多目标规划问题运筹学课设

的问题，公司对这些项目进行组合与投资安排时，不仅要考虑各项目的投资额投资越分散，总的风险越小，而高风险伴随着高收益，低风险伴随着低收收益是风险的回报，风险是收益的代价。在风险可承受的条件下，对如何去争本文在“净收益尽可能大，且总体风险尽可能小”的要求下，结合实例进行合理性假设，建立了多目标规划模型(见4.1),并对模型作了合理的简化，得到了一个简化后的双目标线性规划模型(见4.2)。在模型的求解中，本文基于多目标规划转化为单目标规划的思想，采用了较为常用的“约束法”,得到了极大化净收益下的模型。由这个模型，通过excel对数据处理做出散点出，直关键词：体风险函数、总体净收益函数、多1目录一.问题重述 1二.模型假设 2 34.1模型的建立 34.2模型的简化 4五.模型的求解 5 55.2约束法转化 5 9参考文献 2市场上有n种资产(如股票、债券、…)S,(i=1,…n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S,的平均收益率为r,并预测出购买S的风险损失率为q;。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S,中最大的一个风险来度量。购买S,要付交易费，费率为p,,并且当购买额不超过给定值u,时，交易费按购买u,计算(不买当然无须付费)。另外，假定同期银行存款利率是ri,且既无交易费又无风险。(ri=5%)试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M,有选择的购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，且总体风险尽可能小。(相关数据见附件)二.模型假设2.总体风险用投资项日S,中最大的一个风险4.在投资时期，各资产平均收益率、风险损3P₀,q₀:存银行的交易费率，风险损失率(p=0,q=0);u(i=1,…n):投资项目s,的交易定额；x,(i=1,…n):投入项目i的资金；四.模型的分析与建立4.1模型的建立(1)总体风险函数的求解：由题中知，总体风险可用所投资项目中最大的一个(2)总体净收益函数的求解：由购买si要付交易费，费率为pi,并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算(不买当然无须付费),则(3)多目标规划模型的建立：由题意，要求公司的投资组合方案，需满足净收益尽可能大，且总体风险尽可能小。据此及上述得到的投资总体风险函数和总4体净收益函数，我们得到了一个多目标规划模型如下：4.2模型的简化为了便于后面模型的求解，我们对模型做了如下的简化：(1)总体风险函数的简化：取新变量α,令(2)总体净收益函数的简化：由上4.1中得到的购买各项日的交易费式可看出，各项目购买交易费是个分段函数：且题目所给定的投资项目s,的交易定额u,相对总投资Ⅱ是很小的，p×u更小，故此可忽略不计，这样购买si的净收益为则目标函数I可化为近似的形式如下：(3)简化后的规划模型——双目标线性规划模型：综上所述，我们得到简化后5s.t.结合上述模型，带入相关数据，即可得到公司要求的净收益尽可能大，且总体风险尽可能小的优化投资方案。五.模型的求解5.1多目标规划转化为单目标规划在模型的建立中我们得到的是多日标规划模型，显然这是不利于计算求解的，为此在多目标规划转化为单日标规划的思想指导下，我们采用“约束法”对得到的多目标规划模型进行了转化，从而得到了易于计算的模型。5.2约束法转化所谓的“约束法”,即在多个日标中选中一个主要日标，而对其他日标设定一个期望值，在要求结果不比期望值坏的情况下，求主要日标的最优值。由此我们可得了两种模型转化如下：固定风险水平，极大化净收益根据投资者承受风险的程度不同，确定风险水平an,使每一项投资的风险损失不超过a×A,进而极大化净收益，可把多目标问题转化为单目标问题，6S.l在相同的风险损失率下，对不同的M值，其最优方案中投资于各种资产的比例不变，因此将M取为1,并不影响最终结果。只不过这样所求的总的净收益变为投资组合的净收益率了。由附表一中的数据，通过LINDO执行的命令行：软件执行以下命令行，即可得到求解结运行结果：007NO.ITERATIONS=0执行的命令行：44VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX30.0363640.0000008NO.ITERATIONS=4可见对不同的风险水平a,可以得到不同的方案结果：为了取得合理的风险水平，我们取多组不同的风险水平，观察净收益的变化情况。取a=0:0.002:0.1,得到投资方案和对应的净收益如下表：a9:::::::用excel软件对数据进行散点图分析得到风险水平与对应净收益的图形(1)图中曲线上的任一点表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小(2)由图可看出，在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加因此对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a=0.006,Q=0.2,则对问题一可得到对应的投资方案对给定的资金M,其24%用于投资S,40%用于投资S₂,10.91%用于投资S₂,22.12%用于投资S1.本文根据题意建立了合理的多元规划模型，并对模型进行了较为合理