天津市红桥区2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1天津市红桥区2024届高三上学期期中数学试题第Ⅰ卷参考公式：柱体体积公式：，其中表示柱体底面积，表示柱体的高.锥体体积公式：，其中表示锥体底面积，表示锥体的高.球体表面积公式：，其中表示球体的半径.球体体积公式：，其中表示球体的半径.一､选择题1.设集合那么“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得，可知“”是“”的充分而不必要条件．2设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A.–4 B.–2 C.2 D.4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.3.已知，若，则的值为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，解得，故选C．4.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到图象对应的函数解析式为，将的图象向左平移个单位得到的图象对应的解析式为.故选：B.5.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得，，，所以.故选：C.6.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，设正方体的边长为，则，则正方体的对角线长为，所以正方体外接球球的直径，半径，所以球的体积为.故选：A7.已知等差数列满足，，等比数列满足，，则（）A.32 B.64 C.128 D.256【答案】B【解析】由，可知数列,所以,故.故选B.8.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.有两个极值点 B.有两个极小值C.为函数的极小值 D.为的极小值【答案】B【解析】由函数的图象，可得：当时，可得，所以，单调递减；当时，可得，所以，单调递增；当时，可得，所以，单调递减；当时，可得，所以，单调递增，所以，当时，函数极小值；当时，函数极大值；当时，，函数极小值，所以A错误，B正确，C错误，D错误.故选：B.9.已知函数，当时，恒有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易证函数f(x)为奇函数，∵时，恒有成立∴x=0时，f(a)<f(0)=0;当a=0时，f(a)=0舍去；当a>0时，不成立，舍去当a<0时，-，解得-1<a<0(i)时，，∴，即<0恒成立令h(x)=，则h(x)单调递减，∴解得(ii)下面证明时，当时恒成立时，x+a对称轴x=>若，则，成立；若，在单调递增，则恒成立综上故选：C.二､填空题10.已知函数在上有增区间，则a取值范围是_______.【答案】【解析】由题得，因为函数在上有增区间，所以存在使得成立，即成立，因为时，，所以.故答案为：11.已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=_____.【答案】【解析】设数列公差为非零常数d，由题意，即，解得.所以.故答案为：12.如图，在中，，且，点满足，则__________.【答案】【解析】因为，所以，因为，，所以，则.故答案为：.13.已知函数，则的最小正周期为__________；在区间上的取值范围是__________.【答案】【解析】由函数，可得函数的最小正周期为，又由，可得，所以，当，即时，函数取得最小值；当，即时，函数取得最大值，所以在的取值范围为.故答案为：；.14.已知向量，，，若，则________；若与的夹角为钝角，则的取值范围为_________.【答案】【解析】由题，，若，所以，则；若与的夹角为钝角，则且，所以且，即，故答案为：；15.若两个正实数x，y满足且任意的x，y使不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4，由得．故答案为：．三､解答题16.在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值解：（1）正弦定理得17.如图所示，在三棱柱中，侧棱底面为的中点..（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：连接交于，连接,在中，为中点，为中点,所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：由题意侧棱底面所以底面，即，又，所以平面,所以可建立空间直角坐标系如图：以为原点，以，，分别为轴，轴，轴，则，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，取则所以平面的一个法向量为，因为底面，所以平面的一个法向量为,设二面角大小为，则，所以二面角的余弦值为18.已知为数列的前项和，（），且．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．（1）解：由和，可得，（2）解：解法1：当时，由得，整理得，所以所以数列是首项，公差为6的等差数列，所以；解法2：当时，由，可得所以，所以数列是以首项，公差为3的等差数列所以，即，所以；（3）证明：由（2）知，所以，所以，得证.19.已知函数.（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）求关于x的不等式的解集；（3）若在区间上恒成立，求实数a的范围.解：（1）当时，则，由，得，原不等式的解集为；（2）由，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（3）由即上恒成立，得.令，则，当且仅当，即时取等号.则.故实数a的范围是.20.已知函数．（1）若的单调递增区间为，求的值．（2）求在上的最小值．解：（1）函数定义域为.由于函数的单