新课程理念下的数学思维训练

新课程理念下的数学思维训练武汉市第一初级中学闵耀明中学数学思维品质概述思维品质是思维发生和发展中所表现出来的个性差异．1.1数学思维的灵活性思维的灵活性指的是不过多地受思维定势的影响，善于从旧的模式或通常的制约条件中解脱出来，及时转向，迅速找到解决问题的途径．例1（2009年上海市中考题）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，M为边BC上的点，连接AM（如图所示）．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是．A图A图2BMCNPA图1BMC解法1：设经翻折后点B落在AC的P处，连接MP，∵点P是AC的中点，∴AP＝PC，过M作MN⊥AC于点N，∵AM平分∠BAC，∴∠MAC＝45°，∴AN＝MN，设AN＝MN＝x，∵AB＝AP，∴AC＝2AP＝2AB＝6，CN＝AC－AN＝6－x，∵△CNM∽△CBA，∴eq\f(CN,CA)＝eq\f(NM,AB)，即eq\f(6－x,6)＝eq\f(x,3)，解得x＝2．解法2：∵点P是AC的中点，∴△AMP的面积等于△ABC的面积的eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)AP×MN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×6＝3，∴MN＝2．解法2比解法1简捷得多，而这种解法需要思维的灵活性支撑．1.2数学思维的批判性数学思维的批判性指的是对已有的数学表述和论证能提出自己的见解，能独立思考，不盲从，不轻信．例2一个概率问题的争议1.3数学思维的严谨性数学思维的严谨性指的是思考问题符合逻辑，严密，准确，数学运算精确无误．例3(2009年济南市中考题)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4eq\r(2)，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．AADCBMN（图3）解：（1）如图①，过A，D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形，∴KH＝AD＝3，在Rt△ABK中，AK＝AB·sin45°＝4eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)＝4，BK＝AB·cos45°＝4eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)＝4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC＝eq\r(52－42)＝3．∴BC＝BK＋KH＋HC＝10．（图（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMN（第23题图⑤（第23题图⑤）ADCBHNMFADCBMN（第23题图③）（第23题图④）ADCBMNHE（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG．∴BG＝AD＝3．∴GC＝10－3＝7．由题意知，当M，N运动到t秒时，CN＝t，CM＝10－2t．∵MN∥DG，∴∠NMC＝∠DGC．又∠C＝∠C，∴△MNC∽△GDC．∴eq\f(CN,CD)＝eq\f(CM,CG)．即eq\f(t,5)＝eq\f(10－2t,7)．解得，t＝eq\f(50,17)．（3）分三种情况讨论：①当NC＝MC时，如图③，即t＝10－2t．∴t＝eq\f(10,3)；②当MN＝NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E.∵∠C＝∠C，∠DHC＝∠NEC＝90°，∴△NEC∽△DHC．∴eq\f(CN,CD)＝eq\f(CE,CH)．即eq\f(t,5)＝eq\f(5－t,3)．解得，t＝eq\f(25,8)；③当MN＝MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点.FC＝eq\f(1,2)NC＝eq\f(1,2)t.∵∠C＝∠C，∠DHC＝∠MFC＝90°，∴△MFC∽△DHC．∴eq\f(FC,HC)＝eq\f(MC,DC)．即eq\f(\f(1,2)t,3)＝eq\f(10－2t,5)．解得，t＝eq\f(60,17)．综上所述，当t＝eq\f(10,3)、t＝eq\f(25,8)或t＝eq\f(60,17)时，△MNC为等腰三角形．1.4数学思维的广阔性数学思维的广阔性指的是对一个问题能从多方面考虑，对一个对象能用多种角度观察，对一个题目能想出各种不同的解法，即通常所说的“一题多解”．一题多解的目的当然是为了寻找一种最简捷的解题方法，而最简捷的解法的获得只能来自尽可能广泛深入的思考和选择．例4(2009年宁德市中考题)如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．yxyxAOBPM图1C1C2C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5）．∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴．解得，a＝EQ\F(5,9)．（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G．∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB＝MB．∴△PBH≌△MBG．∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3．∴顶点M的坐标为（4，5）．抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到．∴抛物线C3的表达式为．yyxAOBPM图(1)C1C2C3HGyxAOBPN图(2)C1C4QEFHGKyxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK∴顶点N、P关于点Q成中心对称．由（2）得点N的纵坐标为5．设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K．∵旋转中心Q在x轴上，∴EF＝AB＝2BH＝6．∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）．根据勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4mPF2＝PH2+HF2＝m2+10mNF2＝52+32＝34①当∠PNF＝90º时，PN2+NF2＝PF2，解得m＝EQ\F(44,3)，∴Q点坐标为（EQ\F(19,3)，0）②当∠PFN＝90º时，PF2+NF2＝PN2，解得m＝EQ\F(10,3)，∴Q点坐标为（EQ\F(2,3)，0）③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º综上所得，当Q点坐标为（EQ\F(19,3)，0）或（EQ\F(2,3)，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．2中学数学思维品质的训练2.1给学生探究的空间，课堂上放手让学生探究，教师扮演引领者的角色．给学生提供有探究价值的材料，使学生在自主探究中优化思维品质．例5教参上一个错题的两种不同处理例6一节公开课上的发现例7一个颇富探究价值的老问题．2.2变式教学是训练学生思维品质的有效教学模式在新课程改革推动的同时，中国的双基教学的研究受到学者们的重视，“数学双基教学的理论框架逐渐清晰起来”[1]．“中国的数学教学，重视‘变式练习’，在变化中求得重复，在重复中获取变化．中国的研究，有概念变式、过程变式、问题变式等多种方式，这些理应成为双基数学教学的有机组成部分”[1]．“变式教学泛指知识形成过程中的问题设计、基本概念辨析型变式、定理、公式的深化变式、变式应用；例题、习题的一题多解、一法多用、一题多变、多题归一；教学方法的灵活多变等”[2]．例8一个存在性问题的变式研究2.3解题教学既要讲通解题方法，又要展现方法的探究过程，如有可能，还应加以升华，将问题想更广阔或更深刻的方向拓展．例9一组题目的讲法示范1.△ABC所在平面上的点P，使得△ABP，△BCP和△ACP的面积相等．这样的点P的个数是（）A．8B．4C．32.已知正整数a，b，c满足a＜b＜c，且ab＋bc＋ca＝abc．求所有符合条件的a，b，c．拓展：用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．设正多边形的边数为x，y，z．则eq\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)的值为．3.直角坐标系内有点P(﹣1，﹣2)，Q(4，2)