新教材同步辅导2023年高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布分层演练新人教A版选择性必修第三册

7.5正态分布A级基础巩固1.设随机变量X~N(μ,7),若P(X<2)=P(X>4),则()A.μ=3,D(X)=7B.μ=6,D(X)=7C.μ=3,D(X)=7D.μ=6,D(X)=7解析:因为随机变量X~N(μ,7),P(X<2)=P(X>4),所以μ=3,D(X)=7.答案:C2.设随机变量X~N(1,σ2),若P(X>2)=0.2,则P(X≥0)=()A.0.5B.0.6C.0.7 D.0.8解析:因为随机变量X~N(1,σ2),所以正态曲线的对称轴为直线x=1.又因为P(X>2)=0.2,所以P(X<0)=0.2,所以P(X≥0)=1-0.2=0.8.故选D.答案:D3.多选题甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态曲线如图所示,A.甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近解析:由题中图象可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8kg,故选项A,C都正确;因为σ越小,曲线越“瘦高”,表示随机变量的分布越集中,故选项B正确,选项D不正确.故选ABC.答案:ABC4.(2021·新高考全国Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量在一次测量中在区间(9.9,10.1)内的概率越大B.σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小,该物理量在一次测量中落在区间(9.9,10.2)内与落在区间(10,10.3)内的概率相等解析:对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在区间(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性知,该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性知,该物理一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在区间(9.9,10.0)内的概率与落在区间(10.2,10.3)内的概率不相等,所以一次测量结果落在区间(9.9,10.2)内的概率与落在区间(10,10.3)内的概率不相等,故D错误.故选D.答案:D5.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)=()A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.6解析:因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以μ=2,即正态曲线的对称轴是直线x=2.因为P(X<4)=0.8,所以P(X≥4)=P(X≤0)=1-P(X<4)=0.2,所以P(0<X<4)=1-P(X≥4)-P(X≤0)=0.6,所以P(0<X<2)=P(0<X<答案:B6.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=0.14.解析:因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以P(2<X≤2.5)+P(X>2.5)=0.5,所以P(X>2.5)=0.5-0.36=0.14.7.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),且P(X≤1)=0.8413,求P(-1≤X≤0).解:因为X~N(0,1),P(X≤1)=0.8413,所以P(X>1)=1-0.8413=0.1587,所以P(X<-1)=0.1587,所以P(-1≤X≤0)=0.5-0.1587=0.3413.B级能力提升8.已知X~N(1,σ2),若P(-1<X<1)=a,则P(X≥3)=()A.12-aB.1-a C.aD.12解析:由题意,知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),所以正态曲线关于直线x=1对称.因为P(-1<X<1)=a,所以P(1<X<3)=a,所以P(-1<X<3)=2a,P(X≥3)=1-2a答案:A9.多选题某厂生产了一批红外线自动测温门,其测量体温误差服从正态分布,设X表示其体温误差,且X~N(0.2,0.32),则下列结论正确的是()(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%)A.E(X)=0.2,D(X)=0.3B.P(X≥0.2)=0.5C.P(X>0.5)=0.15865D.P(X<-0.4)=0.02275解析:依题意X~N(0.2,0.32),所以μ=0.2,σ2=0.32,即E(X)=0.2,D(X)=0.32,故A选项错误.由于μ=0.2,所以P(X≥0.2)=0.5,故B选项正确.由于μ=0.2,σ=0.3,所以P(X>0.5)=1-0.68272=0.由于μ=0.2,σ=0.3,P(X<-0.4)=1-0.95452=0.故选BCD.答案:BCD10.(2023·佛山二模)某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖的某项指标为X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6.现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则E(Y)=1.解析:由题意,X~N(800,σ2),所以正态曲线关于直线X=800对称,所以P(X<800)=0.5,因为P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.由题意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.C级挑战创新11.多空题为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有64人,则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为0.16;如果成绩在135分以上的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有10人.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95)解析:由题意,知P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=1-P(μ-σP(X>117.5)=P(X>μ+σ)=1≈1-0.682因为成绩在117.5分以上的学生有64人,所以参加此次阶段考试的高三考生总人数约有640.16=400(因为P(X>135)=P(X>μ+2σ)=1≈1-0.95所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有400×0.025=10(人).12.一投资者要在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润(单位:万元)分别为X,Y,且X,Y分别服从正态分布N(8,32)和N(