5.2 导数在研究函数中的作用 题型

导数在研究函数中的作用理解导数与函数的单调性的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．会利用导数证明一些简单的不等式问题.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.掌握函数极值的判定及求法.掌握函数在某一点取得极值的条件．能根据极值点与极值的情况求参数范围.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.会求某闭区间上函数的最值．理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．课标解读：1.通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.2.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.3.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题.TOC\o"14"\h\u导数在研究函数中的作用 1一、主干知识 2考点1：函数的单调性与导函数的关系 2考点2：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 2考点3：函数的单调性与其导数正负的关系 3考点4：函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 3考点5：函数极值的求法与步骤 3考点6：函数的最大(小)值与导数 4考点7：用导数求函数f(x)最值的基本方法 4【常用结论总结】 4二、分类题型 5题型一函数的单调性 5命题点1用导数判断或证明已知函数的单调性 5命题点2用导数判断或证明已知函数的单调区间 17命题点3函数与导函数图像之间的关系 25命题点4含参数分类讨论函数的单调区间 32题型二函数的极值与最大（小）值 40命题点1函数极值 40命题点2函数（导函数）图像与极值的关系辨析 52命题点3由导数求函数最值 62命题点4函数单调性、极值与最值的综合运用 70命题点5根据极值点求参数 96命题点6函数（导函数）的极值与最值 106三、分层训练：课堂知识巩固 125一、主干知识考点1：函数的单调性与导函数的关系一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．考点2：利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．考点3：函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.考点4：函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．考点5：函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．考点6：函数的最大(小)值与导数(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点7：用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.【常用结论总结】(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．2.(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．二、分类题型题型一函数的单调性命题点1用导数判断或证明已知函数的单调性（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用导数研究函数的单调性一一判定选项即可.【详解】由在上是增函数，故A正确；对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误；函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确；，定义域为，在定义域内不是增函数，故D错误；故选：AC.（多选）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据函数的奇偶性的定义，结合导数判断单调性逐一判断即可.【详解】对于A，，，又，所以是偶函数，故A错误；对于B，，根据基本函数的单调性，易知在和上分别单调递增，但在定义域上并不单调递增，故B错误；对于C，，，，所以是奇函数，又，所以是上的增函数，故C正确；对于D，，，，所以是奇函数，又，所以是上的增函数，故D正确.故选：CD.已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是．【答案】【分析】即导函数在在区间内有零点.【详解】由题意知，因为在区间上不单调，即在区间有零点，又，即为的零点在区间内，所以解得，即m的取值范围是．故答案为：已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是．【答案】.【分析】利用奇偶性及单调性去函数符号解一元二次不等式即可.【详解】易知，且，即为奇函数，又，当且仅当时取得等号，故为增函数，对于，所以，故答案为：.已知函数（为常数）为奇函数，则满足的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，再求导可得函数在上单调递增，结合其单调性与奇偶性求解不等式，即可得到结果.【详解】因为函数（为常数）为奇函数，则，即，解得，检验符合，所以，且，即函数在上单调递增，则，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：若函数在具有单调性，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数与函数的单调性的关系进行求解即可.【详解】由，当函数在单调递增时，恒成立，得，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因此有，当函数在单调递减时，恒成立，得，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，显然无论取何实数，不等式不能恒成立，综上所述，a的取值范围是，故选：C已知函数是单调函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】函数单调转化为恒成立，或恒成立，再分类讨论不等式恒成立的充要条件，当时，恒成立；当时，分离整体参数，构造函数研究函数的值域即可.【详解】由题意，的定义域为．因为函数是单调函数，所以函数在恒成立，或函数在恒成立.①当时，，所以函数在上为减函数，符合题意；②当时，(i)当时，，即在上恒成立．令，则，所以函数在上为增函数，且，所以，则，这与矛盾；当时，，即在上恒成立．因为在上为增函数，且当时，，所以不存在这样的，使恒成立.综上可知，实数的取值范围为．故选：C．已知在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】确定在上恒成立，根据得到，再证明充分性，，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【详解】，在上恒成立，设，，，①必要性：，恒成立，故，故，若，则存在，使时，，单调递增，，不满足条件；②充分性：，，设，在恒成立，故单调递减，，故恒成立，综上所述：.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数单调性问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用必要性探路得到，再证明充分性可以避免繁琐的讨论，简化运算，是解题的关键.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据原函数的单调性得到导函数的正负，后利用二次函数性质求参数范围即可.【详解】由得，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立．设，则在上恒成立，利用二次函数的图象与性质及数形结合思想，可得或，解得，所以实数a的取值范围为故选：B．若函数在上是严格单调函数，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】转化为，或，由得，当时即求，当时即求由时得，当时即求，当时即求.【详解】，函数在上是严格单调函数，所以，或，当时，不符合题意；由时，得，当时，，所以在上恒成立，即求，因为，所以，，所以；当时，，所以在上恒成立，即求，因为，所以，，即；综上所述，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由，或，转化为求最值的问题.若函数在内单调递减，则实数的取值范围是【答案】【分析】在内单调递减等价于在内恒成立，据此即可求解.【详解】，∵在内单调递减，∴在内恒成立，即在内恒成立，即在内恒成立，∵在单调递增，∴，∴，∴﹒故答案为：已知函数，若单调递增，求a的值.【答案】1【分析】先对求导，因为单调递增，所以恒成立，再构造函数，分别讨论时的符号和单调性，最终得到值.【详解】由可得，，由于函数单调递增，则恒成立，当时，，可知时，，不满足题意；设，则，当时，，函数单调递增，又因为，即，不满足题意；当时，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，由可得，，令，则，可知时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，则，由于恒成立，所以，，当且仅当时取等号，故函数单调递增时，实数的值为1.已知函数.判断函数的单调性.【答案】函数在R上单调递增【分析】对函数进行求导，结合三角函数的值域，利用导数研究函数的单调性即可.【详解】的定义域为R，且.由于，所以在R上恒成立，所以，函数在R上单调递增.已知，求的单调性.【答案】函数在上单调递减，在上单调递增.【分析】根据导数与单调性关系求解即可.【详解】由，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数.(1)若单调递增，求的值；(2)设是方程的两个实数根，求证：.【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）由单调递增，转化为恒成立，分离参数法可求；（2）由是方程的两个实数根，化简得，，两式作和与差，消去参数，转化为证明，整体换元，转化变形为的证明，构造函数，利用导数证明即可．【详解】（1），，则，由单调递增，则，即，则有恒成立，当时，对任意都成立；当时，，则恒成立，设，则为减函数，当时，则，且，所以；当时，，则恒成立，由为减函数，当时，则，且，所以；综上所述，；（2）方程，所以，则有，且，由，得．要证，只要证明，即证，记，则，，因此只要证明，即．记，，令，则，当时，，所以函数在上递增，则，即，则在上单调递增，，即成立，．【点睛】多变量导数题的核心思想是不变的——消元，消元的方法有很多，在双变量问题中可以差值比值代换，主元法，构造函数等等.这些方法同样适用于多变量，在三变量消元时也可以考虑先忽略一个变量，将三变量转化成双变量问题.已知函数．(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)当时，证明：对，有．【答案】(1)在单调递减，在单调递增(2)证明见解析【分析】（1）由导函数符号变化，分区间讨论单调性；（2）不等式等价变形，构造函数，求解导函数并利用放缩，再结合辅助角公式转化利用有界性判断导函数符号，得到函数单调性证明不等式.【详解】（1）当时，，，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增．所以在单调递减，在单调递增．（2）要证，只要证，即证．令，．当时，令，，所以在单调递增，所以，即，从而．所以，，其中，为辅助角，且满足即可.所以在单调递减，即．故成立．命题点2用导数判断或证明已知函数的单调区间函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间.【详解】函数的定义域为，，令，则单调递减区间为.故选：B函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，令求解.【详解】解：因为，所以，令，得，所以的单调递减区间为，故选：B若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，则在上恒成立，结合函数单调性得最值，即可得的取值范围.【详解】若函数在区间单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立；又函数在上递减，所以恒成立，则故的取值范围是.故选：D.已知，函数的定义域为．若为奇函数，则的严格增区间为．【答案】和【分析】由奇函数的性质求出，则，对求导，令，解方程即可得出答案.【详解】因为为奇函数，所以，所以，即，所以，因为，所以，则，，令，则或，解得：或.故答案为：和已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.【详解】由得，由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，若在区间上单调递增，则，解得，故答案为：已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为.【答案】【分析】利用导函数研究函数单调性再结合指数函数的值域计算即可.【详解】因为在区间上单调递增，所以当时，恒成立，即在恒成立，又，所以.故答案为：.已知函数的减区间为，则.【答案】3【分析】根据题意，转化为的解集为，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，解集为，则.故答案为：3若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.【详解】，由题意在上有解，即在上有解，根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，故，故实数的取值范围是.故答案为：函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】求导，即或恒成立，分类讨论即可.【详解】因为函数在区间上是单调函数，则在上有或恒成立，当时，即，则，当时，即，则，综上：实数a的取值范围是.故答案为：已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是．【答案】或【分析】将问题转化为有极值点，即有变号零点，从而得解.【详解】因为，所以，又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点，则成立，当时，可化为，显然不成立；当时，，因为，，所以或，所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号），经检验，或满足要求.故答案为：或.已知函数，当时，求函数的单调区间.【答案】增区间为和，减区间为【分析】当时，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间.【详解】解：当时，，该函数的定义域为，，由可得，由可得或，故当时，函数的增区间为和，减区间为.设函数.(1)求的单调区间；(2)若正数，满足，证明：.【答案】(1)增区间为，，减区间为(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）先求得的等量关系式，然后利用构造函数法、换元法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）的定义域是，.令，解得；令，解得或.所以增区间为，，减区间为；（2）证明：因为，所以.设，定义域为，则，当时，.单调递增；当时，，单调递减.因此，所以对任意的恒成立.令，有，当且仅当时，等号成立.因此，即，解得，即.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)三条【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设出切点，将切线方程表示为含有参数的直线方程，根据切线过点可得关于参数的方程，判断方程根的个数即可求解.【详解】（1）因为，所以.令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），则，设切点为，则，，所以切线方程为.将点代入得，整理得.因为方程有两个不相等正根，所以方程共有三个不相等正根.故过点可以作出三条直线与曲线相切.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调增区间．【答案】(1)(2)和【分析】（1）求导得到导函数，计算，，得到切线方程.（2）求导得到导函数，构造，求导确定单调区间，计算最值得到在和上恒成立，得到答案.【详解】（1），定义域为，，，，故切线方程为，即；（2）函数定义域为，，设，，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递减；故，恒成立，即在上恒成立，函数在和上单调递增.则函数单调增区间为和.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调增区间．【答案】(1)；(2)，.【详解】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．（1），则则，又，则曲线在点处的切线方程为，即（2），则，由可得或，则函数的单调增区间为，.命题点3函数与导函数图像之间的关系函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.【详解】由图象可知，在区间上，在区间上，所以不等式的解集为.故选：C已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析的单调性，即可得到的单调性及变化趋势，即可判断.【详解】由题知且不恒等于，又在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，即当时，的值由小变大，再由大变小，即函数图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢.故选：B.的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项.【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.所以，函数的增区间为和，减区间为，所以，函数的图象为C选项中的图象.故选：C.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的单调性与导数的关系及符号法则解不等式即可.【详解】由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为，所以时，，时，，由，可得或，所以.故选：D.已知函数为的导函数，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据函数解析式求导函数,再根据导函数导数正负得出导函数的单调性判断即可.【详解】令函数，定义域为，函数为偶函数，又，且，当时，在单调递增，则，函数在单调递增.故选：C.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.【详解】因为的图像经过与两点，即，，由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故AD错误；由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增，又在上越来越大，在上越来越小，所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故C错误，B正确.故选：B.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案.【详解】由函数的图象可知当或时，；当时，，等价于或，故不等式的解集为，故选：A是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，只有选项C符合，故选：C已知三次函数的图象如图所示，若是函数的导函数，则关于的不等式的解集为（

）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】分、讨论结合导函数和原函数图象的关系可得答案.【详解】有图可知，所以即解，当时得，函数是单调递增函数，故满足条件的为，当时，，函数是单调递减函数，故满足条件的为.所以综合可得的解集为或.故选：D.【点睛】方法点睛：导函数大于零则原函数递增，导函数小于零则原函数递减，本题考查导函数与原函数的关系.设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性以及时的图象，判断函数的函数值的正负情况，继而可判断其单调性，从而判断的正负，即可求得答案.【详解】由题意可知当时，；当时，；由于是定义域为R的奇函数，故当时，；当时，；又在上单调递增，在上单调递减，结合是定义域为R的奇函数，得在上单调递增，在上单调递减，故当时，，当时，，故当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；故可以使成立的x的取值范围是，，，故选：ABD已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为【答案】【分析】根据图像得到当时，，当时，，时，，代入计算得到答案.【详解】根据图像可得，当时，，，即，故；当时，，，即，故；当时，，，即，故；综上所述：.故答案为：命题点4含参数分类讨论函数的单调区间已知函数，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析.【分析】将函数求导，对的正负性进行分类讨论，进而得到的单调性.【详解】因为的定义域为，所以，其中，当时，即，在上单调递增，当时，即，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程；（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性.【详解】（1），由已知，∴得又∴曲线在点处的切线方程为化简得：（2）定义域为R，，令得或①当即时，令得或，令得，故在单调递减，在，上单调递增；②当即时，恒成立，故在R上单调递增；③当即时，令得或，令得，在上单调递减，在，上单调递增；综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为，利用构造函数法、放缩法，结合多次求导来研究所构造函数的单调性，进而证得不等式成立.【详解】（1）因为，所以，当时，，函数在上单调递增；当时，由，得，函数在区间上单调递增，由，得，函数在区间上单调递减．（2）要证，即证，即证，设，故在上单调递增，又，所以，又因为，所以，所以，①当时，因为，所以；②当时，令，则，设，则，设，则，因为，所以，所以即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，，即．综上可知，当时，，即．【点睛】方法点睛；求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.如果一次求导无法确定函数的单调性，则可以考虑多次求导的方法来进行求解.已知函数.(1)求的单调区间，(2)当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2).【分析】（1）求出，分、、、讨论可得答案；（2）由已知整理得，构造函数，利用的单调性可得，令，再利用的单调性求得最值可得答案.【详解】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，恒成立，则在上单调递增，当时，令，得或，令，得，在和上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2），即，整理得，因为，所以，令，因为，所以在上单调递减，因为，所以，所以，因为，所以，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是构造函数，利用的单调性可得，再构造函数.已知函数.讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【分析】求出函数的定义域以及导函数，然后分，，三种情况，根据导函数，即可得出函数的单调性.【详解】由已知可得，，定义域为，所以.（ⅰ）当时，.当时，有，在上单调递增；当时，有，在上单调递减.（ⅱ）当时，，解，可得，或（舍去负值），且.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.（ⅲ）当时，在上恒成立，所以，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得，讨论的范围，考查的正负即可；（2）结合（1）中的结论，要证明不等式成立只需证的最大值为,不等式化为，考查函数的单调性，求得最小值即可.【详解】（1）由题意，得.当时，在上恒成立，在上单调递增.当时，令，解得.当时，,当，.所以在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知，当时，的最大值为.要证成立，需成立，即证.令，则.令，得（负值已舍去）.所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值，为.故当时，.已知函数，其中R.讨论的单调性；【答案】答案见解析【分析】利用导数分类讨论求函数的单调性.【详解】依题意，的定义域为，由，得，①当时，恒成立，所以在单调递增；②当时，令，得，当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增；综上，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.已知函数，，讨论的单调区间.【答案】答案见解析【分析】先求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.【详解】的定义域为，，若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.若，则恒成立，在上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间.已知函数，其中，讨论的单调性.【答案】答案见解析【分析】，分类讨论的取值范围，利用导数求函数单调区间.【详解】函数，定义域是，，时，时，，时，，的减区间是，增区间是；时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是；时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是.综上所述：时，的减区间是，增区间是；时，的增区间是和，减区间是；时，的增区间是，无减区间；时，的增区间是和，减区间是.题型二函数的极值与最大（小）值命题点1函数极值函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为函数的零点B．是函数的最小值C．函数在上单调递减D．为函数的极大值点【答案】C【分析】根据的图象，得到函数的单调区间，结合函数的单调性，极值点和极值，以及零点的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由的图象，可得：当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，A中，是函数的一个极大值点，不一定是函数的零点，所以A不正确；B中，是函数一个极小值，不一定是函数的最小值，所以B错误；C中，函数在上单调递减，所以C正确；D中，为函数的极小值点，所以D错误.故选：C.设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（

）A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值【答案】B【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可.【详解】由图象可知，当时，，所以函数在上单调递减，A错误；当时，所以函数在上单调递增，B正确，C错误；函数在处取得极小值，D错误．故选：B已知函数的导函数的图像如图所示，则（

）A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值【答案】A【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.【详解】

由导函数图像可知：导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2）D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2）【答案】D【分析】结合函数图像及极值点定义可以判断极大值及极小值.【详解】由题图可知，当时，；当时，；当时，；当时，由此可以得到函数在处取得极大值，在处取得极小值．故选:D已知函数在处有极值，则等于（

）A． B．16 C．或16 D．16或18【答案】A【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.【详解】，若函数在处有极值8，则且，即，解得：或，当时，，此时不是极值点，故舍去，当时，，当或时，，当，故是极值点，故符合题意，故，故，故选：A已知函数在处有极大值，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果.【详解】，，∴或，当时，，令，得或；令，得；从而在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在处有极小值，不合题意，当时，经检验，满足题意；综上，.故选：C若函数在处取得极小值，则（

）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】A【分析】先由，求得的值，再代入导函数，根据函数的单调性，进行验证.【详解】由题意可得，则，解得.当时，，当或时，，则在，单调递增，当时，，则在单调递减，所以，函数在处取得极小值，此时.故选：A若函数有极大值，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对函数求导后，分，，和四种情况讨论即可.【详解】由，得，当时，，则在上递增，所以无极值，当时，，则在上递减，所以无极值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以时，取得极大值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，综上，当时，有极大值，故选：B（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值【答案】BC【分析】利用函数图象判断符号，从而判断的单调性，进而根据极值点、极值的概念判断即可.【详解】由题图知，当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以.所以在，上单调递减，在，上单调递增，所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值.故AD错误，BC正确.故选：BC（多选）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（

）A．函数有极大值 B．函数有极小值C．函数有极大值 D．函数有极小值【答案】AD【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点，再求出大于0、小于0的x取值区间即可判断作答.【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点，当或时，，当时，，所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误.故选：AD（多选）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】BC【分析】利用函数极值的定义以及零点存在性定理得出结果.【详解】由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递减，故，可得解得.故选：BC.已知实数、、、成等差数列，且函数在时取到极大值，则.【答案】【分析】利用导数求出函数的极值点与极值，可得出、的值，再利用等差数列的性质可求得的值.【详解】函数的定义域为，且，由可得，由可得，所以，函数的单调递增区间为，递减区间为，所以，函数在时取到极大值，又因为实数、、、成等差数列，可得.故答案为：.函数的极小值是.【答案】0【分析】求出导函数，由其确定单调性得极小值．【详解】由已知，得或，当或时，，当时，，所以在和上递增，在递减，所以的极小值为．故答案为：0.函数的一个极值点为1，则的极大值是．【答案】4【分析】由极值点定义得到，求出，进而得到或时，，时，，得到函数单调性和极大值.【详解】定义域为R，，由题意得，，解得，故，令，解得，令得，或，单调递增，令得，，单调递减，故在处取得极大值，极大值为.故答案为：4设函数在区间上有极大值点，则的取值范围是．【答案】【分析】求导，令，则，构造函数，利用导数画出函数的大致图像，结合函数图象，从分类讨论结合极值的定义即可得解.【详解】，令，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，，作出函数的大致图像，如图所示，由图可知，当，即时，，所以函数在上无极值；当，即时，方程有两个不同的实数根，设为，当或时，，当时，，所以函数既有极大值又有极小值，故符合题意；当，即时，方程只有一个实数根，设为，当时，，当时，，所以函数只有极小值，没有极大值，综上所述，的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.已知函数在处取得极大值，求的值.【答案】【分析】求出导函数，根据已知得出，代入求解方程组即可得出的值.进而求出函数的单调区间，检验极值即可.【详解】由已知可得，所以有，即，解得，所以.解可得，，.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，在处取得极大值，满足题意.所以，.已知为函数的导函数，且，求的极值.【答案】极小值为，无极大值【分析】在等式中，令可求得的值，在等式两边求导，令可求得的值，可得出函数的解析式，再利用导数可求得函数的极值.【详解】因为，则，解得，因为，可得，所以，则，可得，由，可得；由，可得.所以，函数的减区间为，增区间为，所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.已知函数.(1)若在处取得极值，求的极值；(2)若在上的最小值为，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，极小值为(2)【分析】（1）根据极值点可得，进而可得，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.【详解】（1），，.因为在处取得极值，所以，则.所以，，令得或1，列表得1+00+↗极大值↘极小值↗所以的极大值为，极小值为.（2）.①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，此时，的最小值为，不满足题意；③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.综上可知，实数的取值范围时.命题点2函数（导函数）图像与极值的关系辨析已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）A．有2个极值点 B．在处取得极小值C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减【答案】C【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.【详解】由题意及图得，在上单调递增，在上单调递减，∴有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数有最小值B．函数有最大值C．函数有且仅有三个零点D．函数有且仅有两个极值点【答案】A【分析】根据的图象判断出的单调性、极值点、最值、零点，逐一分析每一选项即可.【详解】由函数图象可知、的变化情况如下表所示：由上表可知在和上分别单调递减，在和上分别单调递增，函数的极小值分别为、，其极大值为.对于A选项：由以上分析可知，即函数有最小值，故A选项正确；对于B选项：由图可知当，有，即增加得越来越快，因此当，有，所以函数没有最大值，故B选项错误；对于C选项：若有，则由零点存在定理可知函数有四个零点，故C选项错误；对于D选项：由上表及以上分析可知函数共有3个极值点，故D选项错误.故选：A.已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据导函数得到函数单调性，进而得到和为极大值，为极小值，从而得到答案.【详解】在内的图像如下，当时，单调递增，时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值，当时，单调递增，故为函数极小值点，为极小值，当时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值，故函数在内的极小值有1个.故选：A如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（

）A．在处取得极大值 B．是函数的极值点C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减【答案】C【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，故是函数的极小值点，无极大值.故选：C如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（

）A．函数在区间上单调递减B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】B【分析】根据已知，利用图形以及导数与函数单调性、极值的关系进行判断.【详解】由图可知，导函数在区间上满足，所以在区间上单调递减，故A正确；导函数在区间上满足，所以函数在区间上单调递增，故B错误；在附近，当时，导函数满足，当时，导函数满足，所以函数在处取得极大值，故C正确；在附近，当时，导函数满足，当时，导函数满足，所以函数在处取得极小值，故D正确.故选：B.函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（

）A．函数在和上单调递增 B．函数在和上单调递减C．函数仅有两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值【答案】C【分析】根据的图象判断出的单调性、极值点、最值对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据的图象可知，函数在和上单调递增，A选项正确.函数在和上单调递减，B选项正确.所以的极小值点为，极大值点为，C选项错误.由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确.故选：C【点睛】利用导函数研究函数的单调性、极值点或最值，关键点在于根据导函数的图象判断出函数的单调性，然后根据单调性判断出极值点，而最值在区间的端点或极值点处取得.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在区间上是增函数 B．在上是减函数C．当时，取极大值 D．在上是增函数【答案】D【分析】根据导函数的图象与原函数的单调性与极值之间的关系，逐项判定，即可求解.【详解】

由导函数的图象可得，当时，，函数单调递减，所以A不正确；当时，，函数单调递增，所以B不正确；当时，,函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以是函数的极小值点，为极小值，所以C不正确；当时，，函数单调递增，所以D正确，故选：D.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．是函数的极小值点B．是函数的极大值点C．函数在上单调递增D．函数在处的切线斜率小于零【答案】C【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.【详解】由图象得时，，时，，故在单调递减，在单调递增，故是函数的极小值点，即选项A、B错误，C正确；对选项D：显然，故D错误.故选：C．（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（

）A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数C．在时取极小值 D．在时取极小值【答案】BC【详解】根据图象得到的符号，即可得到的符号，进而得到的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当时，当时，，当时，，，因，故当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故在处取得极小值，在处取得极大值，故选：BC（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（

）A．的单调递增区间是B．是的极小值点C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．是的极小值点【答案】ABC【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断；【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．故A、C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误．故选：ABC．（多选）已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．在上单调递减 B．在处取得极大值C．在处切线的斜率小于0 D．在处取得极小值【答案】AD【分析】根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项．【详解】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，A正确；不是极值，B错；由知C错；又时，，递减，时，，递增，所以是极小值，D正确．故选：AD．（多选）函数（，，，）的图象如图所示，则以下结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由的图象得到函数的单调区间与极值点，求出函数的导函数，即可得到和为方程的两根且，利用韦达定理即可表示出、，从而得解；【详解】由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，又，所以和为方程的两根且，所以，，所以，，所以.故选：AC（多选）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（

）A．函数有极大值 B．函数有极小值C．函数有极大值 D．函数有极小值【答案】AD【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点，再求出大于0、小于0的x取值区间即可判断作答.【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点，当或时，，当时，，所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误.故选：AD命题点3由导数求函数最值已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出极大值点，由可得（注意极值的定义）．【详解】，令，得，时，，递增，时，，递减，因此是的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点，由题意得，所以.故选：D.已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数的极大值与最大值的关系即可求解.【详解】，令，得，因为在区间上的最大值就是函数的极大值，则必有，所以.故选：C.已知函数在（1，2）上有最值，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出导函数，只需在（1，2）上不单调即可.【详解】由题意可得，在（1，2）上单调递增，若在（1，2）上有最值，则在（1，2）上不单调，所以解得．故选：A函数，则函数在区间上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用公式求导，令求得，进而可得，求导，令导数为0，判断出单调性，极值比较端点值与极值即可求解.【详解】由，则，则，则，则，则，令，得或，当时，，在单调递减，当和时，，在和单调递增，则在取得极大值，在取得极小值，，，,所以函数在区间上的值域是.故选：A函数在区间上的最大值与最小值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】利用导数讨论函数单调性，然后可得最值.【详解】由题意，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．又因为，，，所以的最大值与最小值分别为与．故选：A．已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为．【答案】【分析】由的极小值点在区间上可得参数范围．【详解】由已知，或时，，时，，∴在和上递减，在上递增，∴是的极小值点，且,函数在区间上有最小值，则，解得．故答案为：．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是．【答案】【分析】先对函数求导，然后令导函数等于零，则解在区间内，从而得解.【详解】因为，所以，令，得.由题意得，故．故答案为：.若函数在上有最小值，则实数的取值范围是.【答案】【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解.【详解】，令得，时，时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，若函数在上有最小值，则其最小值必为，则必有且，解得，故答案为：.已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是．【答案】【分析】对函数求导，求出函数的单调区间和极值，再根据函数在上存在最小值求参数范围.【详解】，当时，单调递减；当或时，单调递增，∴在取得极大值，处取得极小值.令，整理得，解得：或∵函数在上存在最小值，∴，解得.故答案为：.当时，恒有成立，则的取值范围是.【答案】【分析】根据函数有意义可得在上恒成立.，进而可得：由可得，构造函数可得，进而可得，从而可得答案.【详解】由题意，得.又恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以①.由，得，即.构造函数，则因为在上是增函数，所以，所以.令，则.构造函数,时，递减：时，递增，所以，即恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以②.由①②知.故答案为：.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.已知函数，则的最小值为．【答案】【分析】根据题意，求得，设，求得，得到函数的单调性，进而求得在上单调递减，进而求得的最小值，得到答案.【详解】因为，可得，设，则，令，可得，令，得，所以函数，即函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以，所以在上单调递减，则．故答案为：.已知函数在区间上的最小值为．【答案】【分析】求导得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值比较大小求解.【详解】，则．令，解得(舍去)，或．所以故在单调递增，在单调递减，，又，所以．故答案为：已知函数的最小值为0，则a的值为.【答案】【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值.【详解】由，且，令，则，即在上递增，所以在上递增，又，，，，所以，使，且时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以由，得，令函数，，所以在上是增函数，注意到，所以，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组，消a得到关于的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.若函数是上的减函数，则实数的最大值为．【答案】/【分析】根据题意，转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，进而求得的取值范围，即可求解.【详解】由函数是上的减函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增，可得，所以，即实数的最大值为．故答案为：.已知函数的最小值为1，则的取值范围为.【答案】【分析】变换得到，换元构造新函数，确定单调区间，计算最值得到有解，变换得到，构造新函数，求导得到单调区间，画出图像，根据图像得到答案.【详解】，，设，，，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，故有解，即，，，即，，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递增；，画出函数图像，如图所示：根据图像知，解得或，即.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将取值范围问题转化为函数的最值问题，再利用函数图像求解是解题的关键.已知函数，求的最小值.【答案】0【分析】求出函数的定义域，得出导函数.根据导函数得出函数的单调区间，求出极值点，进而得出答案.【详解】由已知可得，定义域为，且.当时，有，所以函数在上单调递增；当时，，所以函数在上单调递减.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.命题点4函数单调性、极值与最值的综合运用函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是．【答案】【分析】利用导数研究其单调性，再根据恒成立问题求解.【详解】因为，，所以，故在上单调递增，所以．又，所以在上也是单调递增，所以，因为对任意的，，使成立，等价于，即，故实数a的范围是．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题将所求转化为是解题关键，利用导数等方法求出相应函数的最值即可解答.已知函数，其中.(1)当时，求证：在上单调递减；(2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用二阶导数讨论函数的单调性即可；（2）由题意可得，利用导数讨论函数的单调性求出即可求解.【详解】（1）由题意知，当时，，则，设，得，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，得，即，所以函数在上单调递减；（2）由，得，即，设，则，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，得.当时，，当时，，要使方程有两个不同的实数根，则，即，即实数a的取值范围为.【点睛】在解决导数的综合问题时，善于运用转化的思想，构造适当的函数，再次利用导数讨论新函数的性质即可.已知.(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求整数的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求得，令，分、和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，求得取值，得到的符号，进而求得函数的单调性，得到答案；（2）根据题意，转化为不等式对恒成立，设函数，求得，设，分、和，三种情况讨论，得出函数的单调性与最值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）解：由函数，可得函数的定义域为，且，令，若时，，则，可得在上单调递增；若时，因为，令，解得或（舍去），当时，，则，可得单调递增；当时，，则，可得单调递减，所以函数的递增区间为，递减区间为；若时，函数开口向下，对称轴为且，当时，，则，可得在上单调递增.（2）解：由不等式对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，令，可得，设，若时，可得，则，单调递增，此时，且，不符合题意，舍去；若时，，令，解得或，当时，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，所以时，，又因为为整数，当时，；当时，，所以的最小整数的值为；当时，在上恒成立，则，单调递减，又由，所以对不能恒成立，舍去，综上可得，整数的最小值为.【点睛】方法策略：利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.已知函数.(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)当时，有两个零点；当时，有一个零点.【分析】（1）根据题意，转化为时，；时，，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解；（2）法一：由（1）可知，当和时，有一个零点；当时，得到，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使得，根据的单调性，转化为时，存在，使得，分类讨论，即可求解；法二：根据题意，转化为时，，令，利用导数求得函数的单调性与极值，结合函数图象，即可求解.【详解】（1）解：由函数，可得对恒成立，当时，显然成立；当时，；当时，，令，则，当时，；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，当时，可得，当时，，所以当时，；当时，，综上可得，实数的取值范围是.（2）法一：由（1）可知，当时，有一个零点；当时，在上单调递增，当x趋于0时，趋于负无穷大，且，故只有一个零点.当时，.令，则，时，；时，，可得在上单调递减，在上单调递增，.当x趋于0时，因为趋于0，所以趋于正无穷大，又因为，所以存在，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，所以当时，在只有一个零点；当时，在上单调递减，，且x趋于正无穷大时，，所以存在，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，又当x趋于0时，趋于负无穷大，，所以当时，，当时，.故当时，无论k为何值，取，总能有，所以当时，有两个零点，综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点.法二：由题意，可得，故当时，.令，则，所以在上单调递减，在上也单调递减，且当x大于0且趋于0时，趋于正无穷大，当x小于e且趋于e时，趋于负无穷大，当x大于e且趋于e时，趋于正无穷大，当x趋于正无穷大时，趋于0，其大致图象，如图所示，由图象可知，当时，有两个零点；当时，有一个零点.【点睛】方法策略：利用导数研究函数的零点问题的求解策略：1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.已知函数.(1)讨论的单调性(2)若，求证：①函数在上只有1个零点；②.【答案】(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求导得，分别确定和函数的正负，结合分类讨论，即可求解，（2）根据函数函数单调性，即可求证只有一个零点，构造函数，即可由导数确定单调性求证.【详解】（1）因为，所以.设，则，所以在上单调递增，且，所以当时，；当时，.当时，，所以在上单调递增.当时，若，则，所以单调递减；若或，则，所以单调递增.当时，若，则，所以单调递减；若或，则，所以单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.（2）①由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以在上没有零点.因为，所以所以当时，，此时在上只有1个零点.综上可得，在上只有1个零点.②由，知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.设，则.由（1）知，当时，，所以当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．已知函数．(1)若在区间上无零点，求实数m的取值范围；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）将变量分离出得在区间无解，求得的值域，即可求解；（2）根据时求得m的取值范围，再证时也成立，即，应用放缩法，先证，再证，构造函数结合导数即可证明..【详解】（1）令，得，令，则，当时，，，故，则在区间上单调递减，因为，当时，，故实数m的取值范围为．（2）依题意在时恒成立，令，解得．下证当时，不等式在时恒成立．先证明：当时，．令，则，令，则，易知，所以在上单调递增，，即，所以在上单调递增，得，即当时，．再证明：当时，，（*）因为当时，，故只需证明．令，则．①当时，，在上单调递增，；②当时，由知，所以，所以（*）成立．综上所述，实数m的取值范围为．【点睛】证明不等式恒成立，结合常用的指对不等式进行适当放缩是比较常用的方法.已知实数，函数，是自然对数的底数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)求证：存在极值点，并求的最小值.【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为(2)【分析】（1）求导，根据的正负判定函数的增减即可；（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.【详解】（1）当时，，则令，得；令，得；所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．（2）令，因为，所以方程，有两个不相等的实根，又因为，所以，令，列表如下:0+减极小值增所以存在极值点.所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，记，所以，当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，的最小值为．所以需要，即需要，即需要，即需要因为在上单调递增，且，所以需要，故的最小值是．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，判断方程的实根个数．【答案】(1)答案见解析(2)只有1个实根【分析】（1）求得，设，利用导数求得在上单调递增，且，得到的单调性，得到，分和，两种情况讨论，即可求解；（2）设，求得，设，利用导数求得单调递减，即单调递减，进而得到在上单调递减，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】（1）解：因为，所以，设，则，设，可得，可得在上单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，若，则，所以，在上单调递增；若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）解：设，则当时，方程的实根个数即函数的零点个数．又由，设，则，由（1）知，所以，所以单调递减，即单调递减．又当时，，所以当时，，在上单调递减，因为，，所以在上存在唯一的零点，所以当时，方程只有1个实根．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.已知函数在处有极值1.(1)求的值；(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可列出相应方程，即可求得的值，验证后即可确定答案；（2）由题意得在上恒成立，继而参变分离得在内恒成立.，构造函数，求出函数的最小值，即可求得答案.【详解】（1）由题意知，因为在处取得极值1，所以，解得，即，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，即在处取得极小值1，符合题意，故.（2）在上恒成立，即在内恒成立.令，则，令，得或，令，得或，所以在和上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，经验证时，，即符合题意，即的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答第二问根据函数的单调区间求解参数取值范围，得到不等式在上恒成立，即可参变分离，转化为不等式在内恒成立，继而构造函数，将问题转化为求解函数的最值问题.已知函数.(1)试讨论的单调区间；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论确定一元二次不等式在上的解集即得.（2）利用（1）的信息，用函数的最小值点表示出a，再构造函数，利用导数探讨的取值范围，并结合零点存在性定理求解即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，在上恒成立，即在上单调递减；当时，令，解得，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在上单调递减，最多只有1个零点，当时，的最小值为，若有两个零点，则，由，得，，令函数，则在上单调递减，又，即当时，，则当，即时，，令函数，当时，，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，则，即，，令函数，由二次函数的图象及性质得，，即，于是当，即时，有2个零点，所以若有两个零点，则的取值范围为.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.已知函数有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围；(2)已知，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，得到有两个不同的零点，再次求导，分与两种情况，得到函数单调性和极值点情况，得到不等式，求出，再利用零点存在性定理得到答案；（2）由，，变形得到，换元后得到恒成立，构造函数，二次求导，分和，结合函数单调性即特殊点的函数值，求出的取值范围.【详解】（1）由题知有两个不同的零点，设，当时，在上单调递减，至多有一个零点，与题意不符；当时，，令得：，且时，时，，则在上单调递减，在上单调递增；由题意，，即，解得：.且此时，当时，，当时，，因此，由零点存在定理知在和各有一个零点，符合题意.综上，.（2）由（1）可知：①，②，因此不等式等价于.又①②得：，代入得，即，设，不等式化为，又恒成立，设，，设.当时，单调递减，即单调递减，而，在上单调递增，而，在上恒成立，符合题意.当时，令得：，且当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，而，当时，在上单调递减，而，与题意不符.综上所述，.【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问