概率论中几种具有可加性的分布及其关系及概率-摸球问题

概率论中几种具有可加性的分布及其关系②取自然数的时候，有1.4.1伽玛分布的定义定义1.4如果随机变量的密度函数为就称作服从伽玛分布，记为且的值均大于0.为伽玛分布的形状参数，为其尺度参数.当时，为严格单调递减的函数，在处取得奇异点；当时，亦严格单调减，且时有当时，为单峰函数，先上凸然后下凸；当时，先下凸再上凸，最后下凸.而且随着的增大，逐渐接近于正态分布的密度函数.1.4.2伽玛分布的可加性定理1.4.1设随机变量且和彼此独立，则证明知且与彼此独立，所以此即为的特征函数，根据惟一性定理则可知结论得证！如正态分布，对于伽玛分布，我们同样可以利用连续场合的卷积公式对其可加性进行证明，详见文献[5];1.5柯西分布[4]1.5.1柯西分布的密度函数柯西分布是几个常见的连续分布之一.它的密度函数为时的柯西分布密度函数称为标准柯西分布密度函数，即为方便起见，往后我们分别记这两类密度函数为和对于柯西分布的数学期望和方差，因所以不收敛，故柯西分布的数学期望与方差均不存在.1.5.2柯西分布的可加性定理1.5.1设随机变量且彼此独立，则有证明因均服从于柯西分布，且的特征函数分别是又因彼此独立，所以这恰好就是参数为的柯西分布的特征函数，所以即证！1.6卡方分布（分布）1.6.1卡方分布（分布）的定义及密度函数定义1.6[7]设独立同分布与标准正态分布分布则称所服从的分布为自由度为的卡方分布，记为卡方分布的密度函数为1.6.2卡方分布可加性卡方分布密度函数的图像是一个只取非负值的偏态图像.它的图像随着自由度的增加而逐渐趋于对称，当自由度时，其图像趋于正态分布的图像.这也从另一个侧面告诉我们，卡方分布是由其自由度决定的，不同的自由度对应了不同的卡方分布.由1.6.1，我们可以知道卡方分布即伽玛分布的一个特例，所以由伽玛分布的可加性我们易知卡方分布亦满足可加性定理，即定理1.6.1[5]设且彼此独立，则有证明由卡方分布的定义，设且彼此独立.则有，从从卡方分布的定义，因此即证！2具有可加性的概率分布间的关系2.1二项分布的泊松近似[4]当的取值很大时，二项分布的计算是令人头疼的.这里介绍了泊松分布的一个十分有用的特性，我们可利用泊松分布作为二项分布的一种特殊近似，即二项分布的泊松近似.下面我们来看泊松定理，当取值较大，而取值偏小的情况下使用泊松定理，可大大减小二项分布的计算量.定理2.1[8]（定理)在重伯努利试验中，记事件在每次试验中发生的概率为它与试验发生的次数有关，若当时，有即则对任意给定的（为非负整数），有证明设则有所以由已知有，则对于给定的值，有且；所以有即证！因定理的条件之一为所以在二项分布的计算中，若值很大，的值却很小，且的大小适中时（一般认为当且时），二项分布可以使用参数为的泊松分布来做近似，即有此即为二项分布的泊松近似，而且的值应尽可能的大，这样计算结果才能更精确.二项分布的泊松近似经常被用于稀有事件（即每次试验中事件发生的概率很小）的研究中，大量实例表明，一般情况下概率时，泊松近似非常好用，甚至的取值不必很大.2.2二项分布的正态近似定理2.2[7]（棣莫佛-拉普拉斯（）极限定理）设随机变量（），则对任意的实数，有证明因随机变量服从二项分布，所以可看做是个相互独立的且服从于同一参数的两点分布的随机变量的和，即而且根据中心极限定理，有定理得证！中心极限定理说明，相当大时，服从二项分布的随机变量的概率的计算服从正态分布的随机变量的计算.也就是说，二项分布可以用正态分布来近似计算.比如，在比较大的时候的计算量时十分大的.根据中心极限定理，因近似服从于标准正态分布，或者说是近似服从于分布，也就是说对于有我们只需查一下标准正态分布表，就可以求出我们需要的相当精确的值.但是，当较大或者较小时近似效果可能差一些，利用公式时的值最好满足另外，因二项分布是离散分布，正态分布是连续分布，所以在我们实际的应用中，为减小误差，常常使用来替换式.2.3正态分布与泊松分布之间的关系[9]由上面的定理2.1和定理2.2我们可以知道，二项分布可以用泊松分布来做近似，同样也可以用正态分布来近似.所以，从某个方面来说，泊松分布与正态分布也具有某种近似的关系，首先我们来看特征函数的连续性定理.定理2.3.1[11]分布函数列弱收敛于分布函数的充分必要条件是它的相应的特征函数列收敛于的特征函数定理2.3.2[11]设随机变量则有证明知服从泊松分布，则的特征函数为所以的特征函数是对于任何一个我们有所以有因此对于任意的点列有又知是标准正态分布的特征函数，因此由连续性定理可以得到，由的任意性，所以有成立.我们来看泊松分布的正态逼近.定理2.3.3[8]对于任意的有其中其证明见文献[8].由前可知，的正态近似与泊松近似的条件是不同的，当的取值特别小时，哪怕的值不是太大，用泊松分布来近似二项分布也是可以的.但在这种情况下，用正态近似却是不合理的.我们可以想象，若值很小，但的值也不是太大，则的值肯定不会很大，而由定理2.3.1，我们可知，此时正态分布就不可能很好的进行泊松近似.2.4正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布之间的关系首先来看正态分布与柯西分布的关系.定理2.4.1设且与独立同分布，记,则.证明易知的取值范围是，所以对于，我们利用商的公式，可以得到这正是时的柯西分布的密度函数，所以结论得证！正态分布与卡方分布的关系如下：定理2.4.2若随机变量则定理证明见文献[10].这说明了标准正态分布与自由度为1的卡方分布之间的关系.若且彼此独立，记，根据卡方分布的定义，我们知服从自由度为的卡方分布.对于伽玛分布，当其参数时即为自由度为的卡方分布，记为3小结文章第一部分我们讨论了六种具有可加性的分布以及它们的简单性质，上述分布的可加性均可利用卷积公式或者特征函数进行证明.正态分布是概率论中最重要的分布，一般地，如果某个数量指标受到大量随机因素影响，而每一因素起的作用很小，则这个数量指标就近似服从正态分布.在第二部分里研究了二项分布、正态分布与泊松分布的关系，从此处我们可以知道二项分布不仅可以用泊松分布近似，同样也可由正态分布来近似.参考文献[1]罗建华.卷积公式的应用注记[J].中南林业科技大学学报，2007年，第27卷，第1期：152页.[2]李贤平，沈崇生，陈子毅.概率论与数理统计[M].上海：复旦大学出版社，2003.5：221-231.[3]唐玲，徐怀.复合泊松分布和泊松过程的可加性[J].安徽建筑工业学院学报，2007.05：83页.[4]郭彦.对柯西分布性质的进一步讨论[J].淮阴工学院学报，2005.05：12页.[5]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.7:155-160;[6]王梓坤.概率论基础及应用[M].北京：北京师范大学出版社，1996.3:61-64.[7]宋立新.概率论与数理统计[M].北京：人民大学出版社，2003.9:176-177.[8]于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J].《企业科技与发展》，2008年第20期：120页.[9]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.10:208-211.[10]孟凡华.浅谈几种概率分布之间的相互关系[J].信阳农专学报，1992年第3卷第2期:63-65.[11]王淑云.特征函数及其应用[J].邯郸学院学报，2008年第18卷第3期:52-56.高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同,其内容可以说是形形色色、千差万别。在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同学提高解决这一类问题的能力。下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。引例：盒中装有大小、重量相同的5个小球，其中白色2个，黑色3个，求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色；（2）连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；（3）连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即（1）一次性摸取：摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。解决的方法：用组合的思想去解决。（2）逐次、每次不放回摸取:摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。（3）逐次、每次有放回摸取:摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k次的概率。为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家的印象：例1.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。（1）从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（2）采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。例2.袋中有同样的小球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。从袋中有放回地摸球，每次摸一个，有3次摸到红球即停止。求恰好摸5次停止的概率是多少？总结：（1）解决此类问题，审题时注意看是否有“放回”、“不放回”、逐次（或逐个）”等关键词，借助于它们可以辨别该问题属于哪一类题型，若没有这些词汇更要注意正确理解题意，以便采取恰当的解题思想和方法。（2）排列组合是解决摸球问题的基本功，应在平时复习中加强排列组合问题的解题能力。例4．袋中有10个球,其中7个红球3个白球,,则（1）从中取2个，先摸到红球，后摸到白球的概率是（2）从中取2个，后一个摸到的是红球的概率是例5.已知盒中装有3只螺口与7支卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为;他三次内取得卡口灯泡的概率为例6:（山东卷）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.解：（=1\*ROMANI）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意（=2\*ROMANII）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3