《相似三角形》单元测试卷及答案

《相似三角形》单元测试卷及答案

《相似三角形》

第I卷（选择题）

评卷人得分

一.选择题（共6小题）

1.如图，已知矩形ABCD中，AB=2,在BC上取一点E,沿AE将AABE向上

折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=

（）

A.V5B.V5+1C.4D.2M

2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如下图所示，点A的坐标为（1,

0）,点D的坐标为（0,3）.延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1

C；延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1...按这样的规律进行下

去，第2012个正方形的面积为（）

4__4_4

A.^/lOx(S-)4022B.10x(百)4022C.5x(石)4022D.10x

_4

(S')4023

3.在平面直角坐标系中，已知点A(-2,4),B(-3,1),以原点。为

位似中心，相似比为2,把^ABO放大，则点A的对应点A'的坐标是()

A.(-4,8)B.(-1,2)C.(-4,8)或(4,-8)D.(-

1,2)或(1,-2)

a+bb+cc+a

4.若c=a=b=k,贝!Jk的值为()

A.2B.-1C.2或-ID.-2或1

5.在比例尺为1：1000000的地图上，相距8cm的A、B两地的实际距离是

()

A.0.8kmB.8kmC.80kmD.800km

6.下列各组中的四条线段成比例的是()

A.a=l,b=3,c=2,d=4B.a=4,b=6,c=5,d=10

C.a=2,b=4,c=3,d=6D.a=2,b=3,c=4,d=l

第n卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人得分

二.填空题（共6小题）

7.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B',

折叠痕为EF,已知AB=AC=8,BC=10,若以点B'、F、C为顶点的三角形与△

ABC相似，那么BF的长度是

8.如图，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=1,

9.如图，Rt^ABC中，zACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,

在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边

上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0<t<2）,连接

PQ.若^BPQ与△ABC相似，贝八的值为

10.如图所示，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm.点P从点A出发沿AB向

点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运

动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发，则秒钟后4PBQ与^ABC

11.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH,其中E、F、G

分别在AB、BC、FD上.若BF=3,则小正方形的边长为

A

12.如图，11||12||13,AB=4,DF=8,BC=6,则DE=

评卷人得分

三.解答题（共8小题）

13.在△ABC中，zB=90°,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始沿AB边

向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移

动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒.

（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？

（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2?

（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？

14.如图，在AAOB中，zAOB=90°,0A=12cm,AB=6'mcm,点P从。开

始沿0A边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿B0边向

点。以lcm/s的速度移动，如果P,Q同时出发，用x（秒）表示时间（Ovxv

6）,那么：

(1)点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；

(2)当x为何值时，以P、0、Q为顶点的三角形与△A0B相似?

2kX.

OP—>A

15.如图，在矩形0ABC中，A0=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形0ABC的一边

BC,使点B落在0A边上的点E处.

(1)求AD的长；

(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动

点Q从点C出发，沿C0以每秒1个单位长的速度向点0运动，当点P运动到点C

时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点

的三角形与△ADE相似？

16.如图，已知△ABC中，AB=AC=a,BC=10,动点P沿CA方向从点C向点A

运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，

P、Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动.过点P作PDIIBC,交

AB边于点D,连接DQ.设P、Q的运动时间为t.

(1)直接写出BD的长；(用含t的代数式表示)

(2)若a=15,求当t为何值时，△ADP^△BDQ相似；

(3)是否存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在SABDQ：S△ADP：

S梯形CPDQ=1：4：4的时亥I」，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

17.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=11.直角尺的直角顶点P在AD上滑

动时(点P与A,D不重合)，一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点

E.

(1)△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程;

(2)是否存在这样的点P,使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在,

求DP的长；若不存在，请说明理由.

18.如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，

已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m,标杆FC=2.2m，且BC=lm,CD=5m,

标杆FC、ED垂直于地面.求电视塔的高ED.

19.已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(-2,2)、

B(-1,0)、C(0,1)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长

度).

(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形4AlB1C1；

(2)以点0为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2,使4A

2B2C2与^AIBICI位似，且位似比为2：1；

(3)求△人181(：1与4A2B2C2的面积比.

20.如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A

开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的

速度移动.如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动时间(0vtv6).那么：

(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形?

(2)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?

2017年11月21日《相似三角形》

参考答案与试题解析

—.选择题(共6小题)

1.如图，已知矩形ABCD中，AB=2,在BC上取一点E,沿AE将AABE向上

折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=

（）

D.-------------三-----------------n.4

A.巫B.V5+1C.4D.2y

【解答】解：•••沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点,

四边形ABEF是正方形，

•:AB=2,

设AD=x,则FD=x-2,FE=2,

•••四边形EFDC与矩形ABCD相似，

EF_AD

而下，

2二x

x-22,

解得xl=l+疾，x2=l-泥（负值舍去），

经检验x1=1+正是原方程的解.

故选B

2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如下图所示，点A的坐标为（1,

0）,点D的坐标为（0,3）.延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1

C；延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1...按这样的规律进行下

去，第2012个正方形的面积为（）

4__4_4

A.VlOx(S-)4022B.10x(巨)4022C.5x(百)4022D.10x

_4

(S')4023

【解答】解：•.•点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,3),

・•・OA=1,0D=3,

vzAOD=90°,

AB=AD=Vl2+32=VTo,zODA+zOAD=90°,

•••四边形ABCD是正方形，

•••zBAD=ZABC=90°,S正方形ABCD=(V10)2=10,

.-.zABA1=90°,ZOAD+ZBAA1=90°,

.-.zODA=ZBAA1,

ABA1DOA,

BA】ABBA[^3

-0A-=OD,gp~1~=~3~,

VlO

・•・BA1=3,

CA1=3,

4_

••.第三个正方形的边长：A2C1=A2B2=(5)2V10,

_4

二第四个正方形的边长：=(5)3710,

_4

第2012个正方形的边长：=（~3）2011V10,

4,_4

・•・第2012个正方形的面积为[:（巨）2011V10]2=10«（豆）4022,

故选：B.

3.在平面直角坐标系中，已知点A(-2,4),B(-3,1),以原点。为

位似中心，相似比为2,把^ABO放大，则点A的对应点A'的坐标是()

A.(-4,8)B.(-1,2)C.(-4,8)或(4,-8)D.(-

1,2)或(1,-2)

【解答】解：；以原点0为位似中心，相似比为2,将△OAB放大为△OA'B',

点A(-2,4),

二A'点的坐标为(-4,8),B'(4,-8).

故选：C.

a+bb+cc+a

4.若c=a=b=k,则k的值为()

A.2B.-1C.2或-ID.-2或1

【解答】解：①a+b+c=0时，，a+b=-c,

a+b-c

所以，k=c=c=-1；

a+bb+cc+aa+b+b+c+c+a2(a+b+c)

②a+b+c,0时，c=a=b=a+b+c=a+b+c=2,

所以，k=2,

综上所述，k的值为2或-1.

故选C.

5.在比例尺为1：1000000的地图上，相距8cm的A、B两地的实际距离是

()

A.0.8kmB.8kmC.80kmD.800km

]

【解答】解：81000000=8000000cm=80km.

故选C.

6.下列各组中的四条线段成比例的是()

A.a=l，b=3,c=2，d=4B.a=4,b=6，c=5,d=10

C.a=2,b=4,c=3,d=6D.a=2,b=3,c=4,d=l

【解答】解：A.lx43x2,故本选项错误；

B.4x1046x5,故本选项错误；

C.4x3=2x6,故本选项正确；

D.2x3*1x4,故本选项错误；

故选C.

二.填空题（共6小题）

7.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B',

折叠痕为EF,已知AB=AC=8,BC=10,若以点B'、F、C为顶点的三角形与△

40

ABC相似，那么BF的长度是3"或5.

【解答】解：设BF=x,

•••△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B',折叠痕

为EF,

:.BF=B'F=x,

FC=BC-BF=1O-x,

vzFCB=zBCA,

CFCB，FB，

当CB=CA=AB时，△CFBZCBA,

10-xx40

即10=瓦即得x=3"；

CFCB，FB，

当CB=AB时,△CFB's^CAB,

10-xx

即8=京,即得x=5,

综上所述，当BF=9或5时，以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似.

40

故答案为"T或5.

8.如图，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=1,

CD=3,则EF:CD的值为W.

BF

【解答】解：•••AB、CD、EF都与BD垂直,

AB||CD||EF,

DEFsXDAB,△BEFBCD,

EF：AB=DF：DB,EF：CD=BF：BD,

EFEF^DFBFBF+DF=BD

ABTD^DB^D=BD=BD=1,

•••AB=1,CD=3,

・岑亭

3_

EF=7,

EF

CD=T,

故答案为：4.

9.如图，Rt^ABC中，zACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,

在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边

上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0<t<2）,连接

32

PQ.若小BPQ与△ABC相似，则t的值为1秒或五秒.

【解答】解：设运动时间为t秒（0<t<2）,贝l」BP=5t,CQ=4t,BQ=8-

4t,

vzACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=V62+82=10,

BPBQ5t8-4t

当△BPQ-ABAC时,BA=BC,即而=8解得t=l（秒）；

BPBQ518-4t32

当△BPQ-ABQP时,BC=BA,即"§-=10,解得t=五（秒），

32

即当t=l秒或五秒时,△BPQ与△ABC相似.

32

故答案为1秒或&秒时

10.如图所示，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm.点P从点A出发沿AB向

点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运

动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发，贝！|0.8或2秒钟后△PBQ与

△ABC相似？

【解答】解：设经过x秒后△ABC相似.

则AP=2xcm,BQ=4xcm,

,:AB=8cm，BC=16cm,

・•・BP=(8-2x)cm,

BPBQ

①BP与BC边是对应边，则前=直，

8-2x4x

即16=T,

解得x=0.8,

BPBQ

②BP与AB边是对应边，则瓦=而，

8-2x4x

即8=16,

解得x=2.

综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似.

故答案为：0.8或2.

11.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH,其中E、F、G

15

分别在AB、BC、FD±.若BF=3,则小正方形的边长为T.

【解答】解：在^BEF与△CFD中

vzl+z.2=z.2+z.3=90°，

AZ.1=z.3>

vz.B=z.C=90°,

・•・△BEFCFD,

・・・BF=3,BC=12,

ACF=BC-BF=12-3=9,

又DF=7CD2+CF2=7122+92：

BFEF3EF

CD=DF,BP?2=15,

15

EF=T,

15

故答案为：T.

16

12.如图，11||12||13,AB=4,DF=8,BC=6,则DE=~5~

【解答】解：11||13,AB=4,BC=6,

DEAB_2

EF=BC=3,又DF=8,

16

:.DE=5,

16

故答案为：T.

三.解答题（共8小题）

13.在△ABC中，zB=90°,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始沿AB边

向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移

动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒.

(1)几秒钟后△PBQ是等腰三角形？

(2)几秒钟后△PQB的面积为5cm2?

(3)几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似?

【解答】解：设t秒后，则BP=6-t,BQ=2t,

(1)△PBQ是等腰三角形，则BP=BQ即6-t=2t,解得t=2；

11

(2)△PQB的面积为彳BP・BQ=5(6-t)(2t)=5,即(t-1)(t-

5)=0,解得t=l或5.

BPBQ

(3)©ABPQBAC,则AB=BC,即2t=2(6-t),解得t=3.

②△BPQs^BCA,则有BP：BC=BQ：AB,•••6-t：12=2t：6,解得

t=1.2

当t=3秒或t=1.2秒时以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似.

14.如图，在^AOB中，zAOB=90°,0A=12cm,AB=6泥cm,点P从0开

始沿OA边向点A以2cm/s(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向

点。以lcm/s的速度移动，如果P,Q同时出发，用x(秒)表示时间(Ovxv

6),那么：

(1)点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；

(2)当x为何值时，以P、0、Q为顶点的三角形与△AOB相似?

O—>A

【解答】解：(1)vzAOB=90°,

BO2=AB2-AO2,

BO=6,

在心△OPQ中，OQ=6-x,OP=2x,

•••△OPQ的面积为5cm2；

EOQ・OP=5,即万(6-x)・2x=5,解得x1=1,x2=5；

OPOQ2x6-x

(2)当△OPQSAOABH寸，0A=OB,即诵=飞-，解得x=3秒；

OPOQ2x-§

当△OPQSAOBA,0B=OA,即"T=正，解得x=百秒.

且

综上所述，当x=3秒或百秒时，以P、0、Q为顶点的三角形与△AOB相似.

15.如图，在矩形OABC中，A0=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边

BC,使点B落在0A边上的点E处.

(1)求AD的长；

(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动

点Q从点C出发，沿C0以每秒1个单位长的速度向点0运动，当点P运动到点C

时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点

的三角形与△ADE相似？

【解答】解：(1)由折叠可得，CE=CB=AO=10,而C0=AB=8,

・•・0E=6,

•••AE=10-6=4,

设AD=x,贝DB=DE=8-x,

心△ADE中，AD2+AE2=DE2,

•，.x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

AD=3；

(2)vzDEA+zOEC=90°,ZOCE+zOEC=90°,

.•.ZDEA=zOCE,

由(1)可得，AD=3,AE=4,DE=5,

,:CQ=t,EP=2t,

PC=10-2t,

①当/PQC=zDAE=90°时，△ADE5sQPC,

CQCPX_102

EA=ED,即W=5,

40

解得t=E；

②当4QPC=zDAE=90°时，△ADEPQC,

PCCQ102X_

AE=ED,即4=

25

解得t=7,

4025

综上所述，当t=I?或彳时，以P、QC为顶点的三角形与△ADE相似.

16.如图，已知△ABC中，AB=AC=a,BC=10,动点P沿CA方向从点C向点A

运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，

P、Q中任意一点到达终点时.，另一点也随之停止运动.过点P作PDIIBC,交

AB边于点D,连接DQ.设P、Q的运动时间为t.

（1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）

（2）若a=15,求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似；

（3）是否存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在SABDQ：S△ADP：

S梯形CPDQ=1：4：4的时刻，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)BD=t.

(2)•••PD||BC,AB=AC=15,

APAD

:.AC=AB,

AD=AP=15-t,

:.BD=CP=t,

VAC=15,BC=10,CP=t,

2

PD=10-3t,

•••△ADP和△BDQ相似，

QBBDQBBD

:.AD=而或PD=AD,

t10-t

10-t_2_2t

.•.许T=l0与t或10万t=w

解得：tl=4,t2=15（舍去），t3=15>10（舍去），t4=6

答：t=4或6时，△ADP与△BDQ相似.

(3)存在，

理由是：假设存在SaBDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4,

S^APD44

即SAABC=1+4+4=~3,

vPD||BC,

2

APD-AACB,相似比是瓦

AP2

・•.AC=3,

设四边形CPDQ的边CQ上的高是h,

则△BDQ的边BQ上的高是h,△ABC的边BC上的高是3h,

111

:.2BQxh=9x2BCx3h,

1

(10-t)=©x3x10,

20

:.t=3,

20

AP=a-t=a-3,AC=a,

20

a万_2

:.a=3,

代入解得：a=20,

答：存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在BDQ：S△ADP：S梯

形CPDQ=1：4：4的时•刻，a的值是20.

17.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=11.直角尺的直角顶点P在AD上滑

动时(点P与A,D不重合)，一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点

E.

(1)△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程;

(2)是否存在这样的点P,使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在,

求DP的长；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)△CDP八PAE.

证明：•.•四边形ABCD是矩形,

•••Z.D=ZA=90°,CD=AB=6,

••zPCD+CPD=90°,

vzCPE=90°,

.-.zAPE+zCPD=90°,

.-.zAPE=zPCD,

CDPPAE；

（2）假设存在满足条件的点P,设DP=x,则AP=AD-DP=11-x,

CDPPAE,

CD

AP=2,

6

:.ll-x=2,

解得：x=8)

:.AP=3,AE=4,

即DP=8.

18.如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，

已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m,标杆FC=2.2m,且