【优化方案】学高中数点直线平面之间的位置关系末综合检测(含解析)新人教A版必修

#/8【优化方案】2013-2014学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末综合检测（含解析）新人教A版必修2一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.若直线q与平面a不垂直，那么平面a内与直线q垂直的直线有（ ）A.0条 B.1条C.无数条 D.不确定解析：选C.平面a内与q垂直的有无数条直线.2.如图，anB=l,A£a,B£a,ABnl=D,CG0,Cql，则平面ABC与平面B的父线是（ ）A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析：选C.Del,luB，：DeB,又CeB，：CDuB；同理，CDu平面ABC,J平面ABCn平面B=CD.故选C..设m,n是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A,若m_Ln,m_La,nCa，则Un//a.若m_LB，a_LB，贝Um/a或muaC,若m_Ln,m_La,n_LB，则Ua_LBD.若m/a,a_LB，则m-LB解析：选D.对于选项D，当直线m位于平面B内且与平面a、B的交线平行时，直线m||a，显然m与平面B不垂直.因此选项D不正确..已知空间四边形ABCD中，E,F分别是AC,BD的中点，若AB=2,CD=4,EFLAB，则EF与CD所成的角为（）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：选A.取BC的中点G，则EG=1,FG=2,EF±EG，则EF与CD所成的角nEFG二30°,故选A.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是（）A.①和② B.②和③C③和④ D.②和④解析：选D.①错，只有一个平面内有两条相交直线与另一个面平行时，才能得出这两个面互相平行.③错，比如a±a,bua,cua,显然有a±b,a±c,但b与c也可能相交.故②④正确.设平面an平面B=l，点A,B£a，点C£B，且A,B,C均不在直线l上，给出四个命题：l±ACI② ｝今a，平面ABC；l±BCJa±a±B'AB±BC台l，平面ABC；④AB〃l今l〃平面ABC.其中正确的命题是（）B.②与③DB.②与③D.②与④C.①与③解析：选D.：l±AC,l±BC,：.l，平面ABC,又lua，.二a，平面ABC，故②正确；「AB||l,A,B,C不在l上，AB匚平面ABC,.•.l||平面ABC，故④正确.故选D.下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是（）①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直；③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等.A.①② B.②③C只有③ D.只有②解析：选C.①②都不符合线面垂直的条件.对于③，如图.PO为旗杆.PA、PB、PC为细绳，连接AB，取AB的中点M，由于PA=PB,OA=OB,^AB1PM,AB±OM,

\AB，平面PMO,^AB±PO.同理BC±PO.又「ABnBC=B，.二PO,底面.8．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12,底面对角线的长为2■■石，则侧面与底面所成的二面角为（A2■■石，则侧面与底面所成的二面角为（C．60）B．45D．90解析：选C.由棱锥体积公式可得底面边长为2-；3，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan）B．45D．909.若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A也A.3c’Q解析：选D.如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为nB1AB，而A1C1到底面ABCD在R8ABB1中，B在R8ABB1中，B1B=AB•tan60°=--；3.所以AA1=BB1=.,3.10.在四面体ABCD中—B的余弦值为（）.1A-2C.3已知棱AC的长为\；21b，3D.辛其余各棱长都为1,则二面角A—CD解析：选解析：选C.取AC的中点E，取CD的中点FEF=2,BE=々,BF=午，结合图形EF於知二面角A-CD-B的余弦值cos0=BF=3^~.二、填空题（本大题共5小题,请把正确的答案填在题中的横线上）.已知菱形ABCD中,AB=2,ZA=120°,沿对角线BD将^ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到^BCD所在平面的距离为解析：设ACnBD=O，则翻折后AO±BD,CO±BD,;nAOC即为二面角的平面角，则nAOC=120°,且AO=1,所以d=1Xsin60°二多.答案：也：2.如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，ABnCD=O,且AB±CD,SO=OB=2,P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为解析：连接PO,则PO||SA,・•・NOPD即为异面直线SA与PD所成的角，且^OPD为直角三角形，nPOD为直角，・tanNOPD=OD="22二%’2.答案：血.若A、B、C表示三个不同的点，l表示一条直线，a表示一个平面，则在下列四个命题中：①若lua,C£a，则C£l；②若A£l,B£l，且B+a，则lQa；③若lua,C£l,则C£a；④若lQa,C£l，则C+a.正确的命题有（把所有正确命题的序号都填上）.解析：①错误，直线l在平面a内，不能得到在平面a内的一点C一定在直线l上；②正确，若直线l上一点B不在平面a内，则直线l不可能在平面a内，否则，若直线l在平面a内，可得点B也在平面a内，与题意矛盾；③正确，直线l在平面a内，C是直线l上一点，则点C必在平面a内；④错误，直线l不在平面a内，则直线l与平面a可能有一个公共点C或没有公共点.答案：②③.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C,有如下四个结论：①AC±BD；②^ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.有BD±AE,BD±CE.所以BD，平面ACE,所以BD±AC.命题②，设正方形的边长为。,

2所以AE二EC二亍a,•••△AEC为直角三角形，「AC=a,・•.△ACD为等边三角形.命题③，平面ABD，平面BCD，所以AE，平面BCD,所以“BE即为AB与平面BCD所成的角，4BE=45°,故该命题错误，命题④正确.答案：①②④15.在空间四边形ABCD中，平面ABD，平面BCD,且DA，平面ABC,则△ABC的形状是 ．解析：如图，在△ABD内，作AHlBD于H,:・平面ABD，平面BCD，且平面ABDn平面BCD=BD,「AH1平面BCD.又BCu平面BCD「.BC±AH.又「DA，平面ABC,BC匚平面ABC,「DA±BC,又AHnDA=A,「.BC，平面ABD，.二BC±AB,故^ABC是以nB为90°角的直角三角形.答案：直角三角形三、解答题（本大题共5小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C,中，F,F分别是AC,A1C1的中点.求证：⑴平面AB1F1〃平面C1BF；(2)平面AB1FJ平面ACC1A1.证明：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，VF,F1分别是AC,A1C1的中点，二.B1F1||BF,AF1||C1F.又「B1F1nAF1=F1,C1FnBF=F,・•・平面AB1F1||平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1c1中，AA/平面A1B1C1,二.B1F1±AA1,又B1F1±A1C1,A1C1nAA1=A1,・•.B1F/平面ACC^A1,而B1F1u平面AB1F1,J平面AB1Fj平面ACC1A1..在所有棱长都相等的斜三棱柱ABC—DEF中，已知BF±AE,BFnCE=。，且AB=AE，连接AO.(1)求证：AO，平面BCFE.(2)求证：四边形BCFE为正方形.证明：(1)因为BCFE是菱形，所以BF±EC,又BF^AE，所以BF1平面AEC,所以BF±AO.因为AE二AB=AC,OE=OC，所以AO±EC,又BFnEC二O,所以AO，平面BCFE.(2)因为AO，平面BCFE，所以AO±OE,AO±OB,又因为AE二AB，所以OE二OB,所以EC二BF,所以BCFE为正方形..底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD，点E在PD上，且PE:ED=2：1.问：在棱PC上是否存在一点F,使BF〃平面AEC?证明你的结论．解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，过点B作OE的平行线交PD于点G,过点G作GF^CE交PC于点F，连接BF.二BGyOE,BG。平面AEC,OE匚平面AEC,J.BG||平面AEC.同理GF||平面AEC,又BGnGF二G,.•・平面BFG||平面AEC,BF匚平面BFG.J.BF||平面AEC.下面求点F在PC上的具体位置：二BG^OE,O是BD的中点，J.E是GD的中点.又「PE:ED=2:1,JG是PE的中点.而GFyCE.JF为PC的中点.综上可知，存在点F，当点F是PC的中点时，BF||平面AEC..如图1所示的等边△ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC，平面BDC,如图2所示.

⑴试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求四面体A—DBC的外接球体积与四棱锥D—ABFE的体积之比.解：(1)AB||平面DEF，理由如下：VE、F分别为AC、BC的中点，^AB||EF,•.・AB。平面DEF,EFu平面DEF,\AB||平面DEF.则四面体A-DBC的外接球即为长方体的外(2)以DA则四面体A-DBC的外接球即为长方体的外设球的半径为R，则a2+a2+3a2=(2R)25二.R2=4a2,于是球的体积匕=4nR3=5^5na3.i 1 3又kBDC=3§△BDC-AD=6a3，，_20%'T5nVD－ABFEVA－BDC－VE－DFC.已知一四棱锥P—ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点.⑴求四棱锥P—ABCD的体积；，(2)若点E为PC的中点，ACnBD=0,求证EO〃平面PAD；⑶是否不论点E在何位置，都有BD±AE?证明你的结论.，该四棱锥P-该四棱锥P-ABCD的底