5.1.2弧度制导学案（原卷版）

导学案【学习目标】1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)【自主学习】一．度量角的两种单位制1.角度制：(1)定义：用作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的.2.弧度制：(1)定义：以作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角．3.弧度数一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．4.弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝(eq\f(180,π))°≈57.30°5.一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起的关系：每一个角都有的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．二．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则1.弧长公式：l＝.2.扇形面积公式：S＝＝.注意：(1)α为弧度制．(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝|α|·r，|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|)；②S＝eq\f(1,2)|α|r2，|α|＝eq\f(2S,r2).【当堂达标基础练】1.按照下列要求，把67°30’化成弧度：(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值.2.将3.14rad换算成角度(用度数表示，精确到0.001).3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：(1)l=αR；(2)S=1其中R是圆的半径，α(0<α<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.6、用弧度表示：（1）终边在x轴的角的集合（2）终边在y轴的角的集合7．利用计算工具比较下列各对值的大小：°和cos0.75；°和tan1.2．8..分别用角度制，弧度制下的弧长公式计算半径为1cm的圆中，60°的圆心角对对弧的长度。9.已知半径为120mm的圆上，有一条弧长为144mm,求该弧所对圆心的弧度数和角度数。【当堂达标提升练】一、单选题1．1920°转化为弧度数为()A.eq\f(16,3) B.eq\f(32,3)C.eq\f(16π,3) D.eq\f(32π,3)2．在0到2π范围内，与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(4π,3)3．下列表示中不正确的是()A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))C．终边在坐标轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·\f(π,2)，k∈Z))))D．终边在直线y＝x上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限5．已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1 B．2C．4 D．1或4二、多选题6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（

）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为8．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．39.（

）A．是正数 B．是负数 C．大于 D．大于三、填空题10．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______________．11．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．12．已知扇形OAB的圆心角为eq\f(5,7)π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．四、解答题13．已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．14．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.15．如图，点是圆上的点.(1)若，，求劣弧的长；(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.16.已知．(1)把表示成的形式，其中，；(2)求，使与的终边相同，且．17.如果一个扇形的周长为，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？18.已知一扇形的圆心角为，周长为C，面积为S，所在圆的半径为r．(1)若，cm，求扇形的弧长；(2)若cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．19.时钟的分针长6cm，从10:30到10:55，求：(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形的面积；(3)分针尖端所走过的弧长．20．半径为12cm的轮子，以400r/min的速度按顺时针方向旋转．(1)轮沿上的点每秒转过的度数是多少？相应的弧度数呢？(2)求轮沿上的点在轮子转动1000°时所经过的路程．【当堂达标素养练】一、单选题1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2C．2sin1 D.eq\f(2,sin1)2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.eq\f(14,3)π B．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π二、填空题3．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________________.4．若角α与角eq\f(8π,5)终边相同，则在[0,2π]内终边与eq\f(α,4)终边相同的角是________．三、解答题5．如图所示，已知一长为eq\r(3)dm，宽为1dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．6.已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是