高中数学选择性必修第二册《数列知识点复习讲义》(精心整理、史上最全)

数列知识点复习讲义（含答案）一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.2．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。4、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．5、求数列中最大最小项的方法：最大最小考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通项公式特点：是数列成等差数列的充要条件。3、等差中项若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列4、等差数列的基本性质（1）。（2）（3）5、等差数列的前项和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差数列．6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列三、等比数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．（2）符号表示：2、通项公式（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．（2）、通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。4、等比数列性质若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．5、等比数列的前项和的公式：（1）公式：．（2）公式特点：（3）等比数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比数列（）．6、等比数列判定方法：=1\*GB3①定义法：为等比数列；=2\*GB3②中项法：为等比数列；=3\*GB3③通项公式法：为等比数列；=4\*GB3④前项和法：为等比数列。四、等差数列与等比数列性质的比较等差数列等比数列定义(为常数,)递推公式通项公式或（）或中项成等差数列的充要条件：成等比数列的充要条件：前项和=1\*GB3①；重要性质①②等和性：若（、、、），则③若（、、），则．④构成等差数列.①②等积性：若（、、、），则③若（、、），则④构成的数列是等比数列.单调性：设d为等差数列的公差，则d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列.递增数列；递减数列；q=1是常数数列；q<0是摆动数列证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1.定义法2.中项法3.通项公式法：（为常数）4.前n项和公式法：（A,B为常数）证明一个数列为等比数列的方法：1.定义法2.中项法3.通项公式法：(A,q为不为0的常数)4.前n项和公式法：()设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：五、基本题型一、数列的概念题型一：数列与函数的关系例1已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（）A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项解：，因为，且，最大第5项．变式1.数列的通项公式为,则数列各项中最小项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项2.已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是3.已知，则在数列的最大项为__；题型二：利用Sn与an的关系求通项公式公式：2．例.已知数列的前项和，求其通项公式.解析：当，当又不适合上式，故变式1.若数列的前n项和为，则（ ）A． B． C． D．2.已知数列的前项和，则＝3．已知数列的，则=____。4.数列的前项和,，则二、等差数列题型一利用定义法求等差数列的通项公式例．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．解：因为，则，又，则，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．故选：D变式1.在数列中，，则的值为（ ）A．49 B．50 C．51 D．522．在数列中，，.若为等差数列，则（）A． B． C． D．3．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．题型二：等差数列的通项公式及其应用例.在等差数列中，则等于（B）A．40Ｂ．42Ｃ．43Ｄ．45解：变式1.等差数列中，，，则通项；2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（）A．667B．668C．669D．6753．在数列中，，，若，则（）A．671 B．672 C．673 D．6744.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_题型三：等差中项及应用例．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（）A．30 B．27 C．24 D．21【详解】设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故选：A变式1．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A． B． C．1 D．22.在等差数列中，，则（）A．8 B．12 C．16 D．203.数列为等差数列，与的等差中项为5，与的等差中项为7，则通项等于题型四：等差数列性质的应用例．在等差数列中，，，则等于（）A． B． C． D．【详解】因为，所以公差，又因为，所以，所以，故选：D.变式1．在等差数列中，，则（）A． B． C． D．2．已知正项等差数列，若，，则(C)A．B．C．D．三、等差数列的前n项和题型一：等差数列前n项和的有关计算例．在等差数列{an}中：（1）已知，求；（2）已知，求n.解：（1）由已知条件得，解得，；（2），，.变式1.在等差数列中，S11＝22，则＝______；2.数列{}是等差数列，，则________3．在等差数列中，若，则=4.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．1765．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A．1B．2C．4D．86.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于()7.等差数列项的和等于（）A． B． C． D．8.数列的通项an=2n＋1，则由(n∈N*)，所确定的数列的前项和是__________ 9.设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝.10.在等差数列中,求的值。11.数列中，……，那么12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则a9＋a10＝_题型二：等差数列片段和的性质例．记等差数列的前项和为，已知，，则（C）A． B． C． D．【详解】因为是等差数列的前项，由等差数列前项和的性质可知：，，成等差数列，所以，即，解得：，故选：C.变式1．设等差数列的前n项和为，若，，则（）A．28 B．32 C．16 D．242.等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。3．设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63 B．45 C．36 D．27题型三：等差数列前n项和与n的比值问题例．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（）A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040解：设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：C变式1．在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．0 B．2018 C． D．20202．已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为A． B． C． D．3．设是等差数列的前项和，若（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．题型四：两个等差数列前n项和的比值问题例．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（）A． B． C． D．【详解】因为，则．故选：C．变式1．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（）A． B． C．2 D．32．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（）A． B． C． D．3.设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和为和，若，那么题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）例．设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（）A． B． C． D．【详解】因为等差数列的前项和，所以由可知，，抛物线开口向下，其对称轴在之间，所以抛物线与轴正半轴交点的横坐标范围是，结合二次函数的图象和性质可知；；；.故选：A变式1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．182．已知等差数列满足，是数列的前n项和，则使取最大值的自然数n是（）A．4 B．5 C．6 D．73．在等差数列{}中，=-10，=2，要使前n项和取得最小值，则n等于（）A、5B、6C、7D、5或64.等差数列中，，，问此数列前项和最大？并求此最大值。5.在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题例．已知数列的前项和为，若，，则（）A． B． C． D．【详解】数列的前项和为，若，，可得：，，，所以不正确；可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，，所以正确；，所以不正确；，所以不正确；故选：B．变式1．已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为A．10 B．20 C．30 D．402．已知数列的前n项和，则的值为()A．68 B．67 C．65 D．563．已知数列的前n项和，求的值四、等比数列题型一：等比数列中的基本运算例．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为（）A．log371B．C．50D．55解：设等比数列{an}的公比为q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，所以数列{bn}的前10项和为.故选：D.变式1．若数列是等比数列，，，则（）A． B． C． D．2．已知等比数列中，，，则（）A． B． C． D．3.在等比数列中，，则数列的通项公式为()A．B．C．D．4.在等比数列中，，，则的值为（）A．B．C．D．5.数列中，若，则通项=题型二：等比中项的应用例．已知数列是等差数列，，其中公差，若是和的等比中项，则（）A．398 B．388C．189 D．199解：数列是等差数列，，其中公差，是和的等比中项，，化为，．所以，则．选：C．变式1.已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（）A．5 B．10 C．15 D．202．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则()A． B． C． D．3.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,则＝A.18B.24C.60D.90题型三：等比数列的证明例．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.（1）证明：{an－1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.解：（1）证明∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理得：an＋1＝an＋，∴an＋1－1＝(an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知an－1＝－15×，∴an＝1－15×.变式1．已知是数列的前项和，且（Ⅰ）求的值，若，试证明数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式.题型四：等比数列的性质及其应用例．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．10 B．5 C．4 D．解：因为，，所以，所以故选：B变式1.在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（）2.各项均为正数的等比数列中，若，则。3.在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为4.若是等比数列，且，则＝5.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）例．已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【详解】因为等比数列的通项公式为，当，时，数列为递减数列，即充分性不成立；当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立；即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.变式1．已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（）A．4 B．5 C．6 D．72．已知公比的等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则五、等比数列n项和题型一：等比数列前n项和公式的基本运算例．已知等比数列的前6项和为，公比为，则（）A． B． C． D．24解：根据题意，等比数列的前6项和为，公比为，则有，解可得，则；故选：B．变式1．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比q等于（）．A．1 B．2 C．3 D．42.设等比数列的公比，前n项和为，则（）A.2 B.4 C. D.3.设等比数列前项和为，若，求数列的公比4.题型二：等比数列的判断和性质的应用例．设等比数列前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝（）A．32B．64C．72D．216【详解】由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故选：B．变式1．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（）A．40 B．60 C．32 D．502．设是等比数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．3.已知数列是等比数列，且4.在等比数列中，，公比q是整数，则=___；5．在等比数列中,若是方程的两根，则=_________.题型三：等比数列奇偶项和的性质例．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（）A．30 B．60 C．90 D．120【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，又，则，解得，故的所有项之和是.故选：D变式1．已知等比数列中，，，，则（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8数列知识点复习讲义－教师版一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.2．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。4、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．5、求数列中最大最小项的方法：最大最小考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通项公式特点：是数列成等差数列的充要条件。3、等差中项若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列4、等差数列的基本性质（1）。（2）（3）5、等差数列的前项和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差数列．6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列三、等比数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．（2）符号表示：2、通项公式（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．（2）、通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。4、等比数列性质若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．5、等比数列的前项和的公式：（1）公式：．（2）公式特点：（3）等比数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比数列（）．6、等比数列判定方法：=1\*GB3①定义法：为等比数列；=2\*GB3②中项法：为等比数列；=3\*GB3③通项公式法：为等比数列；=4\*GB3④前项和法：为等比数列。四、等差数列与等比数列性质的比较等差数列等比数列定义(为常数,)递推公式通项公式或（）或中项成等差数列的充要条件：成等比数列的充要条件：前项和=1\*GB3①；=2\*GB3②重要性质①②等和性：若（、、、），则③若（、、），则．④构成的数列是等差数列.①②等积性：若（、、、），则③若（、、），则④构成的数列是等比数列.单调性：设d为等差数列的公差，则d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列.递增数列；递减数列；q=1是常数数列；q<0是摆动数列证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1.定义法2.中项法3.通项公式法：（为常数）4.前n项和公式法：（A,B为常数）证明一个数列为等比数列的方法：1.定义法2.中项法3.通项公式法：(A,q为不为0的常数)4.前n项和公式法：()设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：五、基本题型一、数列的概念题型一：数列与函数的关系例1已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（）A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项解：，因为，且，最大项为第5项．变式1.数列的通项公式为,则数列各项中最小项是(B)A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项2.已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是3.已知，则在数列的最大项为__（答：）；题型二：利用Sn与an的关系求通项公式公式：2．例.已知数列的前项和，求其通项公式.解析：当，当又不适合上式，故变式1.若数列的前n项和为，则（ A ）A． B． C． D．2.已知数列的前项和，则＝3．已知数列的，则=____100__。4.数列的前项和,，则二、等差数列题型一利用定义法求等差数列的通项公式例．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．解：因为，则，又，则，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．故选：D变式1.在数列中，，则的值为（D ）A．49 B．50 C．51 D．522．在数列中，，.若为等差数列，则（A）A． B． C． D．3．已知数列满足，，则（D）A． B． C． D．题型二：等差数列的通项公式及其应用例.在等差数列中，则等于（B）A．40Ｂ．42Ｃ．43Ｄ．45解：变式1.等差数列中，，，则通项（答：）；2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（D）A．667B．668C．669D．6753．在数列中，，，若，则（D）A．671 B．672 C．673 D．6744.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）题型三：等差中项及应用例．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（）A．30 B．27 C．24 D．21【详解】设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故选：A变式1．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A． B． C．1 D．2【详解】设等差数列的公差为.由已知条件，得即，解得.故选：A2．（在等差数列中，，则（）A．8 B．12 C．16 D．20【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，

则，所以.故选：B.3.数列为等差数列，与的等差中项为5，与的等差中项为7，则通项等于题型四：等差数列性质的应用例．在等差数列中，，，则等于（）A． B． C． D．【详解】因为，所以公差，又因为，所以，所以，故选：D.变式1．在等差数列中，，则（）A． B． C． D．【详解】解：设数列的公差为，则，所以，所以.故选：C.2．已知正项等差数列，若，，则(C)A．B．C．D．【详解】在等差数列中，依题意，，故，解得，，故和是的两根，解得，，，因为为正项等差数列，故公差，从而，，则，即，所以.故选：.三、等差数列的前n项和题型一：等差数列前n项和的有关计算例．在等差数列{an}中：（1）已知，求；（2）已知，求n.解：（1）由已知条件得，解得，；（2），，.变式1.在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）；2.数列{}是等差数列，，则_____49____3．在等差数列中，若，则=464.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(B)A．58B．88C．143D．1765．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（C）A．1B．2C．4D．86.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(D)7.等差数列项的和等于（B）A． B． C． D．8.数列的通项an=2n＋1，则由(n∈N*)，所确定的数列的前项和是__________ 9.设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝.解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝10.在等差数列中,求的值。31.511.数列中，……，那么50512．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则a9＋a10＝__36题型二：等差数列片段和的性质例．记等差数列的前项和为，已知，，则（C）A． B． C． D．【详解】因为是等差数列的前项，由等差数列前项和的性质可知：，，成等差数列，所以，即，解得：，故选：C.变式1．设等差数列的前n项和为，若，，则（B）A．28 B．32 C．16 D．242.等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）3．设等差数列的前项和为，若，，则（B）A．63 B．45 C．36 D．27题型三：等差数列前n项和与n的比值问题例．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（）A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040解：设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：C变式1．在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．0 B．2018 C． D．2020【详解】设的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得.则.故选：D.2．已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为A． B． C． D．【详解】由题意知数列为等差数列，∴．∴，∴数列的前11项和为．选D．3．设是等差数列的前项和，若（A）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：题型四：两个等差数列前n项和的比值问题例．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（）A． B． C． D．【详解】因为，则．故选：C．变式1．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（）A． B． C．2 D．3【详解】因为为等差数列，故，即，同理可得：，所以.故选：B．2．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（）A． B． C． D．【详解】∵，∴，故选：A3.设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么（答：）题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）例．设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（）A． B． C． D．【详解】因为等差数列的前项和，所以由可知，，抛物线开口向下，其对称轴在之间，所以抛物线与轴正半轴交点的横坐标范围是，结合二次函数的图象和性质可知；；；.故选：A变式1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【详解】∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当n＝20时，Sn有最大值．故选：B.2．已知等差数列满足，是数列的前n项和，则使取最大值的自然数n是（）A．4 B．5 C．6 D．7【详解】设等差数列的公差为d，依题意，，解得：，于是得，由得，，因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使取最大值的自然数n是5.故选：B3．在等差数列{}中，=-10，=2，要使前n项和取得最小值，则n等于（D）A、5B、6C、7D、5或64.等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；5.在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题例．已知数列的前项和为，若，，则（）A． B． C． D．【详解】数列的前项和为，若，，可得：，，，所以不正确；可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，，所以正确；，所以不正确；，所以不正确；故选：B．变式1．已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为A．10 B．20 C．30 D．40【详解】设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.2．已知数列的前n项和，则的值为()A．68 B．67 C．65 D．56【详解】当时，；当时，符合上式，所以，所以．故选：A.3．已知数列的前n项和，求的值四、等比数列题型一：等比数列中的基本运算例．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为（）A．log371B．C．50D．55解：设等比数列{an}的公比为q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，所以数列{bn}的前10项和为.故选：D.变式1．若数列是等比数列，，，则（）A． B． C． D．【详解】设数列的公比为，则.所以，.选：C.2．已知等比数列中，，，则（）A． B． C． D．【详解】设数列的公比为，因为，所以，即，解得，所以.故选：B.3.在等比数列中，，则数列的通项公式为(A)A．B．C．D．4.在等比数列中，，，则的值为（C）A．B．C．D．5.数列中，若，则通项=题型二：等比中项的应用例．已知数列是等差数列，，其中公差，若是和的等比中项，则（）A．398 B．388C．189 D．199解：数列是等差数列，，其中公差，是和的等比中项，，化为，．所以，则．选：C．变式1.已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【详解】解：由等比数列的性质可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，又等比数列各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确2．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则()A． B． C． D．由题意可知，得，解得或，因为，故，所以.故选：A.3.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,则＝A.18B.24C.60D.90【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C题型三：等比数列的证明例．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.（1）证明：{an－1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.解：（1）证明∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理得：an＋1＝an＋，∴an＋1－1＝(an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知an－1＝－15×，∴an＝1－15×.变式1．已知是数列的前项和，且（Ⅰ）求的值，若，试证明数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式.【详解】（Ⅰ）因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以，，．题型四：等比数列的性质及其应用例．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．10 B．5 C．4 D．解：因为，，所以，所以故选：B变式1.在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（C）2.各项均为正数的等比数列中，若，则（答：10）。3.在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（答：4