1200÷6＝200乙、丙合修2天修：乙丙每天修：600÷2＝300甲乙丙三人5天合修：3600－1200－600＝2400－600＝1800则甲乙丙三人每天修：1800÷5＝360甲每天修：360－300＝60丙每天修：360－200＝160乙每天修：360－60－160＝140甲应获劳务费：60×（6＋5）＝60×11＝660（元）乙应获：140×（6＋2＋5）＝140×13＝1820（元）丙应获：160×（2＋5）＝160×7＝1120（元）答：甲获660元，乙获1820元，丙获1120元。【点睛】本题考查分数乘法、工程问题，解答本题的关键是掌握工程问题的解决方法。4．来了多少客人？一天，小林正在家里洗碗，小强看见了问道：“怎么洗那么多的碗？家里来客人了？来了多少人？”小林说：“我没有数，只知道他们每人用一个饭碗，二人合用一个汤碗，三人合用一个才菜碗，四人合用一个大酒碗，一共用了25个碗。”你知道来了多少客人吗？【答案】12人【分析】可以将人数设为未知数，将每一种碗的数量表示出来，根据碗的总数量列方程求解。【详解】解：设来了x个客人；答：来了12个客人。【点睛】列方程求解应用题是一种常规方法，关键是合理设未知数，准确列出方程并求解。5．甲从A地到B地需要5小时，乙从B地到A地，速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行。在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，A、B两地相距多少千米？【答案】156千米【分析】根据题意，把A、B两地的距离看作单位“1”，则甲每小时行，乙每小时行×，那第一次相遇时间的时间即可求出，此时甲、乙各行了全程的几分之几也可以求出，从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了两个全程，因此甲走了全程的几分之几可以求出，这个地方离甲的出发点是全程的几分之几也可以求出，由此问题即可解决。【详解】将A、B两地的距离看作单位“1”。则甲每小时行，乙每小时行：第一次相遇时间是：（小时）此时甲行了全程的：乙行了全程的：从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了两个全程。所以，甲走了全程的：这个地方离甲的出发点是全程的：故两次相遇点之间距离是全程的：全程的距离是：（千米）答：A、B两地相距156千米。【点睛】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，求出两次相遇点之间距离是全程的几分之几，用对应的数除以对应的分数，即可求出单位“1”。6．学校派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占。正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的。正式参赛的女选手有多少名？【答案】10名【分析】因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解。把总人数视为“1”，男选手人数是60×（1－）＝45（人），男选手人数占正式参赛选手总数的1－，所以正式参赛选手总数是：45÷（1－）＝55（人），正式参赛的女选手人数是55×＝10（人）。【详解】男选手人数是：60×（1－）＝45（人）正式参赛选手总数是：45÷（1－）＝55（人）正式参赛的女选手人数是55×＝10（人）答：正式参赛的女选手有10名。【点睛】本题考查分数乘除法，解答本题的关键是找准单位“1”。7．3月25日正午12点，甲、乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发，相向而行。航行中的每天正午12点，这两艘轮船都会放出一只信鸽，以相同的速度飞向B港报信。已知甲船3月31日放出的信鸽“阿呆”与乙船4月1日放出的信鸽“阿瓜”同时到达B港。4月7日正午12点，乙船到达了A港，此时乙船放出了它在整个航程中的最后一只信鸽，而该信鸽恰好与甲船同时到达曰港。已知除了“阿呆”与“阿瓜”之外，还有一对信鸽也是同时到达B港，请求出这对信鸽到达日港的准确时间。【答案】4月11日0时【分析】本题中甲、乙两港的路程，甲、乙两船的速度，信鸽的速度都不知道，可以考虑设成未知数，列方程求解。【详解】解：设全程为1份，则乙船每天航行全程的，设甲船航行完全程需要x天，信鸽飞完全程需要y天；到3月31日的正午12点，甲、乙两船共航行了；接着1天后的正午12点，“阿呆”与乙船相遇，说明3月31日正午12点的时候甲、乙两船相距，所以①乙花13天到达A港，根据“此时乙船放出了它在整个航程中的最后一只信鸽，而该信鸽恰好与甲船同时到达B港”可知又过了y天甲到达了B港，所以②联立①、②并解得；假设乙船放信鸽的时候已经过去了a天，信鸽还要再过b天追上甲，则此时甲、乙两船相距，恰好是信鸦追甲船的路程差，即，化简得，解得，再往下的解由于与题意不符，故舍去，说明这只信鸽是乙船开出11天后放出的，它飞到B港还需要天，所以是4月11日的0时。答：这对信鸽到达日港的准确时间4月11日的0时。【点睛】利用二元一次方程组求解问题，一方面是合理设未知数列出方程，另一方面还要能够准确解出未知数。8．有红、黄、白三种球共160个。如果取出红球的，黄球的，白球的，则还剩120个；如果取出红球的，黄球的，白球的，则剩116个，问：（1）原有黄球几个？（2）原有红球、白球各有几个？【答案】（1）40个（2）红球45个、篮球75个【分析】根据题意可得出下面的关系式：红球×＋黄球×＋白球×＝160－120＝40

①红球×＋黄球×＋白球×＝160－116＝44

②红球＋黄球＋白球＝160

③据此解答即可。【详解】取160÷40＝4次刚好取完，红球还差：－1＝白球就多出来1－＝，黄球取完了；说明红球的和白球的三相等，红球和白球个数的比3∶5；按着两种方案的比较发现：白球的－＝比红球的多4个；即白球比红球多：4÷＝30（个）所以红球有30÷（5－3）×3＝45（个）；白球有45＋30＝75（个）；黄球就是160－45－75＝40（个）；答：原有黄球40个；原有红球45个、白球75个。【点睛】本题主要考查分数乘法的意义。9．甲乙两台抽水机排出井内积水，在工作过程中，每小时向井内流入现在井水的，如果不向井内流水，排净井内积水需要的时间：甲机独抽需10小时，乙机独抽需15小时，如果两机同时开始工作，需几小时将井内水和流入的水全部抽干？【答案】小时【分析】本题可设井内需要排出的积水量为1，如果不向井内流水，则甲的每小能排出全部积水的，乙每小时能排出全部积水的；如果两机同时开始工作，则每小时能排出全部积水的＋－（因为在工作过程中，每小时向井内流入现在井水的），所以根据工作量÷工作效率＝工作时间，列式为：1÷（＋－），据此得解。【详解】解：设井内需要排出的积水量为1，则需要的时间为：1÷（＋－）＝1÷＝（小时）答：如果两机同时开始工作，需小时将井内水和流入的水全部抽干。【点睛】设井内需要排出的积水量为1，并把井内实际的排水效率表示出来再相除是解决本题的关键。10．四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只的总数的，第二只小猴吃的是另外三只吃的总数的，第三只小猴吃的是另外三只的总数的，第四只小猴将剩下的个桃全吃了。问四只小猴共吃了多少个桃？【答案】120个【分析】根据分数的意义，可知前三只小猴分别吃了总数的，则可知第四只吃的占总数的，根据单位“1”的量＝部分量÷对应分率，求出四只猴总共吃的桃子数目即可。【详解】＝120（个）答：四只小猴共吃了120个桃。【点睛】本题考查分数除法，解答本题的关键是理解前三只小猴吃的桃子数占总数的几分之几。11．某小学六年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是剩下女生人数的2倍，已知这个学校六年学生共有156人，男、女生各有多少人？【答案】男生99人，女生57人．【详解】某小学六年级选出男生的参加竞赛，则剩余男生为1-．女生减少12人后，剩下的男生人数是剩下女生人数的2倍，剩下女生人数相当于男生原有人数的（1-）÷2=，那么男生人数为（156-12）÷（1+）=99（人）．女生人数为156-99=57（人）．12．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，第一次相遇后，甲速度提高了，乙速度提高了，这样当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A，B两地相距多少千米？【答案】45千米【详解】解：设A，B两地相距x千米．x÷×＋14＝xx÷×＋14＝x×x＋14＝xx－x＝14x＝14x＝4513．小红、小强、小林三人去完成种树任务，已知小红种2棵树的时间，小强种3棵，小林种4棵．他们先一起干了6天，完成全部任务的，然后小林休息了9天，小强休息了6天，小红没休息，最后一起完成任务．所以，从开始种树算起，共用了多少天才完成了任务？小强种树占全部任务的几分之几？【答案】18天；．【分析】本道题目把小红种2棵树的时间看做单位1，可设为1天，就好解决了．【详解】解：假设一天小红只种2棵树，由（2+3+4）×6=54（棵）占全部的，知剩下54棵树．在小林休息的9天中共种：9×2+（9﹣6）×3=18+9=27（棵）．剩下的任务所需要的时间：（54﹣27）÷（2+3+4）=27÷9=3（天）种树需要的总天数：6+9+3=18（天），小强种的树的数量（相对量）3×（6+3+3）=36（棵）答：从种树开始共用18天完成任务，小强种的树占全部任务的．14．、两项工程分别由甲、乙两个队来完成。在晴天，甲队完成工程需12天，乙队完成工程需15天；在雨天，甲队的工作效率要下降，乙队的工作效率要下降。现在，两队同时开工，并同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，晴天有多少天？【答案】6天【分析】分别求出甲乙两队雨天时的工作效率，再求出晴天和雨天两队的效率差，从而确定甲队和乙队在晴天和雨天时的工作效率比，进而确定晴天的天数。【详解】在雨天：甲队完成A工程的工作效率：×（1－40%），＝×60%，＝乙队完成B工程的工作效率：×（1－10%），＝×90%，＝晴天时甲队比乙队高的工作效率：－＝雨天时乙队比甲队高的工作效率：－＝甲队和乙队在晴天和雨天时的工作效率比：∶＝5∶3按照3个晴天，5个雨天可得甲完成的工作量是：×3＋×5＝＋＝3×2＝6（天）答：在施工的日子里，晴天有6天。【点睛】本题考查了工程问题，时间分之一可以看作工作效率。15．甲、乙、丙3个试管中各盛水10克、20克、30克，把某种浓度的药水10克，倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中。再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中，现在丙管中药水浓度为2%。最早倒入甲管中的药水浓度是多少？【答案】48%【分析】用逆推法，先根据“溶剂=溶液×浓度”求出丙试管中药的质量（30＋10）×2%=0.8（克）；由于丙中的药来自乙中倒入的10克药水，用0.8除以10，求出乙管中的药水浓度，再乘乙管的药水质量（20＋10）克，进而求出乙管中药的质量，同理，可依次求出甲管中药的质量，最后根据“浓度=溶剂÷溶液”求出倒入甲液中的药水浓度。【详解】①丙管中的药质量：（30＋10）×2%＝0.8（克）②乙管中药的重量：0.8÷10×（20＋10）＝2.4（克）③甲管中药的重量：2.4÷10×（10＋10）＝4.8（克）④倒入甲管中药水的浓度是：4.8÷10×100%＝48%答：最早倒入甲管中的药水浓度是48%。【点睛】本题考查浓度配比问题，从看似混乱的信息中，通过耐心分析，找出突破点，适当运用逆向思考是解题的关键。16．早上水缸注满了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。问早上注入多少升水？【答案】115升【分析】可用列方程的方法，利用的等量关系为：最后剩下的水比半水缸多1升。设早上注入x升水，白天用去其中的20%后还剩（1－20%）x；傍晚又用去27升后还剩下（1－20%）x－27；晚上用去剩下水的10%后还剩下[（1－20%）x－27]×（1－10%）。【详解】解：设早上注入x升水。[（1－20%）x－27]×（1－10%）－50%x＝1[0.8x－27]×0.9－0.5x＝10.72x－27×0.9－0.5x＝10.72x－24.3－0.5x＝10.72x－0.5x＝25.30.22x＝25.3x＝115答：早上注入115升水。【点睛】找出等量关系式是列出方程的关键。17．甲容器中有浓度为20%的盐水400克，乙容器中有浓度为10%的盐水600克，分别从甲和乙中取相同重量的盐水，把从甲容器中取出的盐水倒入乙容器，把乙容器中取出的盐水倒入甲容器，现在甲、乙容器中盐水浓度相同，则甲、乙容器中各取出多少克盐水倒入另一个容器？【答案】甲、乙容器中各取出240克盐水倒入另一个容器【分析】不同浓度配制相同浓度的问题，一定要抓住，“先分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，再把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中，现在两种容器中的盐水的浓度相同．”可知甲乙两个容器混合前后的盐水重量不变，浓度相同，就看作完全混合，求出浓度，及混合前后的含盐量相差多少，就可解决．【详解】解：设甲、乙容器中各取出x克盐水倒入另一个容器，由题意得：=600（80﹣0.1x）=400（60+0.1x）480﹣480﹣0.6x=240+0.4x480﹣0.6x+0.6x=240+0.4x+0.6x480=240+x240+x=480240+x﹣240=480﹣240x=240答：甲、乙容器中各取出240克盐水倒入另一个容器．18．小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的55%。有弟弟的学生是全班学生人数的50%。既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%。既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名。根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？【答案】40名【分析】全班人数包括四部分：只有哥哥的学生，只有弟弟的学生，既有哥哥，又有弟弟的学生，既没有哥哥，又没有弟弟的学生，因此既没有哥哥，又没有弟弟的学生占全班的：1－（55%＋50%－25%）＝20%，根据百分数乘法的意义，求全班的总人数，列式为：8÷[1－（55%＋50%－25%）]，然后解答即可得出答案。【详解】8÷[1－（55%＋50%－25%）]＝8÷20%＝40（名）答：小明班上共有学生40名。【点睛】本题考查了容斥原理，关键是理解全班人数包括四部分，知识点是：总人数＝（A＋B）－既A又B。本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A＋B－总数量（两种情况）。本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数＋属于B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。19．某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划，干了4天后改用新施工方法，由于新施工方法比旧施工方法效率高50％，因此比计划提前1天完工。如果用旧施工方法干了200米后就改用新施工方法，那么可以比计划提前2天完工。问：原计划每天筑路多少米？几天完工？【答案】200米；7天【分析】新工效是旧工效的1＋50%＝，所以新旧工效之比为3∶2，所需时间比为2∶3，新方法用时间为旧方法所用时间的，差为旧方法时间的，是一天，所以旧方法用1÷＝3天，所以此工程共需7天．这样新方法工作三天即可提前一天，所以要使工程提前两天，则新方法需干6天。旧方法只干7－6＝1天，每天干200米