【维设计】届高考数学轮复习(基础知识高频考点解题训练)空间几何体的表面积和体积教学案

#/16第二节空间几何体的表面积和体积1E基础知识要打牢强双基固本源得基础分掌握程度知识能否忆起柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱=n侧=_=n 圆锥=n_侧=3=3" =3”4—圆台=n +)侧=3上+下X上下)=zn ++ )3直棱柱=侧一=_正棱锥=-‘侧=3正棱台=—+')/侧=3上+下Z上•下)球=n球面——=n33n［小题能否全取］i教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为时，该三棱锥的全面积是()23 .解析：选 •・•侧面都是直角三角形，故侧棱长等于工a•・・全=近+3X-xf£)=3±理

.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为342则这个四棱锥的外接球的表面积为cn d n8解析：选依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3cX『=6,高为\；：'3-<一11X6)=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3,所以其外接球的表面积等于nX3=36n3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为5的等腰三角形,则该几何体的体积为()A.24 B.80C.64 D.240解析：选 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5,可由锥体的体积公式得=-X8X6X5=834教材习题改编表面积为3n的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为 . 解析：设圆锥的母线为，圆锥底面半径为，则n+n=3n,n=n解得=,即直径为答案：25.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为的半圆,则该几何体的表面积是解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为，底面半径为，所以侧面积为n两部分加起来即为几何体的表面积，为n+V3)答案：n+V3.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面

积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．2．求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．1^1高频考点要通关 抓考点 学技法得拔高分 掌握程度■■■■GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN 几何体的表面积典典题导入例1 (2012•安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是自主解答］由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形中，作±,垂足为在四边形中，作±,垂足为，贝U=4,=则=5所以其表面积为2X1X（2+5）X4+2X4+4X5+4X5+4X4=22［答案］92由由题悟法1．以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．以以题试法1.(2012•河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为手，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为(). .2mc4-73 d4解析：选依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8X&X1XlJ=4几何体的体积典典题导入例2 (1)(2012•广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()俯视图俯视图的棱长为1，b48n的棱长为1，(2)(2012•山东高考)如图，正方体一为线段1上的一点，则三棱锥一1的体积为［自主解答］(1)圆锥的底面半径为3，高为圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为314 1半球+圆锥=2・铲・33+3・n・32・4=30n小 1人 111⑵一0—1=3X△1X=3X2X1=6

答案⑴（2）1>>>一题多变本例（1）中几何体的三视图若变为：俯视图俯视图其体积为圆柱圆解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积圆柱圆=nX32X4—1nX32X4=24n锥3答案：24n2由题悟法1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3.等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.3以题试法2.（1）（2012•长春调研）四棱锥一的底面 为正方形，且垂直于底面 ，为中点，则三棱锥一与四棱锥一 的体积比为（）.1：4 d1：解析：选设正方形 面积为， =h则体积比为

11111．2(2012•浙江模拟如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是(．2．3232解析：选 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为31的直角三角形，其底面积=+2X；X3X1=12,乙所以几何体体积=12X2=2与球有关的几何体的表面积与体积问题与球有关的几何体的表面积与体积问题典典题导入例3 (2012•新课标全国卷已知三棱锥一的所有顶点都在球的球面上，△是边长为1的正三角形,为球的直径，且=2,则此棱锥的体积为(.2.3选

.2自主解答由于三棱锥一与三棱锥一底面都是例3 (2012•新课标全国卷已知三棱锥一的所有顶点都在球的球面上，△是边长为1的正三角形,为球的直径，且=2,则此棱锥的体积为(.2.3选

.2自主解答由于三棱锥一与三棱锥一底面都是4是的中点，因此三棱锥一的高是三棱锥高的2倍所以三棱锥一的体积也是三棱锥一体积的2倍.在三棱锥一中，其棱长都是1，如图所示，,12一=2c1\''3'「«2=2^rX-1!-X^—="i-C3436

=2答案2由题悟法1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为，球的半径为，①正方体的外接球，则2=<a②正方体的内切球，则2=；③球与正方体的各棱相切，则2=%：2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,,外接球的半径为，则2K2+2+2(正四面体的外接球与内切球的半径之比为1：3以题试法.(1)(2012•琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，(2)(2012•潍坊模拟)如图所示，、d(2)(2012•潍坊模拟)如图所示，、d，平面， ，， =1n解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示.其中侧面，底面，取的中点J连接oJ底面 且1=/3 1=1， ]=1=1

在△ 1和△ 1中，==72,又•:=2,AZ=90°.・•・为底面 外接圆的直径，1为圆心,又：o底面，二球心在1上，即4 的外接圆为球大圆，设球半径为则(%；—2+12=2,；.=干.3(2)1n=n2=n2=nXTOC\o"1-5"\h\z的半径为，则正方体的体对角线长即为球 的直径，所以 =2~^2~2+~^2~2+~忑~2=2,所以=q.故球的体积=4-=%「n.答案：(1 (2)-n解题训练要高效 抓速度抓规范拒绝眼高手低掌握程度JIETIXUNLIANYAOGAOXIAO . 一全员必做题1.(2012•北京西城模拟某几何体的三视图如图所示，该几何体 、 八的体积是(+1川十 H+L的体积是(解析：选将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2,高为2的四棱锥，其体积=-正方形X解析：选将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2,高为2的四棱锥，其体积=-正方形X=1x1X2X2X2=—.2.(2012•山西模拟已知矩形 的顶点都在半径为的球的球面上，且=3=2,则棱锥一的体积为(解析：选依题意得，球心在底面 上的射影是矩形 的中心，因此棱锥一 的高等于飞）42一田一 的高等于飞）42一田32+22）=彳1所以棱锥一=11的体积等于1X（3X2）xg1

323.（2012•马鞍山二模）如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为（）1n解析：选由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了1部分得到的几何体，故表面积为, 1 1一・4n^12+3•4•n・12=^^4.（2012•济南模拟）用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为（）A.24 B.23C.22 D.21解析：选 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22..（2012•江西高考）若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为（）

11了.11了.2．4解析：选由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此解析：选只需求出底面积即可.由俯视图和主视图可知，底面面积为1X2+2X；X2X1=4,所以该2几何体的体积为4X1=4如图，正方体 一,bcd的棱长为4,动点，在棱上，且=2,动点在棱dc上，则三棱锥a一的体积(.与点，位置有关.与点位置有关.与点，，位置都有关.与点，，位置均无关，是定值解析：选 因为，_=_,=1x[2x2X4jx4=13,故三棱锥a一的体积与点，，的位置均无关，是定值..(2012•湖州模拟如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是 ． 解析：由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,斜1__=-X1X1X2一―1__=-X1X1X连接顶点和底面中心即为高，可求得高为方，所以体积林生、：’2答案：一.(2012•上海高考若一个圆锥的侧面展开图是面积为2n的半圆面，则该圆锥的体积为 ． 解析：因为半圆的面积为2n，所以半圆的半径为2,圆锥的母线长为2底面圆的周长为2n，所以底面圆的半径为1,所以圆锥的高为/，体积为/口

答案：下9(2013•郑州模拟在三棱锥—中，==,====,则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，2＋、2=62，设该长方体的长、宽、高分别为、、，且其外接球的半径为设该长方体的长、宽、高分别为、、，且其外接球的半径为，则j2＋c2=,2，、2+2=2,得2+2得2+2+2=3即(22=2+2+2=3易知即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为n2=n答案：n10.(2012•江西八校模拟如图，把边长为2的正六边形C答案：n10.(2012•江西八校模拟如图，把边长为2的正六边形C沿对角线折起，使(1)求证：面的体积.(2)求五面体解：设原正六边形中，，DCF，由正六边形的几何性质可知O=A=\13,(1解：设原正六边形中，，DCF，由正六边形的几何性质可知O=A=\13,(1证明：在五面体中,2A＋O2C=2C，，平面U，平面U平面・•・平面，平面(2)由，平面，同理，平面，，平面〃平面・•・平面，平面(2)由，平面，同理，平面，，平面〃平面是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥为大小相同的三棱锥，=2 +=2x|x1x(^132X1+1X(\1'32X2=3 2 211.(2012•大同质检如图，在四棱锥一 中，底面是直角梯形，其中X, 〃， =4 =2,侧面 是边长为2的等边三角形，且与底面 垂直，为的中点.

(1求证：〃平面；(2求三棱锥一的体积.解：(1证明：如图，取的中点，连接，在直角梯形 中， 〃，且=4, =2,所以触所以四边形 为平行四边形.所以〃在4中，=,=,所以〃又因为n=,n=b所以平面〃平面因为u平面，所以〃平面(2取的中点，连接在△中，===2,所以±, =d又因为平面，平面，平面n平面=,所以，平面在直角梯形 中，〃，且=4, =2,±,所以△=2xX=2X4X2=4故三棱锥一 的体积_=_=3<^X=-X4X^f=江12.(2012•湖南师大附中月考一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积；(2证明：(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积；(2证明：]，平面]]解：(1几何体的直观图如图所示，四边形--是矩形，

=<, =]]=1,四边形11是边长为『的正方形，且平面垂直于底面 ，故该几何体是直三棱柱，其体积B1X1X3X故该几何体是直三棱柱，其体积B1X1X3X^'3=3⑵证明：由（1）知平面］］，平面］］且］J1所以［J平面］］所以11±1因为四边形］］为正方形，所以］±而11而11GC］，所以］，平面11B级重点选做题1.（2012•潍坊模拟）已知矩形 的面积为，当矩形 周长最小时，沿对角线把4 折起，则三棱锥一的外接球表面积等于（.482n解析：选设矩形长为，宽为.不确定的实数周长把4 折起，则三棱锥一的外接球表面积等于（.482n解析：选设矩形长为，宽为.不确定的实数周长=2（+）三4r=82,当且仅当长有最小值.此时正方形沿折起，===，三棱锥一的四个顶点都在以==2'/2时心，以2为半径的球上,此球表面积为4nX22=1n2.（2012•江苏高考）如图，在长方体=D3解析：A1A=2c由题意得，则四棱锥1111的体积为_2.（2012•江苏高考）如图，在长方体=D3解析：A1A=2c由题意得，则四棱锥1111的体积为_-211 3112 1cCC=-X-X3X3X2=

323_答案：3.（2013•深圳模拟）如图平行四边形中，=B2,折起，使二面角一一在平面=也，沿将

上的射影为是大小为锐角a的二面角，设3.（2013•深圳模拟）如图平行四边形中，=B2,折起，使二面角一一在平面=也，沿将

上的射影为是大小为锐角a的二面角，设的体积最大？最大值为多少?—⑴当a为何值时，三棱锥⑵当±时，求a的大小.解：（1）由题知，平面，二±又，，n=,・，・，平面.•・± ・••/ =a

\12

6•cosa• •sina=^Lsin2。W也，当且仅当\12

6•cosa• •sina=^Lsin2。W也，当且仅当sin2a=,即a=45°时取等号.・••当a=45°时，三棱锥一 的体积最大，最大值为X.2连接，:，平面，•，，又±，，平面.±.Z +Z =90°.故N =Z a又Z=Z△s△.=O90°，2 "\/2 2=2在△中，cosa=—=5，得a=60乙教怖备选题1两球和2在棱长为的正方体点的正方体的三个面相切，球2与过点之和的最小值为(). 6-/n. 6-3~n- 的内部，且互相外切，若球与过1111 1的正方体的三个面相切，则球和2的表面积一4『n+4/n解析：选设球、球2的半径分别为、则丁++丁2+2='「

从而4从而4n(1+rN4n—3\,3)n..已知某球半径为，则该球内接长方体的表面积的最大值是（）A．8R2 B．6R2C．4R2 D．2R2解析：选 设球内接长方体的长、宽、高分别为、、，则2+2+2=（2