2023全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

（2006年获全国一等奖）

摘要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用

材料最省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，

并利用LINGO软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。

模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标,

建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径

两倍时，最经济，并用容积为360ml进行验算，算得〃=122.63桢，/?=30.58Mm

与市场上净含量为355ml的测得的数据根本接近。

模型二，对上面局部为正圆台、下面局部为正圆柱的易拉罐同样在容积量一

定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO软件仍用容积为360ml

进行验算，算得R=30.58/?wi,/=29.33,"〃，h}=8.94/zzm,h2=111.8mm,高

之和约为直径的两倍。

模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的

原理，设计底部支架1环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与

高之比设为0.618,建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入

计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。

关键词：优化模型易拉罐非线性规划正圆柱正圆台

一、问题重述

销量很大的饮料容器（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某

种意义下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设

计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的

话，可以节约的钱就很可观了。

现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，

测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各局部的直径、高度，厚度等，并把数

据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。

问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理

地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，

等等。_________!

问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面局部是一个

正圆台，下面局部是一个正圆柱。什么是它的最优设计？其结果

是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐

形状和尺寸的最优设计。

同时，以做此题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，

写一篇短文（不超过1000字，论文中必须包括这篇短文），阐述什么图I

是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、问题分析

在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内体积大于饮料的净含量，同

时考虑到饮料对罐体各局部的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况

下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省。

在问题一中对于各个局部的数据可以直接测量，利用千分卡对易拉罐进行测

量；问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设

计的标准；问题三中，比照问题一中所测得的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚

度是罐壁的两倍，因此我们在解决此问题时可以假设罐盖、罐底的厚度是罐壁的

两倍，再利用规划方法求解由圆台和圆柱体组成的易拉罐的最优设计。在问题四

中根据问题二、三的模型所求得的数据与测量的数据进行比拟，以及观察市场上

正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，作出关于易拉罐形状和尺

寸的最优模型。

三'模型假设

1、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍。

2、易拉罐各接口处的材料忽略不计。

3、易拉罐各局部所用的材料相同。

4、单位体积材料的价格一定。

5、相同类型易拉罐的容积相同。

四、模型建立与求解

目前市场上大局部的易拉罐形状可以分成两类：一类主体局部是正圆柱体，

正圆柱体上面局部是正圆台（如图2所示）；另一类主体局部是正圆柱体，正圆

柱体上面局部与下面局部都是正圆台（如图3所示）。

如图2如图3

我们用千分卡尺对杭州中萃食品生产的可口可乐易拉罐进行了测量，分别测

量数据如下表。（单位；mm]

罐IWI123.7罐柱内径61.29

上圆台高13.5下圆台高7.7

罐盖内径58.17罐底厚0.29

罐盖厚0.29罐底拱高10.11

圆柱体高102.5罐壁厚0.135

由上表可知：罐底与罐盖的厚度大约是柱壁厚度的2倍；高大约为正圆柱直

径的2倍。

易拉罐形状和尺寸的最优设计就是确保盛放饮料时容器不变形、放置稳定、

运输平安的前提下，如何设计形状与尺寸才能使一定容积量的易拉罐所用的材料

最省，为此我们分别对问题二、问题三、问题四建立模型如下：

模型一：正圆柱体模型

假设易拉罐是一个正圆柱体，罐内半径为R,罐内高为罐壁厚为沙，根

据假设1可知，罐底与罐盖厚为2b,所以制作材料的体积为：

=17TRbH+Hb2+4b兀R?+8兀b?R+4兀b，

因为6<<R,故项4乃。3可以忽略不计。因而

于是，问题就是求目标函数s（R,"）="）（2/?H+肥+4肥+助R）在条件

V="/?2"下的最优解。即

mins(R,H)=7rb(2RH+Hb+4R2+SbR)

V=TTR2H

s.t.­

R>O,H>0

利用Lagrange乘子法求解，作函数

令

即

消去力得：…,人后’"=4.后。唯一的驻点就是问题的极值

点，也是此问题的最优解。由上述可知，当罐高为罐内直径的两倍时，正圆柱体

的易拉罐所用的材料最省。这与我们目前市场上的可口可乐易拉罐的形状大致相

同。

假设用V=360〃?/代入计算得，H=122.392mm,R=30.598mm,这与我们

所测净含量为355/4的易拉罐高123.1mm与罐体半径30.51〃?〃?还是比拟接近的

［饮料罐不能装满饮料，必须留有一定的空间余量）。

但也看出两组数据之间也存在一定差异，这是因为我们所测量的易拉罐下底

并非是一个圆面，而是一个向上凸的拱面，接近上、下底局部是两个正圆台。

模型二：主体为正圆柱体，上面局部为正圆台模型

当易拉罐的上面局部是一个正圆台，下面局部是正圆柱

体时（如图4）,假设正圆柱体局部的罐内半径为R,罐内

高为外，罐壁厚为b；正圆台局部上底内半径为八，正圆台

内高为由。根据假设1可知，易拉罐罐底与罐盖的厚度均

为给，仍以制作易拉罐的材料最省作为最优设计。由于考

虑到易拉罐各局部材料的厚度不同，因此采用易拉罐所需

的材料等于外径体积减去内径体积进行计算。

易拉罐正圆台局部所用的材料体积：

图4

因为为<<R,故2万/可以忽略，那么易拉罐正圆台局部的材料体积为:

易拉罐正圆柱局部的材料体积：

因为人<<R,故2万。3可以忽略。那么易拉罐正圆柱所用的材料体积：

所以，易拉罐的总材料体积为：

要使生产易拉罐的费用最省，同理可建立优化模型:

V="似之［幽+Y）

S.t.</?>Tj

R,q,4,外>。

利用LINGO软件（附录一）计算得出/?二八=30.6”m，4=118.93mm,

为=3.48mm；显然，易拉罐的形状是正圆柱体。也就是说在容积相同的情况下,

正圆柱体形的易拉罐要比上面局部是正圆台、下面局部是正圆柱体的易拉罐省

材，但是问题要求设计的上面局部是正圆台的易拉罐，因此需要进一步改良。

根据所测易拉罐的数据分析，假设易拉罐的正圆台高为正圆柱高的8%,正

圆台的上内径为正圆柱内径95队

s.tvR=0.95q也=12.5〃］

7=360,6=0.0135

R，n，h［，h>o

利用LINGO软件进行求解（附录二），分别得出：

R=30.87mm,r}=29.33mm,h}-8.94mm,色=111.8mm,H=hx+h2=120.74/?im,

这与我们所测得数据比拟接近。

模型三：易拉罐的最优设计模型

对于盛装碳酸饮料的容器，不仅要考虑省材,还要考虑盛放与搬运中的平安、

方便、实用。如果把易拉罐设计成球体，在一定容量的情况下材料最省，但对于

放置、储存等会带来诸多的不便（球与球之间的空隙大）。根据几何原理，罐底

为平面放置最稳，主体为正圆柱体最优。但考虑到碳酸饮料的压力等因素，罐底

与罐盖要考虑牢固性，根据横梁受力的原理：当梁的支座从两端往中间移时，其

载荷将会提高。根据此原理，我们在易拉罐的底部设计了一个底轨（环形），并

使其向量移动0.2R,这样既可以提高易拉罐底的载荷，也可以使其摆放平衡。

底轨的厚度为两个底厚加上它们之间的空隙，约为6bo

因此在罐底的底轨与正圆柱的连接处就形成了一个正圆台，与此对应，我们在

正圆柱的上面也设计了一个正圆台，进而从美学的角度考

虑，根据黄金分割点将将直径与高的比设为0.618,同时

在罐口设计了一个圆槽，使其内径略大于底轨外径，当两

罐饮料叠放时，上面一罐饮料的底部可以嵌入下面一罐饮

料的罐盖的圆槽，便于放置。

在罐底局部，根据拱桥的原理：桥面设计成一定的拱

形时，它的受力比一般平面桥要大得多。因此我们把罐底

底轨内的局部设计成具有一定弧度的拱面，使其能够更好的承受罐内液体的压

力。

综上所述，可将易拉罐罐体设计成三局部：上部为正圆台，高为由,上圆台

罐口内半径为八；中部为正圆柱，高为名，罐体正圆柱内半径为R;下部为正圆

台，高为力3,罐底内半径为-2,罐底拱高为d(如图5所示)。又设罐体壁厚为力，

罐底、罐盖厚为对各局部进行材料体积计算。

易拉罐上正圆台局部的材料体积：图5

因为力<<R,故2万/可以忽略，那么易拉罐正圆台局部的材料为：

易拉罐正圆柱局部的材料体积：

因为6<<尺，故2万/可以忽略，那么易拉罐正圆柱局部的材料体积：

易拉罐下正圆台侧面局部的材料：

=心而(b+R+r)

易拉罐底部材料的体积：S底(d，G)=%(</2+2r,2)

所以，易拉罐所用的总材料体积为：

当易拉罐所需的总材料最少，那么生产该易拉罐的费用最省，建立优化模型

如下：

„,7rh,(R2+Rr.+r,2)7ch^^R~+Rn+r2)7Td(3r^2+d2)

,V=2h,+——------!---!—+——=------==2----------=------

s.tj2336

R,rx,r2,hx,h2>0

当.=0.8/?,rx-r2=6b,ht=2%=0.15%>2R=0.618(4+―+1)，

V=360000,b=0.135/=7时，利用LINGO(附录三)解得：R=2S.3mm,

r2=22.667mm,=23.48,阳〃，/z,=11.23mm,%=5.61/wm,h2=74.85〃”〃，，

H-91.69/77/77,这样设计出来的易拉罐取材省，外观美丽。

五'模型评价与改良

此模型通过实际数据,将理论分析和实际状况进行比拟，有较强的现实意义。

能兼顾平安、实用、方便、美观、经济，理论引用可信度较高。但在模型中没有

考虑接口处的材料，由于时间关系，对罐底、罐盖与罐壁的厚度等比照没有作深

入的研究。期望能在此方面加以改革，以到达最经济的效果。

六'建模体会

数学建模是一项以培养青年学生创新思维、团结协作、综合应用能力、提高

学生素质为目的的活动、深受青年学生的青睐，我们是这项活动的喜爱者、参与

者、受益者。

通过数学建模的学习与实践，我们懂得了数学建模就是把现实世界中的实际

问题加以提炼。用数学语言符号描述问题的内在联系，然后用适当的数学工具建

立相应的数学模型，进而用数学知识、数学软件等求出模型的解，并验证模型的

合理性。用该数学模型解释现实问题，甚至解决一些当前生产、生活中的技术难

关，并将局部模型应用于实际生产中，给社会带来巨大的经济效益。数学建模的

关键步骤可以归纳为：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验及

模型应用等。对于我们来说，如何解读实际问题，掌握各种信息与数据，抓住其

本质，再用所学的数学知识建立模型是难点。

就易拉罐的形状和尺寸的最优设计而言，考虑了易拉罐罐底为何设计成呈弧

形的拱面，这样设计对易拉罐有何作用，如何设计易拉罐各局部材料的厚度以及

形状，并证明所需要的材料是最省的，即对产家而言所需的费用是最省的，然而

在此根底上还需考虑到罐内气体对易拉罐各局部的应力以及易拉罐的承受能力，

并用数学的方式进行表达和证明，说明我们所设计的易拉罐是合理的，这是问题

的关键所在，也是本模型的最大难点，而数学建模的最大难点也在于如何建立数

学模型将理论转化为实际问题。

通过数学建模活动使我们真正懂得了数学的魅力，它的应用十分广泛，可以

渗透到工程、生物、经济、环境、能源等各个邻域，也使我们学会了学习，学会

了合作，学会了利用网络及我们所学的知识去解决问题的思想。这对我们今后的

学生时代及走上岗位后的职业生涯会终身受益。

参考文献

[1]刘鸿文，？材料力学？，人民教育出版社，1979.2.(第154页)

[2]吴建国，？数学建模案例精编？，北京市三里河路6号：中国水利水电出版社,

2005.1.(第89页)

[3]?数学手册?编写组，？数学手册？，北京印刷二厂：人民教育出版社，1979(第

81页)

[4]姜启源谢金星叶俊，？数学模型第三版？，北京市西城区德外大街4号：高

等教育出版社，2004.2

[5]admin,铝制易拉罐成形工艺及模具，，2006.9.15

[6]刘代祥，饮料包装研究，，2006.9.15

附录

附录一

model:

b=0.135;v=360000;

min=3.14*b*hl*(R+rl+b)+2*3.14*bA2*(R+rl)+2*3.14*b*(RA2+R*rl+rlA2)/3

+2*3.14*b*RA2+3.14*b*2*R*h2+3.14*bA2*(4*R+h2);

3.14*RA2*(h2+hl/3)+3.14*hl*rlA2/3.0+3.14*hl*R*rl/3.0=v;

R>=rl;

end

Localoptimalsolutionfoundatiteration:130

Objectivevalue:4785.179

VariableValueReducedCost

B0.13500000.000000

V360000.00.000000

Hl118.93320.000000

R30.603490.000000

RI30.60349-0.6001035E-07

H23.480709-0.1719013E-06

RowSlackorSurplusDualPrice

10.000000-35601.72

20.000000-0.8841982E-02

34785.179-1.000000

40.000000-0.8841982E-02

50.000000-24.57812

附录二

model:

b=0.135;v=360000;

min=3.14*b*hl*(R+rl+b)+2*3.14*bA2*(R+rl)+2*3.14*b*(RA2+R*rl+rlA2)/3

+2*3.14*b*RA2+3.14*b*2*R*h2+3.14*bA2*(4*R+h2);

3.14*RA2*(h2+hl/3)+3.14*hl*rlA2/3.0+3.14*hl*R*rl/3.0=v;

R>rl;

rl>=0.95*R;

hl>=0.08*h2;

Localoptimalsolutionfoundatiteration:131

Objectivevalue:4751.322

VariableValueReducedCost

B0.13500000.000000

V360000.00.000000

Hl8.9406410.000000

R30.87646-0.1512417E-06

RI29.332640.000000

H2111.75800.000000

RowSlackorSurplus>DualPrice

10.000000-35349.82

20.000000-0.8779419E-02

34751.322-1.000000

40.000000-0.8779424E-02

51.5438230.000000

60.000000-21.85243

70.000000-0.5905080

附录三

model:

b=0.135;v=360000;d=7;

min=3.14*b*hl*(R+rl+b)+2*3.14*bA2*(R+rl)+6.28*b/3*(RA2+R*rl+rlA2)+6.2

8*b*RA2+6.28*b*R*h2+3.14*

AA

(4*b2*R+b2*h2)+b*3.14*h3*(b+R+r2)+3.14*(d+2*r2人2);

3.14*RA2*h2+3.14*hl*(RA2+r*rl+rlA2)/3+3.14*h2*(RA2+R*r2+r2A2)/3-3.14*

d*(3*r2A2+dA2)/6=v;

r2=0.8*R;

rl-r2=6*b;

hl=2*h3;

hl=0.15*h2;

2*R=0.618*(hl+h2+h3);

End

Localoptimalsolutionfoundatiteration:8

Objectivevalue:6682.800

VariableValueReducedCost

B0.13500000.000000

V360000.00.000000

D7.000000