2023年数学建模A题范文

2023高教社杯全国高校生数学建模竞赛

承诺书

我们细致阅读了《全国高校生数学建模竞赛章程》和《全国高校生数学建模竞赛参

赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国高校生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛起先后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网

上询问等）与队外的任何人（包括指导老师）探讨、探讨与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，假如引用别人的成果或

其他公开的资料（包括网上查到的资料），必需依据规定的参考文献的表述方式在正文

引用处和参考文献中明确列出。

我们慎重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公允性。如有

违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到肃穆处理。

我们授权全国高校生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展

示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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2023高教社杯全国高校生数学建模竞赛

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阅

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评

分

备

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葡萄酒的评价

摘要

本文是关于葡萄酒评价方面的问题，详细分析阐述了对评酒员评价结果的分析检验

和酿酒葡萄的分级，应用matlab,excel,spss等软件，结合F检验、聚类分析、典型

相关分析等各种统计学方法，探讨了葡萄、葡萄酒的理化指标及葡萄酒质量之间的联系。

针对问题一，本文利用excel软件对各组评酒员的评分进行了整理和分析。在此基

础上，对各个样品计算两组评价员评分的样本方差片和方差D,运用F检验公式：

尸=立检验是否有显著性差异，结果为：两组评酒员对红葡萄酒样品5、17、24的

s-

评价结鼠有显著性差异，其它样品无显著性差异；对白葡萄酒样品2、、5、6、8、14、

18、27的评价结果有显著性差异，对其它样品无显著性差异；且其次组评酒员的结果更

加可信。

针对问题二，考虑到葡萄酒的质量受酿酒葡萄的干脆影响，我们首先依据葡萄酒的

得分通过聚类分析得到初步排名，之后集合主成分分析法和相关性分析得出影响葡萄酒

质量的主要理化指标加权求和得到新的排名，结合两个方面结果是，红酒中好酒有3、9、

23差酒有10、25；白葡萄酒中好酒有5、28差酒有16、13、8。

针对问题三，我们先运用SPSS软件对各个理化指标进行典型相关性分析，筛选出

有较大相关性的成分，然后运用matlab软件进行一元线性回来，得到一元回来模型：

1=41.85xX$+52.71%=0.2835XX13+2.328

X=0.5227XX9+76.35X=0.3333xX12+1.362

乂=14.01x/+24.07K/=-0.1989xX4.+62.05

｝；=-2.184xX+71.42

｝；=0.0218XX4+3.96812

即葡萄的理化指标X与葡萄酒的理花指标Y之间的线性关系。

针对问题四，可以与三题相像的方法，即典型相关性分析，找出理化指标中与葡

萄酒的质量有较大相关性的物质，然后用这些物质与葡萄酒的质量进行多元线性回来,

得到如下回来函数：

网帕38.86+0.0叱・&5骗出5%3+59%・“64+4-。犯+喝+9踞

并且通过验证，我们认为可以用葡萄的蛋白质、DPPH自归基、葡萄总黄酮、PH值、果

皮颜色a、果皮颜色b和葡萄酒的总黄酮、白藜芦醇、DPPH半抑制体来评价葡萄酒的质

量。

关键词：F检验；K-均值分类；主成分分析；典型相关性分析；一元线性回来；多元线

性回来；

-问题重述

这次论文要解决的问题是葡萄酒的评价问题，葡萄酒的评价是个很抽象和模糊的概

念，没有固定的指标可以测量，每个人对同一种葡萄酒的评价都会不一样，而且，这对

一个人的味觉要求特殊高，必须要经过肯定的训练才能驾驭这样技巧，于是，评酒员这

一职业就诞生了，实际生活中，确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员

进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分,

从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有干脆的关系，葡萄酒和

酿酒葡萄检测的理化指标会在肯定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一

年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡

萄的成分数据。有了以上数据以后，须要我们完成以问题：

1.分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2.依据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3.分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4.分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和

葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

二基本假设

1、全部的葡萄均正常，没有腐烂变质的现象。

2、全部葡萄酒在由相同工艺酿制而成。

3、全部葡萄酒都储存在相同材料的容器中。

4、全部的理化指标均测量无误。

三符号说明

X「X33葡萄中各理化指标

小丫9葡萄酒中各理化指标

F尸检验

D方差

2

S样本方差

四问题分析

葡萄酒的评价是一个困难的过程，须要综合考虑不同评价员的评分，而且葡萄酒和

葡萄的组成成分特别困难，它们也要影响葡萄酒的质量，对如此繁多的数据，我们就必

需依靠计算机工具，运用数学统计学学问对它们进行处理，并找出各个含量之间的关系,

联系生活实际，对葡萄酒作出有理有据的评价。

对于问题一：要想得到两组评价员的评价结果有无显著差异，并对它们的牢靠性作

出推断，我们首先就应当将两组评价员的对27组红葡萄酒和28组白葡萄酒的评价结果

整理出来，再运用统计学中的F检验进行假设与检验，再通过计算各组评价员的评价结

果的方差和区分度，进而推断谁的结果更加可信。

对于问题二：须要对葡萄进行分级，由于葡萄酒的质量与酿酒葡萄的好坏有干脆关

系，所以我们可以依据葡萄酒的质量对酿酒葡萄做一个简洁的分级，之后，我们用主成

分分析法算出每一组样本葡萄的哪些指标该葡萄的主成分，然后通过数据分析推断出这

些成分哪些对葡萄酒的质量作出了贡献，筛选出主要成分后，对不同葡萄的成分做加权

求和，以此作为葡萄分级的另一个依据。

对于问题三：要想得到葡萄与葡萄酒的指标间的联系，即得到它们之间的函数关系

表达式，我们必需对各种指标进行插值和拟合处理。但是，由于它们各自的指标太多，

也不知道相互之间谁与谁有关系，有什么样的关系，所以不能草率地进行拟合。为此，

首先必须要对数据进行筛选和比较，为此可以采纳spss软件进行典型相关性分析，找

出酿酒葡萄内部和葡萄酒内部各指标之间的相关性，和酿酒葡萄的指标与葡萄酒的指标

间的相关性，从而选出具有代表性的指标进行拟合，得到一元线性回来方程。

对于问题四：题中想要求出理化指标对质量的影响，即各理化指标与质量的线性或

非线性关系，但是，由于理化指标太多，并且并非没个理化指标都会对葡萄酒的质量造

成影响，所以首先必需进行数据的筛选，这里我们运用spss软件进行典型相关性分析,

找出哪些指标与质量有较大的关系，然后将这些指标设为自变量，将质量设为因变量，

对它们进行多元线性拟合，最终得到一个多元表达式以后，我们就可以通过这个方程来

对葡萄酒的质量进行验证，假如验证的结果与评价员打分的结果基本吻合的话，就说明

可以用葡萄与葡萄酒的理化指标来对葡萄酒的质量进行评价。

五模型的建立与求解

5.1模型的打算

为了便利下面模型的建立与求解，我们须要对附件中的数据进行预处理，计算出下

面须要用到的数据，例如，各个数据的平均值，方差，样本方差等，并制成表格，对于

葡萄的分级，我们可以上网参考一下国家标准或者国外葡萄酒工业发达国家的标准进行

分级。

5.2问题1模型的建立与求解

依据题一的要求，要求得两组评价员的评价结果有无显著性差异，就必需求出两组

评价员的评价结果。

端于红葡萄酒样品一，我们先求出第一组评价员的所打分数的平均值，如下表所示:

表一：对红葡萄酒样品一的评价表

酒员

12345678910

组嬴\

第一组51664954776172617462

其次组68718052537671737067

对于评价结果我们采纳F检验法，采纳公式:

-

yyxi-xy^xi-x

父二^----------

其中n-1,n-1

我们假设"°：第一组数与其次组数无明显差异，计算F的值，得到F=l.134618,取

显著性水平a=005,查F分布表得/^/2(n,-1,«2-1)=F0025(9,9)=4.03和。

,由于0.2481<1.134618<4.03,所以接受原假

耳"2(巧一1，%-D=%.975(9,9)=0.2481

设，即认为两组数据无明显差异。

同样的，对于红葡萄酒和白葡萄酒的全部样品运用上述方法检验，得到它们的F值,

然后比较它们是否在0.2481与4.03之间，推断它们是否有无显著性差异得到下表：

表二：红葡萄酒的评价

样品123456789

F1.132.451.492.624.542.831.651.481.28

差异无无无无有无无无无

样品101112131415161718

F1.191.863.172.941.562.071.119.61.06

差异无无无无无无无有无

样品192021222324252627

F1.161.503.272.091.316.981.481.332.43

差异无无无无无有无无无

表三：白葡萄酒的评价

样品12345678910

F3.564.102.561.064.817.161.085.901.153.02

差异无有无无有有无有无无

样品111213141516171181920

F2.021.213.657.192.442.163.755.181.781.29

差异无无无有无无无有无无

样品2122232425262728

F2.682.593.762.883.141.414.063.17

差异无无无无无无有无

通过视察上表，我们可以得到如下结论：对于红葡萄酒，两组评酒员对第样品5、

17、24的评价结果有显著性差异，对其它样品无显著性差异；对于白葡萄酒，两组评酒

员对样品2、、5、6、8、14、18、27的评价结果有显著性差异，对其它样品无显著性差

异。

接下来我们就应当对两组评价员的评价结果进行推断，找出谁的评价结果更加可

信，我们就用谁的结果，因此，

第一步：计算两组评价员对红、白葡萄酒评价的方差D

依据公式一力—，得到如下方差表：

表四：对红葡萄酒评价的方差

样品123456789

一组83.6135.8141.2497.2455.8153.7693.2539.6129.65

二组73.6914.627.6437.1612.2919.0156.4158.623.16

样品101112131415161718

一组27.3663.6971.6940.4432.477.0116.2979.2142.49

二组32.5634.2422.6113.7620.8437.2118.098.2545.24

样品192021222324252627

一组42.6423.44104.4945.5629.2467.458.1628.1644.8

二组49.6435.1631.9621.8422.299.6539.3637.418.45

表五：对白葡萄酒评价的方差

样品12345678910

一组83181329401141463516583191

二组234412838242038289663

样品11121314151617181920

一组1591041541031181601301414258

二组791264214497435272345

样品2122232425262728

一组15512539100306613072

二组5848103596933223

那么，为了更加直观地看出这两组评价员谁的评价结果的方差大小，我们用excel

作出他们对白、红葡萄酒的方差折线图如下：

图一：两组评酒员对白葡萄酒评价的方差

样品序号

图二：两组评酒员对红葡萄酒评价的方差

从上面两幅折线图中，我们可以看出，无论是对于白葡萄酒还是对于红葡萄酒，其

次组评价员评价结果的方差普遍小于第一组，那么我们可以认为，第一组评价员在评价

同一种样品时，各个组员间的评价结果差异不大，评价结果更加稳定，即我们认为其次

组的评价结果更加可信。

5.3问题2模型的建立、求解与分析

问题二要求依据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行分级，葡萄酒

由酿酒葡萄酿制而成，则酿酒葡萄的质量与葡萄酒的质量有着干脆的关系，则可以依据

葡萄酒的质量对酿酒葡萄做一个简洁的分级，在依据主成分分析从葡萄的理化指标中筛

选出对葡萄质量产生影响的主要因素，依据所得各主要因素的贡献率给个因素加权作为

系数，求出葡萄中主成分的含量，并进行排名，之后将此排名与之前依据葡萄酒质量所

得出的排名综合，进而得出较精确的对酿酒葡萄的分级。

首先，依据第一问得出的结果，我们采纳其次组评酒员的结果作为推断葡萄酒质量

的依据，依据各葡萄酒的，我们得出了红葡萄酒和白葡萄酒的排名，虽然是，葡萄酒

质量的排名，但由于葡萄酒的质量由酿酒葡萄的质量确定，所以上表可以看作是葡萄质

量的排名，以上表中葡萄酒的分数作为酿酒葡萄质量的分数，可以对酿酒葡萄作出初步

的分级，针对葡萄酒的成果，我们用聚类分析的方法，得出了葡萄的初步分级，运行的

得到的图样如下：

SitiouetteVaJue

0.2040.60.8

SilhouetteValue

图三：红葡萄酒的聚类分析图样

图四：白葡萄酒的聚类分析图样

以以上K-均值聚类分子为依据我们得到的对葡萄的分级如下表所示:

表六：以葡萄酒质量为准的红葡萄分级

等级葡萄种类

优2、3、9、17、23、20

良4、5、14、19、21、22、24、26、27

中1、10、12、13、16、25

差6、7、8、11、15、18

表七：以葡萄酒质量为准的白葡萄分级

等级葡萄种类

优

5、9、17

良1、10、15、21、22、25、28

中2、3、4、6、7、13、14、18、19、20、23、24、26、27

差18、11、12、16

虽然酿酒葡萄所对应葡萄酒的质量能在肯定程度上反映酿酒葡萄的质量，但葡萄的

质量还应以葡萄本身的成分来区分其级别，为了得到更精确的分级，我们又对附件中所

给酿酒葡萄中的理化指标做了一些分析。

首先我们将指标中的二级指标去掉，的到27组一级指标，对这些指标，做出主成

分分析，以累积贡献率达到85%为准得到9个主要成分，得到的贡献率结果如下：

表八：主成分分析结果

特征根贡献率

6.609840.2448

4.643170.1720

2.903890.1076

2.834440.1050

1.96660.0728

1.513380.0561

1.216130.0450

0.9803880.0363

0.7964270.0295

在以上过程得到的九个指标中，我们做出了酿酒葡萄中各成分含量与其名次的散点

图，找出与名次相关性较大的几种物质，主要有花色背、总酚、DPPH自由基、单宁。而

其他物质如总糖则与葡萄酒名次相关性不大，得到的图像如下：

单宁(mmol/kg)

图五：单宁含量随相应葡萄酒名次的改变关系

总酚(mmol/kg))

---线性(总际mmol/kg)))

图六：总酚含量随相应葡萄酒名次的改变关系

DPPH自由基1/IC50(g/L)

♦DPPH自面基1/K50

g/l)

1M50(1/L)}

图七：DPPH自由基含量随相应葡萄酒名次的改变关系

花色甘mg/100g鲜＜

图八：花色背含量随相应葡萄酒名次的改变关系

葡萄总黄酮(mmol/kg)

30

图九：葡萄总黄酮含量随相应葡萄酒名次的改变关系

♦晶糠

图八：总糖含量随相应葡萄酒名次的改变关系

由以上各图知，单宁、总酚、DPPH自由基的含量越高，红酒的名次越靠前。而总糖

含量与名次并没有明显关系。花色甘、葡萄总黄酮等物质的含量与名次有与单宁相像关

系，由于图太多，这里不予展示。

依据以上结果和总成分分析中得到的各物质的贡献率，我们各主要成分加上权重作

为系数，对酿酒葡萄的主要成分做加权求和，得到，酿酒葡萄主成分的总含量，并作出

排序。

得到结果后，将此结果与之前用葡萄酒的到的排名求和得到一组数，以这组数为准

再次对酿酒葡萄进行分级，以红酒为例结果如下：

表九：红葡萄以两种方式所得排名的比较综合

红葡萄分数主成分分数名主成分名次总

168.1669.962211334

274677.09561117

374.62182.26415

471.2627.832151732

572.1571.149101828

666.3942.92922325

765.3690.14926935

866640.616231538

978.2714.168178

1068.8447.731172441

1161.6675.298271239

1268.3719.63719524

1368.8462.168182240

1472.6452.38672330

1565.7635.282241640

1669.9504.318162137

1774.5525.34751924

1865.4686.004251035

1972.6716.6358614

2075.8658.68831417

2172.21667.849211

2271.6734.19912416

2377.1708.2522810

2471.5512.601132033

2568.2447.724202545

2672319.792112738

2771.5386.713142640

综和上表内容，我们对红葡萄酒作出如下分级:

表十：红葡萄分级

分数等级葡萄种类

«10优3、9、23

10-25良21、19、22、2、20、12、17、6

25〜40中5、14、4、24、1、7、18、16、8、26、11、13、15

240差10、25

用相同的方法，我们可以得到白葡萄的分级如下:

表十一：白葡萄分级

分数等级葡萄种类

So优5、28

10〜25良10、25、15、9、27、24、3、4、21、20、22、17

25〜40中23、26、14、2、1、6、18、7、12、19、11

■40差16、13、8

5.4问题3模型的建立与求解

依据问题三的要求，要想得到葡萄与葡萄酒的指标间的联系，即得到它们之间的函

数关系表达式，我们必需对各种指标进行插值和拟合处理。但是，由于它们各自的指标

太多，也不知道相互之间谁与谁有关系，有什么样的关系，所以不能草率地进行拟合。

为此，首先必须要对数据进行筛选和比较，从而选出具有代表性的指标进行拟合。我们

采纳spss软件进行典型相关性分析，找出酿酒葡萄内部和葡萄酒内部各指标之间的相

关性，和酿酒葡萄的指标与葡萄酒的指标间的相关性。步骤如下：

我们用xl到x34表示酿酒葡萄的34个指标，用yl到y9表示葡萄酒的9个指

标，用spss软件酿酒葡萄内部各指标间的相关性系数,如下列出了系数大于0.8的各个

物质及其相关系数：

表十二：酿酒红葡萄内部各指标的相关性系数表

XIIX13X30X31X32X33X34

XI0.85710.8362

0

XII10.8951

X290.96210.93330.9069

X3O0.92360.8943

0.89710.8132

X31

X320.83820.8784

从上面两个表中可以看出：X10、XlkX13之间的相关性系数很大且都为正，这就

表示他们之间高度正相关，他们具有相像的改变规律，所以我们只选择其中的X13进行

下一步的分析，同理地，在X29、X30、X31、X32、X33、X34之中，我们选择X31进行

下一步的分析，其余的不予考虑。

同理我们得到红葡萄酒内部各物质相关性系数大于0.8的表如下：

表十三：红葡萄酒内部各物质相关系数

Y3Y4Y6Y8

Y20.9210.915

Y30.9040.953

Y40.926

我们从中选择Y3进入下一步的分析，将Y4、Y6、Y8剔除。

然后我们将选择出来的X、Y进行典型相关性分析，由spss软件求得x与y的相关

性系数，下面列出系数较大的物质，如下表：

表十四：酿酒红葡萄与红葡萄酒的指标间相关性系数表

X4X6X9X12X13

Y10.92260.6926-0.7670.6609

Y30.77350.74320.8154

Y7-0.8342-0.6766

我们的目的是得到Y与各个X之间的关系，由阅历知，葡萄内部各成分的含量与葡

萄酒内成分含量是成线性相关的，所以，我们分别对各个X与Y进行一元线性回来，为

此，我们用matlab的工具箱得到Y1与X4的函数：

工=2.368xX4+14.33

其拟合图如下:

图九：葡萄酒中花色昔随葡萄中花色昔改变的拟合图像

为了检验该拟合曲线的拟合精度，我们作出残差图如下:

ResidualCaseOderPla

300

200

■100

■200

■300

10152025

CaseNumber

图十：葡萄与葡萄酒中花色昔拟合度的参差分析图

从残差图可以看出，除其次个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置

信区间均包含零点，这说明回来模型Y=2.368xX4+14.33能较好的符合原始数据，而其

次个数据可视为异样点而剔除。

运用同样的方法，我们对其它的X和Y进行一元线性回来分析，得到如下几组函数：

｝；=41.85XX+52.71=0.2835xX+2.328⑤

6①13

1=0.5227XX9+76.35匕=0.3333xXp+1.362

②⑥

)；=14.01xX+24.07=-0.1989xX+62.05

l2③%4⑦

X=0.0218XX4+3.968④=-2.184XX+71.42

12⑧

其中，符号耳、X、X、E、X、刈、匕、％、n分别代表了葡萄酒中花色背、单

宁、总酚、总黄酮、白藜芦醇、DPPH半抑制体积

X4、X$、X9、Xi。、X]]、X]2、X]3、X29、X30、X3］、X32、X33、X34

(IV50)、

L*(D65)、a*(D65)、b*(D65)等主要成分的含量，

分别代表了葡萄中花色昔、苹果酸、褐变度、DPPH自由基、总酚、单宁、葡萄总黄酮、

白藜芦醇、果皮颜色等的含量。

由上述各式可以看出葡萄中的花色甘、苹果酸、褐变度、DPPH自由基、总酚、单宁

与葡萄酒中的花色音的含量，葡萄中DPPH自由基、总酚、单宁、葡萄总黄酮的含量影

响葡萄酒中总酚的含量,而葡萄的果皮颜色会影响葡萄酒中L*(D65)、a*(D65)、b*(D65)

的含量。

以上函数特别明晰地表示出了各个Y与X之间的线性关系，其中Y6Y8Y4与Y3的相

关性系数很大，认为他们的改变关系相像，所以Y6Y8Y4与Y3有相同的函数表达式，即,

这里就不予列出。

对于酿酒白葡萄和白葡萄酒指标间的关系，阅历正，它与红葡萄的关系相同，可以

通用以上的函数表达式。

5.5问题4模型的建立

对于该题，想要求出理化指标对质量的影响，即各理化指标与质量的线性或非线性

关系，但是，由于理化指标太多，并且并非没个理化指标都会对葡萄酒的质量造成影响,

所以首先必需进行数据的筛选，这里我们运用spss软件进行典型相关性分析，找出哪

些指标与质量有较大的关系，我们将相关性系数大于0.5的列出，如下表：

表十四：成分与质量的相关性系数表

yX2X1OX13X19X29X31Y4Y5Y6

quality0.5170.6050.6940.526-0.519-0.5260.5180.5110.548

我们知道相关性系数大于0.5时，就表示这两个数成中度相关，因为有9个成分与

质量成中度及以上相关，由阅历，我们采纳多元线性回来的方法对数据进行拟合，得到

如下回来方程：

我加的=38.86+0.0173一8.59为()+051占3+59。119-11612)+131-。5*+。.24+9.8%

为了说明拟合结果的牢靠性，我们做出该公式的残差分析图:

-P图

标准P

差的

准化残

回归标

期

课

的

累

枳

概

率

-P图

标准P

差的

化残

标准

回来

一：

图十

的

之间

比例

累积

布的

定分

与指

比例