江苏省镇江地区2024届高三上学期10月期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省镇江地区2024届高三上学期10月期中数学试题一、单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，又所以，故选：C.2.已知复数的模为2，则实数（）A. B. C.或2 D.或4【答案】D【解析】由复数，因为复数的模为，可得，解得.故选：D.3.使成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式，可得，因为，，，因此，使成立的一个充分不必要条件是.故选：C.4.已知正实数、满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为正实数、满足，则，可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，故的最小值为.故选：B.5.若向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，，所以在上的投影向量为.

故选：C6.在中，若，则的面积为（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】由题意可得：，即，整理得，解得或（舍去），所以的面积为.故选：D.7.已知圆锥为底面圆心，为圆锥的母线，且，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，则，可知等腰底边上的高为，由的面积可得，解得，即圆锥的底面半径为2，所以该圆锥的体积.故选：B.8.设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，则或，解得或，所以因为两函数图象的公共点的横坐标从小到大依次为，所以，所以即..故选：A.二、多项选择题9.下列选项中正确的是（）A.已知向量，若∥，则B.已知向量，若的夹角为钝角，则C.已知非零向量，若，则与同向共线D.若，则和的面积之比为【答案】ACD【解析】对于选项A：若∥，则，可得，故A正确；对于选项B：若的夹角为钝角，则，解得且，故B错误；对于选项C：若，且为非零向量，向量加法的三角形法则可知同向，即与同向共线，故C正确；对于选项D：若，即，可得（分别为的中点），即，可知点在线段上，且，则，即，所以和的面积之比为，故D正确；故选：ACD.10.已知函数（其中），，且在上的图象与直线恰有个交点，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】因为，所以，，则，所以，或，解得或，当时，，由，可得，则令，则，如下图所示：因为在上的图象与直线恰有个交点，即关于的方程在时有两个不同的实根，所以，，解得，由，可得，此时，；由，可得或，当时，；当时，.故选：BC.11.若函数有两个不相等的极值点，则实数的取值可以是（）A. B.2 C.1 D.0【答案】BC【解析】由得，由于有两个不相同的极值点，则有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，记，则，故当单调递减，当，单调递增，所以取极大值，又当时，恒成立，故，故选：BC.12.在棱长为6的正方体中，，是中点，则下列选项正确的是（）A.平面截正方体所得截面为梯形B.直线与所成的角的余弦值是C.从点出发沿正方体的表面到达点的最短路径长为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】A选项，如图1，取的中点，连接，因为是中点，故，且，所以四边形为平行四边形，则，在上取点，使得，因为，所以，故，故四边形即为平面截正方体所得截面，又与平面不平行，故与不平行，故四边形为梯形，故平面截正方体所得截面为梯形，A正确；选项B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，故，则，故直线与所成的角的余弦值是，B正确；C选项，将平面与平面沿着折叠到同一平面内，连接，如图，则，由勾股定理得，由于，故从点出发沿正方体的表面到达点的最短路径长不为，C错误；D选项，，设平面的法向量为，则，令，则，故，则点到平面的距离为，D正确.故选：ABD.三、填空题13.已知平面向量，，，则和夹角的余弦值为_______________．【答案】【解析】因为平面向量，，，则，解得，所以，，则，所以，故答案为：.14.函数的最小值为______.【答案】1【解析】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.15.在三棱锥中，是边长为的正三角形，是以为斜边的直角三角形，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为_______________．【答案】【解析】如图，取中点，连接，为的重心，连接，因为是以为斜边的直角三角形，则，又平面平面，平面平面，则平面，平面，则，则，又是边长为的正三角形，，则，，则，为外接球的球心，半径为2，则表面积为.故答案为：.16.已知函数，若不等式恒成立，则实数的最大值为_______________．【答案】【解析】设，可知的定义域为，则，所以为奇函数，因为，可知在上单调递增，对于不等式，即，可得，则，可得，注意到，可得，原题意等价于对任意的恒成立，令，则，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值，可得，所以实数的最大值为.故答案为：.四、解答题17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：在中，内角的对边分别为，且满足_______________．（1）求角的值；（2）若的面积为，点在边上，且，求的最小值．解：（1）若选①：因为，则，解得，且，所以；若选②：因为，由正弦定理可得：，且，则，可得，整理得，且，所以；若选③：因为，由正弦定理可得，且，则，可得，即，可得，且，则可知，所以.（2）因为的面积为，则，由题意可得：，则，当且仅当，即时，等号成立，即，所以的最小值.18.已知函数（其中）为奇函数．（1）求实数的值；（2）若不等式对于恒成立，求实数的最小值．解：（1）因为为奇函数，且的定义域为，可知，解得，则，且，即，可得为奇函数，所以.（2）由（1）可知：，因在内单调递增，可知在内单调递增，且，则，令，则，对于不等式，即，则，原题意等价于对于恒成立，且，当且仅当，即时，等号成立，则，解得，所以实数的最小值.19.如图，在四棱台中，底面是中点．底面为直角梯形，且．（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：因为底面，底面，则，由题意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨设，由题意可得：，可知：，即，且，平面，所以直线平面.（2）解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，可得，设二面角为，则，所以二面角的正弦值.20.已知，记．（1）求函数的最小正周期和对称中心；（2）若，求．解：（1）因为，所以的最小正周期，令，解得，所以的对称中心为.（2）因为，可得，又因为，则，且，，可知，则，则，，可得，所以.21.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点．（1）记平面交于点，求证：平面；（2）是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为四边形为菱形，则，因为平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，则，因为平面，平面，因此，平面.（2）解：连接、、，因为为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为四边形是边长为的菱形，则，又因为，则为等边三角形，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，其中，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，则，取，则，，所以，，由题意可得，整理可得，即，因为，解得，故当点为线段上靠近点的三等分点时，二面角的正弦值为.22.已知函数（其中）．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，不等