新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题16统计与统计案例 16.2统计案例（解析版）

专题十六《统计与统计案例》讲义16.2统计案例题型一.一元线性回归模型1．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x（百个）与相应加工总时长y（小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y^=0.7x2345y1.52m3.5A．加工总时长与生产零件数呈正相关 B．该回归直线一定过点（3.5，2.5） C．零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时 D．m的值是2.85【解答】解：由题意，线性回归方程为y^=0.7对于A：∵b＝0.7＞0，∴加工总时长与生产零件数呈正相关；对于B：当x＝3.5时，可得y＝0.7×3.5+0.05＝2.5，即该回归直线一定过点（3.5，2.5）对于C：由b＝0.7，∴零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时，对于D：回归方程过平均中心，x=2+3+4+54解得：m＝3故选：D．2．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ŷ=bA．160 B．162 C．166 D．170【解答】解：因为i=110则x=所以â所以线性回归方程为ŷ=4当x＝23时，ŷ=4所以该班某学生的脚长为23，估计其身高为162厘米．故选：B．3．（2020•新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．4．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：ŷ=−30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：ŷ（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【解答】解：（1）根据模型①：ŷ=−30.4+13.5计算t＝19时，ŷ=−30.4+13.5利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：ŷ=99+17.5计算t＝9时，ŷ=99+17.5利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）解法1：模型②得到的预测值更可靠，因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以利用模型②的预测值更可靠些．解法2，模型②对应的7个点分布宽度小于模型①对应的17个点的分布宽度，则|r2|＞|r1|，所以模型②较好；解法3，选择与2018邻近的三个年份（2014，2015，2016）计算模型②对应的残差绝对值之和＝2.5+5+1.5＝9，模型①对应的残差绝对值之和＝12+23.5+21＝56.5；且9＜56.5，所以模型②较好；所以利用模型②的预测值更可靠些．5．（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i=17yi＝9.32，i=17tiyi＝40.17，参考公式：相关系数r=i=1回归方程ŷ=b̂=i=1【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r=i=1∵0.99＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）b̂â=y−b̂t∴y关于t的回归方程ŷ=0.102016年对应的t值为9，故ŷ=0.10预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨．6．（2018秋•岳麓区校级月考）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数x654321正常值y556372809099（1）作出散点图：（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ŷ=b（3）根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b̂=i=1nxiyi−nxyi=1【解答】解：（1）（2）x=y=16b̂=1452−6×267.7591−6×3.52≈−8.83，a∴线性回归方程为y＝﹣8.83x+107.41；（3）x＝2时，y＝﹣8.83×2+107.41≈89.74，∵10089.747．（2020秋•昌江区校级期中）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．xywi=18（xi−i=18（wi−i=18（xi−x）（yi=18（wi−w）（y46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=x附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=i=1（1）根据散点图判断y＝a+bx和y＝c+dx哪一个适宜作为销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z＝0.2y﹣x，根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？【解答】解：（1）由散点图可以判断，y＝c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令w=x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d=c=y−dw=563﹣∴y关于w的线性回归方程为y＝100.6+68w，因此y关于x的回归方程为y＝100.6+68x；（3）①由（2）知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6+6849=年利润z的预报值z＝576.6×0.2﹣49＝66.32；②根据（2）的结果可知，年利润z的预报值z＝0.2（100.6+68x）﹣x＝﹣x+13.6x+当x=13.62题型二.独立性检验1．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型Hln1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型Hln1流感的作用”，并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（）A．这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的有效率为1% B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型Hln1 C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用” D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”【解答】解：∵并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，这说明假设不合理的程度约为99%，即这种疫苗不能起到预防甲型Hln1流感的作用不合理的程度约为99%，∴有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”故选：D．2．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（）P（K2≥k）0.100.050.025k2.7063.8415.024A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【解答】解：∵计算得到统计量值K2的观测值k≈4.892＞3.841，参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．故选：C．3．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下所示的列联表．经计算K2的观测值k≈4.762，则可以推断出（）满意不满意男3020女4010P（k2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为：45；男生对食堂的满意率为3故A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35，A对于B，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B错误；由题意算得，k2＝4.762＞3.841，参照附表，可得：有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；故C正确，D错误．故选：AC．4．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=n(ad−bc【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5＝0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5＝0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）＝P（B）P（C）＝0.62×0.66＝0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则K2=200(62×66−38×34由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5＝0.34，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5＝0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+0.5−0.340.068≈新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=n(ad−bcP（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=79+81由此填写列联表如下；超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040（3）根据（2）中的列联表，计算K2=n(ad−bc∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．6．韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示，受“闺蜜门”时间影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．（1）依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数（2）请依上述支持率完成下表：年龄分布是否支持[30，40）和[40，50）[50，60）和[60，70）合计支持152540不支持485275760合计500300800根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？附表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d参考数据：125×33＝15×275，125【解答】解：（1）设年龄在[50，60）的人数为x，则最后三组人数之和为3x，所以四组总人数为4x＝800，得x＝200，则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9＝15，[50，60）和[60，70）的人数为12+13＝25．填表如下年龄分布是否支持[30，40）和[40，50）[50，60）和[60，70）合计支持152540不支持485275760合计500300800所以K2=800×(15×275−25×485∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．题型三.统计案例综合1．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm），经统计，树苗的高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗．（1）求图中a的值；（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X，求X的分布列和数学期望EX．附：参考公式与参考数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+P（K2≥k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828【解答】解：（1）根据频率直方图数据，有2（a×2+2a+0.10×2+0.20）＝1，解得a＝0.025．（2）根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120×（0.10×2+0.025×2）＝30，列联表如下：A试验区B试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120可得K2=120(10×30−20×60所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．（3）用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为30120X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知X服从二项分布X～B（4，14∴P（X＝k）=C4k即：P（X＝0）=(34)4=81256P（X＝2）=C42(14)P（X＝4）=(1∴X的分布列为：X01234P81272731∴数学期望为E（X）＝4×12．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：ŷ=4.1x+10.9，模型②：ŷ=21.3x−14.4；当x＞17时，确定（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①，②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；回归模型模型①模型②回归方程ŷ=4.1ŷi=1779.1320.2（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．附：刻画回归效果的指数R2＝1−i=1n(yi用最小二乘法求线性同归方程ŷ=b【解答】解：（1）对于模型①，对应的y=所以=i=17(yi−y)2=（15﹣38）2+（22﹣38）2+（27﹣38）2+（40﹣38）2+（48﹣所以相关指数R12=1−i=1同理，模型②的相关指数R22=1因为0.9889＞0.9563，所以模型②拟合精度更高；故对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为＝21.317−14.4≈（2）当x＞17时，后五组的x=21+22+23+24+255由最小二乘法可得â=67﹣（﹣0.7）故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：﹣0.7×20+83.1+5＝74.1＞72.93，故投入l7亿元比投入20亿元时收益小．3．中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是20℃）．泡制时间x/min01234水温y/℃8579747165ln（y﹣20）4.24.14.03.93.8（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即20℃）就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx+20（x≥0）来刻画．①令z＝ln（y﹣20），求出z关于x的线性回归方程；②利用①的结论，求出y＝kcx+20（x≥0，c＞0）中的k与c．（2）你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？参考数据：log参考公式：ẑ=b̂x+a【解答】解：（1）①由已知得出x与z的关系，如下表：泡制时间x/min01234z4.24.14.03.93.8设线性回归方程ẑ=b̂x+∴i=15(则b̂=i=1则z关于x的线性回归方程为ẑ②由y＝kcx+20（x≥0），得y﹣20＝kcx（x≥0），两边取对数得，ln（y﹣20）＝lnk+xlnc，（7分）利用①的结论得：lnc＝﹣0.1，lnk＝4.2，∴c＝e﹣0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7．（2）由（1）得，y＝66.7×0.9x+20（x≥0），令y＝60，得x＝log0.90.6≈4.8．∴该品种绿茶用85℃的水泡制4.8min后饮用，口感最佳．课后作业.统计案例1．下列说法正确的是（）A．在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B．线性回归方程对应的直线ŷ=b̂x+â至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），⋯，（C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D．在回归分析中，相关指数R2为0.95的模型比相关指数R2为0.78的模型拟合的效果差【解答】解：对于A：在统计学中，独立性检测是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，故A错误；对于B：线性回归方程对应的直线ŷ=b̂x+â可能不经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x对于C：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故C正确；对于D：在回归分析中，相关指数R2为0.95的模型比相关指数R2为0.78的模型拟合的效果好，故D错误．故选：C．2．为了调查患胃病是否与生活不规律有关，在患胃病与生活不规律这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．k越大，“患胃病与生活不规律没有关系”的可信程度越大． B．k越大，“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越小． C．若计算得K2≈3.918，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，则在100个生活不规律的人中必有95人患胃病． D．从统计量中得知有95%的把握认为患胃病与生活不规律有关，是指有5%的可能性使得推断出现错误．【解答】解：在独立性检验中，k越大，“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越大，所以A错误、B错误；计算得K2≈3.918时，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，不是指在100个生活不规律的人中必有95人患胃病，所以C错误；从统计量中得知有95%的把握认为患胃病与生活不规律有关，是指有5%的可能性使得推断出现错误，所以D正确．故选：D．3．对某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）进行线性回归分析，根据样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，……，12），计算得到相关系数r＝0.9962，用最小二乘法近似得到回归直线方程为ŷ=0.85xA．x与y正相关 B．x与y具有较强的线性相关关系，得到的回归直线方程有价值 C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重为50.29kg【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；根据样本数据计算得到相关系数r＝0.9962接近1，则样本数据与回归直线方程有较强的相关性，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义可得回归直线的估计值知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D错误．故选：ABC．4．为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生，其身高x（cm）和体重y（kg）数据如表所示：编号12345678身高x/cm164160158172162162174166体重y/kg6046434848506152该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女