2020-2021学年上海市静安区七年级(上)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年上海市静安区七年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共6题，每题2分，共12分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（）A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x3．下列说法中错误的是（）A．无理数是无限小数 B．实数可分为有理数和无理数 C．只有0的平方根是它本身 D．1的任何次方根都是14．下列说法正确的是（）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 B．（a4）2÷a4＝a2 C．若将分式中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍 D．若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n＝5．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆6．如图，从图形甲到图形乙的运动过程可以是（）A．先翻折，再向右平移4格 B．先逆时针旋转90°，再向右平移4格 C．先逆时针旋转90°，再向右平移1格 D．先顺时针旋转90°，再向右平移4格二、填空题（共12题，每题3分，共36分）7．﹣2的倒数是．8．把20492用四舍五入法保留3个有效数字的近似值是．9．在实数3，，0.，，﹣，0，，π，3.14，，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有个．10．若分式的值大于零，则x的取值范围是．11．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是．12．在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（填序号）．13．等边三角形至少旋转度才能与自身重合．14．已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝．15．不等式x﹣3＜x的解集是．16．若关于x的方程无解，则a的值为．17．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．将正方形ABCD在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝a时，数轴上点A′表示的数是．（用含a的代数式表示）18．观察下面的式子：，S2＝，S3＝，…，．计算：S＝＝．（用含n的代数式表示）三、计算题（共4题，每题4分，共16分）19．．20．．21．÷（÷）+（a﹣b）÷（1﹣）22．．四、解答题（共5题，共36分）23．（1）已知|2012﹣x|+＝x．求x﹣20132的值．24．列分式方程解应用题某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？25．如图，已知△ABC是直角三角形，其中∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5．（1）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的△AB1C1；（2）线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长是（保留π）；（3）求线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）．26．阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：＝．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为．（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝．27．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|+（3a+b）2＝0（1）a＝，b＝；（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，到点B后停止运动，当PQ＝1时，求t的值．

参考答案一、选择题（共6题，每题2分，共12分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．解：A、，是最简二次根式；B、＝3，不是最简二次根式；C、＝|a|，不是最简二次根式；D、＝，不是最简二次根式；故选：A．2．如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（）A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x【分析】直接利用负指数幂的性质结合x的取值范围得出答案．解：∵x＞1，∴x﹣1＜x＜x2．故选：A．3．下列说法中错误的是（）A．无理数是无限小数 B．实数可分为有理数和无理数 C．只有0的平方根是它本身 D．1的任何次方根都是1【分析】根据无理数概念，实数的分类，平方根的概念进行判断便可．解：A．无理数是无限不循环的小数，它是无限小数，选项正确；B．因有理数与无理数统称为实数，则实数可分为有理数和无理数，选项正确；C．因0的平方根为0，是它本身，一个正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，选项正确；D．如1的平方根为±1，选项错误；故选：D．4．下列说法正确的是（）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 B．（a4）2÷a4＝a2 C．若将分式中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍 D．若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n＝【分析】根据分式的概念、幂的乘方和同底数幂的除法以及分式的性质判断即可．解：A、若A、B表示两个不同的整式，且B≠0，则一定是分式，错误；B、（a4）2÷a4＝a4，错误；C、若将分式中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍，正确；D、若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n＝，错误；故选：C．5．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．6．如图，从图形甲到图形乙的运动过程可以是（）A．先翻折，再向右平移4格 B．先逆时针旋转90°，再向右平移4格 C．先逆时针旋转90°，再向右平移1格 D．先顺时针旋转90°，再向右平移4格【分析】利用网格特点，根据对折的性质、旋转的性质和平移的性质进行判断．解：把图形甲沿直线l翻折，然后再向右平移4个单位可得到图形乙，如图．故选：A．二、填空题（共12题，每题3分，共36分）7．﹣2的倒数是﹣2﹣．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．解：﹣2的倒数是﹣2﹣，故答案为：﹣2﹣．8．把20492用四舍五入法保留3个有效数字的近似值是2.05×104．【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，它的有效数字的个数只与a有关，而与n的大小无关．解：把20492用四舍五入法保留3个有效数字，取近似值为2.05×104．故答案为：2.05×104．9．在实数3，，0.，，﹣，0，，π，3.14，，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有5个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．解：，﹣，π，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）是无理数，故答案为：5个．10．若分式的值大于零，则x的取值范围是x＞﹣2且x≠1．【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．解：∵分式的值大于零，∴x+2＞0，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x＞﹣2且x≠1．11．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是且x≠1．【分析】直接利用负指数幂的性质结合实数的运算得出答案．解：原式＝（﹣1）﹣1＝（）﹣1＝且x≠1．故答案为：且x≠1．12．在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是②⑤⑥（填序号）．【分析】直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分别分析得出答案．解：在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是：②正方形、⑤圆、⑥正八边形．故答案为：②⑤⑥．13．等边三角形至少旋转120度才能与自身重合．【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，所以，旋转角为360°÷3＝120°，故至少旋转120度才能与自身重合．14．已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝11．【分析】由题意可知a﹣﹣3＝0，然后根据完全平方公式即可求出答案．解：∵a2﹣3a﹣1＝0且a≠0，∴a﹣﹣3＝0，∴a﹣＝3，∴（a﹣）2＝9，∴a2﹣2+＝9，∴a2+＝11，故答案为：11．15．不等式x﹣3＜x的解集是x＞﹣3﹣3．【分析】利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得x的解集．解：由x﹣3＜x，得x﹣x＜3，（﹣）x＜3，x＞，即x＞﹣3﹣3．故答案是：x＞﹣3﹣3．16．若关于x的方程无解，则a的值为﹣1或﹣2或﹣．【分析】先根据等式的基本性质把分式方程化成整式方程，整理后分类：①x的系数为0；②x的系数不等于0，此时整式方程的解是原分式方程的增根，再进行讨论．解：去分母得，x﹣2+a（x﹣1）＝2a+2，整理得，（a+1）x＝3a+4，①a+1＝0，且3a+4≠0，解得a＝﹣1；②a+1≠0，此时x＝，原分式方程无解，则﹣1＝0或﹣2＝0，解得a＝﹣或a＝﹣2．∴a的值为﹣1或﹣2或﹣．17．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．将正方形ABCD在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝a时，数轴上点A′表示的数是﹣a或a﹣2．（用含a的代数式表示）【分析】根据正方形的面积可得边长进而可以表示点A′表示的数．解：∵正方形ABCD的面积为a2（a＞1）．∴边长为a，当S＝a时，分两种情况：若正方形ABCD向左平移，如图1，A′B′＝AB＝BC＝a，A′B＝1，∴AA′＝AB﹣A′B＝a﹣1，∴OA′＝OA+AA′＝1+a﹣1＝a，∴数轴上点A′表示的数为﹣a；如正方形ABCD向右平移，如图2，AB′＝1，AA′＝a﹣1，∴OA′＝（a﹣1）﹣1＝a﹣2∴数轴上点A′表示的数为a﹣2．综上所述，数轴上点A′表示的数为﹣a或a﹣2．18．观察下面的式子：，S2＝，S3＝，…，．计算：S＝＝．（用含n的代数式表示）【分析】分别S1＝，S2＝，S3＝，…Sn＝，则可求＝，＝，＝，…，＝，再由S＝1++1++1++…+1+＝n+1﹣+﹣+﹣+﹣，进行求解即可．解：∵＝，S2＝＝，S3＝＝，…，＝，∴＝，＝，＝，…，＝，∴S＝+++…+＝1++1++1++…+1+＝n++++…+＝n++++＝n+1﹣+﹣+﹣+﹣＝n+1﹣＝，故答案为：．三、计算题（共4题，每题4分，共16分）19．．【分析】利用有理数的乘方，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义进行计算即可得到答案．解：原式＝﹣4÷1+8﹣1＝﹣4+8﹣1＝3．20．．【分析】根据分数指数幂的意义，先求出算式中的分数指数幂，再算乘除，最后算加减即可．解：原式＝﹣+（23）×+（）﹣（）＝﹣+2×+﹣＝﹣+4﹣＝﹣．21．÷（÷）+（a﹣b）÷（1﹣）【分析】直接利用分式的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝÷（•）+（a﹣b）•＝•﹣b＝2﹣b．22．．【分析】先把系数相乘再把被开方数相乘，被开方数中的多项式要分解因式，约分后在化成最简的形式．解：原式＝﹣9×＝﹣6＝﹣3|a|．四、解答题（共5题，共36分）23．（1）已知|2012﹣x|+＝x．求x﹣20132的值．【分析】由二次根式有意义的条件可知x≥2013，然后化简得＝2012，由算术平方根的定义可知：x﹣2013＝20122，最后结合平方差公式可求得答案．解：∵x﹣2013≥0，∴x≥2013．∴x﹣2012+|+＝x．∴＝2012．∴x﹣2013＝20122．∴x＝20122+2013．∴x﹣20132＝20122﹣20132+2013＝﹣（2012+2013）+2013＝﹣2012．24．列分式方程解应用题某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？【分析】设此商品的进价是x元，根据第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元，可列出方程．解：设此商品的进价是x元．由题意得，解这个方程得x＝50．经检验，x＝50是所列方程的解，当x＝50时，．所以此商品的进价是50元，第二个月销售100件．25．如图，已知△ABC是直角三角形，其中∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5．（1）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的△AB1C1；（2）线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长是24+9π（保留π）；（3）求线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）依据旋转的性质，即可画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的△AB1C1；（2）根据旋转的性质得B1C1＝BC＝12，∠BAB1＝∠CAC1＝90°，△ABC≌△AB1C1，再利用弧长公式计算出弧CC1的长度，弧BB1的长度，所以线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长＝CB+弧BB1的长+B1C1+弧CC1的长＝24+9π；（3）由于△ABC≌△AB1C1，则S△BAC＝S△B1AC1，然后利用扇形面积公式和线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积＝S扇形BAB1﹣S扇形C1AC进行计算即可．解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求．（2）∵△ABC绕A顺时针方向旋转90°后得到△AB1C1，∴B1C1＝BC＝12，∠BAB1＝∠CAC1＝90°，△ABC≌△AB1C1，∴弧CC1的长度＝＝π，弧BB1的长度＝＝π，∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长＝CB+弧BB1的长+B1C1+弧CC1的长＝12+π+12+π＝24+9π，故答案为：24+9π；（3）∵△ABC≌△AB1C1，∴S△BAC＝S△B1AC1，∵S扫过的面积+S△BAC+S扇形C1AC＝S扇形BAB1+S△B1AC1，∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积＝S扇形BAB1﹣S扇形C1AC＝﹣＝36π．26．阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：＝．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为x+7+．（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝2或4或﹣10或16．【分析】（1）将分子x2+6x﹣3化为x（x﹣1）+7（x﹣1）+4，依据题意可得；（2）将分子2x2+5x﹣20化为2x（x﹣3）+11（x﹣3）+13，依题意可得．解：（1）＝＝++＝x+7+；故答案为：x+7+；（2）＝＝2x+11﹣，∵分式的值为整数，∴﹣为整数，∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13，解得：x＝2或4或﹣10或16，故答案为：2或4或﹣10或16．27．如图，O为原