江苏省高邮市2023-2024学年高二上学期12月学情调研测试数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1江苏省高邮市2023-2024学年高二上学期12月学情调研测试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若两条直线与互相垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，解得.故选：C.2.抛物线的焦点到点的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，所以到点的距离为.故选：B.3.已知数列中，且，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，即，两边同时除以得：，即，令，则，则是首项为，公差为的等差数列，则，即，则，则.故选：D4.设函数在处存在导数为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选：A．5.已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆可化为，圆心，半径；圆可化为，圆心，半径；因为与有且仅有一条公切线，所以两圆内切，所以，即，解得.故选：D6.已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】是等差数列，∴，又，所以，公差，因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，又，，所以使得的最大的为11，故选：C．7.已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点坐标为，由题意可知，，，则，，，.在中，由余弦定理可得：，即，解得．因为，则．因为，所以，解得．又因为点P在双曲线，所以，则.故选：A8.已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设，则，，，，因为，所以，又，所以时，取得最大值，恒成立，则，变形得，又，故解得，故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的有（）A.若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大B.直线必过定点C.直线与直线的距离为D.斜率为，且在轴上的截距为2的直线方程为【答案】BC【解析】对于A，当斜率为时,倾斜角为，当斜率为时,倾斜角为，故A错误；对于B，将直线化为，则，解得，即直线必过定点，故B正确；对于C，将直线化为，则这两平行直线间的距离为，故C正确；由斜截式方程的定义可知斜率为，且在轴上的截距为2的直线方程为，故D错误．故选：BC．10.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：对A，，A正确；对B，，B错误；对C，，C错误；对D，，D正确.故选：AD11.已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（）A.抛物线的方程是 B.C当时， D.【答案】ABD【解析】对于A选项，抛物线的准线方程为，因为点在抛物线的准线上，则，可得，所以抛物线的方程为，A对；

对于B选项，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，可得，，则，所以，B对；对于C选项，因为，即，则，因为，可得，则，则，此时，，C错；对于D选项，，同理可得，所以，所以，D对.故选：ABD.12.对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，的前n项和为，则下列关于数列的描述正确的有（）A.数列为等比数列B.数列为等差数列C.D.记为数列的前项和，则【答案】BCD【解析】由已知可得，所以，当时，，由得，，即时，，当时，由知，满足，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故错误，正确；因为，所以，故，故正确；因为，所以，故正确.故选：.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡中的横线上.）13.若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为_________．【答案】【解析】由于椭圆焦距为，所以，由于椭圆的焦点在轴上，，所以，解得.故答案为：14.已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式_________．【答案】【解析】由成等差数列，且，得，解得或，又，所以，所以，故答案为：.15.已知平面内的动点到两定点的距离分别为和，且，则点到直线的距离的最大值为_________.【答案】【解析】设动点为，由题意可得，整理得，即，故动点的轨迹是半径为，圆心为的圆，因为圆心到直线的距离，所以点到此直线的最大距离为．故答案为：.16.在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为_________．【答案】【解析】，故，设，则，，是首项为，公比为的等比数列，故，，，即，即恒成立，设，设的最大项为，则，解得，故第4项或者第5项最大为，故故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．解：（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，解得：，所以．（2）因为，所以，所以.18.已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线l过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.解：（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，可设圆心坐标为，则，解得，.所以圆心，半径，故圆的方程为.（2）由直线l过点且被圆C截得的弦长为，根据圆的弦长公式，可得，即，解得，当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件；当斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即，可得，解得或，所以直线方程为或.19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．解：（1），，.故曲线在点处的切线方程为，即；（2）设切点为，，切线方程为，.切线经过原点，故，所以，，故，切点为，切线方程为，即过原点的切线方程为，切点为.20.已知数列（1）令，求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和．解：（1）因为，所以，即，又，则.所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）得，则，则，，两式相减得，.所以．21.在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8.（1）求点A的轨迹方程；（2）记的左、右焦点分别为、，过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求直线的方程.解：（1）设，由题意，化简可得.所以点A的轨迹方程为.（2）由题设过定点的直线方程为，将其与联立有：，消去y得：，因交于、两点，则，解得：.设，则由韦达定理有：..又，则，同理，又因为，所以.又，所以，即，解得，则直线的方程为：或.22.已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线交于两点，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形