重难点05 一类与斜率和、差、商、积问题的探究 （四大题型）（解析版）

重难点05一类与斜率和、差、商、积问题的探究【题型归纳目录】题型一：斜率和问题题型二：斜率差问题题型三：斜率积问题题型四：斜率商问题【方法技巧与总结】1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．【典型例题】题型一：斜率和问题例1．（2023·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知双曲线，点在E上．(1)求E的方程；(2)过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和．【解析】（1）将点代入双曲线方程可得，，解得，所以，E的方程为.（2）由已知易得直线的斜率一定存在，设斜率为，则的方程为.联立直线与双曲线的方程，整理可得，则，解得且.设，由韦达定理可得，则.例2．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线上有两点，且直线过点．(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程．【解析】（1）由题意知直线的斜率不可能为0，设，直线的方程为，由得，，即，即，即，将代入，得，则，则，则，由，解得，故所求抛物线的标准方程为．（2）由抛物线方程可得点坐标为，设，则，则，且，则，故．又，则，又，可得直线的中点坐标为，故由点斜式得直线的方程为5），即．例3．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.【解析】（1）由题意知，又，则，，解得(负值舍去)，由在椭圆上及得，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）知，右焦点为，据题意设直线的方程为，则，于是由得，化简得（*）由消去整理得，，由根与系数的关系得：，代入（*）式得：，解得，直线的方程为，方法一：，由求根公式与弦长公式得：，设点到直线的距离为，则，.方法二：由题意可知，代入消去得，，.变式1．（2023·陕西渭南·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，直线恒过椭圆的右焦点.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有直线的斜率和直线的斜率满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设椭圆的焦距为，则椭圆的右焦点为.因为直线恒过定点，所以，又因为，，所以，，所以椭圆的方程为；（2）将椭圆与直线联立方程组，消去，可得，设，由韦达定理得，，设点满足题意，则，所以，所以，所以，因为当变化时，总有直线的斜率和直线的斜率满足，所以当时，上式恒成立，所以在轴上存在定点满足题设条件.变式2．（2023·陕西延安·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，准线与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线C上，当与y轴垂直时，.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线与抛物线C交于另一点B，证明：直线的斜率与直线的斜率互为相反数.【解析】（1）抛物线的焦点为，当AF与y轴垂直时，易得，即，∴抛物线C的方程为.（2）证明：由（1）知，，，设点，，设直线，代入抛物线C的方程得，，则，，∴.变式3．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．(1)求抛物线E的方程；(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．【解析】（1）由题意，，直线l的方程为，代入，得．于是，∴焦点弦，解得p＝2．故抛物线E的方程为．（2）因在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为，代入，得．由，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得．易知直线MN的斜率存在，设其方程为，设，．将代入，得．于是，，且，．∴．故为定值2．变式4．（2023·四川泸州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．【解析】（1）设圆心，半径为，因为圆心为C的动圆过点，所以，因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，所以，即，所以曲线E是抛物线.（2）设直线：，联立，消去并整理得，，即，设，，则，，因为，，所以，所以，将，代入得，即，所以直线：，即，所以直线BD经过定点.变式5．（2023·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知椭圆：的右焦点在直线上，分别为的左、右顶点，且.(1)求的标准方程；(2)已知，是否存在过点的直线交于，两点，使得直线，的斜率之和等于1?若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设右焦点直线与轴的交点为，所以椭圆右焦点的坐标为故在椭圆中，由题意，结合，则所以椭圆的方程为：（2）当直线的斜率为0时，显然不满足条件当直线的倾斜角不为时，设直线的方程为：，由，可得由题意则由化简可得，由，即故存在满足条件的直线，直线的方程为：变式6．（2023·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）(1)求抛物线C的方程；(2)过点作两条斜率分别为，的直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）抛物线C：的焦点，直线的方程为，由消去y并整理得：，设，则，，因此，而，解得，所以抛物线C的方程为.（2）存在，使得为定值.依题意，直线，直线，由消去y并整理得，设，则，，，设，同理，且有，由，得，即，而，则，所以存在，使得为定值0.变式7．（2023·山东青岛·高二校联考期中）设椭圆：的离心率为，且短轴长为.(1)求椭圆C的方程；(2)若在y轴上的截距为2的直线与椭圆C分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于12，求直线AB的方程【解析】（1）由题可得，由有，，解得，.故所求椭圆方程为：.（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，联立，或，∴，，∴，，故直线AB的方程为.题型二：斜率差问题例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆C：的离心率，．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．【解析】（1）由椭圆的离心率，则，又，解得：，，则椭圆的标准方程为：；（2）证明：因为，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为联立整理得．则，故，则．所以又直线AD的方程为．联立，解得由三点，共线，得，所以．的斜率为．则．为定值．例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.【解析】(1)

设N(0，b)M(a，0)，P(x，y).

因为所以，即因为所以所以x＝a，y＝2b，所以y2＝4x(2)设Q(x，y)，x∈[3，1]由题意知:切线斜率存在，设为k切线方程为:yy0＝k(xx0)，联立，化简得:ky24y+4y04kx0=0△＝1616k(ykx0)=0∴将代入得，∴.∴的取值范围是例6．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，线段的中点为，若，求的值.【解析】（1）设，.又、都在抛物线上，即所以，.由两式相减得，直线的斜率为，.两边同除以，且由已知得，所以，即.所以抛物线的方程为.（2）设，，.因为所以，所以，设直线的斜率为，则直线，由消得.由，得，即.所以直线，同理得直线.联立以上两个方程解得又，所以，所以.变式8．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知点是抛物线：的焦点,点在抛物线上,且.（1）若直线与抛物线交于两点,求的值;（2）若点在抛物线上,且抛物线在点处的切线交于点,记直线的斜率分别为,且满足,求证：的面积为定值.【解析】（Ⅰ）设,由题意,得,故,即代入中,得,所以,所以抛物线方程为,联立方程,得消去,得,,记,根据根与系数的关系,得,故.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,抛物线方程为,,设,,,因为直线MP,MQ的斜率分别为,则,又因为,所以,直线,直线,易得因为直线,如图,过S作y轴平行线交PQ于点E,将的值代入直线PQ的方程,可得,所以.所以的面积为定值32.变式9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．(1)求椭圆的标准方程；(2)记，的面积分别为，，若，求的值；(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为．依题意可得，，解得，．故．所以椭圆的标准方程为．（2）设点，，，．若，则，即有，①设直线的方程为，与椭圆方程，可得，则，，②将①代入②可得，解得，则；（3）由（2）得，，所以直线的方程为，令，得，即．所以．所以，，，.变式10．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆的两焦点分别为，A是椭圆上一点，当时，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点S，过S作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围.【解析】（1）由题意得，由椭圆定义可得，又，由余弦定理可得：，所以，又，解得，所以，故椭圆的方程为.（2）直线，设，联立与得，所以，恒成立，所以，故，设直线为，，联立，所以，由可得，所以，则，所以得，所以，则，由于函数在上为减函数，所以函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，所以，所以.题型三：斜率积问题例7．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．(1)求抛物线的标准方程；(2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求．【解析】（1）设，则有，①②得③均在直线上，，又中点为，则有，代入③有抛物线的标准方程为.（2）由题意知，设，同理有，④联立直线与抛物线，易得，则有，代入④式有.例8．（2023·辽宁·高二校联考期中）已知是抛物线上位于第一象限的一点，且到的焦点的距离为5.(1)求抛物线的方程；(2)设为坐标原点，为的焦点，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为.（i）证明：直线过定点；（ii）求的最小值.【解析】（1）由题可知，解得.所以C的标准方程为.（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.设，则，同理可得，，则，即.当直线斜率存在时，直线的方程为，整理得.所以，即，所以直线过定点；当直线的斜率不存在时，可得.综上，直线过定点.（ii）设，当直线斜率存在时，设直线的方程为，与抛物线联立得，消去得，由题意，所以.所以，所以当时，的最小值为；当直线斜率不存在时，.由抛物线定义知.故的最小值为.例9．（2023·黑龙江·高二统考期中）已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积．【解析】（1）因为△OFP的面积为，则有，解得，又因为在椭圆C上，则，解得，所以椭圆C的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆方程联立得，，又因为，所以，，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立方程，消去y得：，则，由韦达定理得，，所以，，综上所述，直线AM与直线AN的斜率之积为．变式11．（2023·辽宁·高二本溪高中校联考期中）已知直线的方向向量与直线的方向向量共线且过点；(1)求的方程；(2)若与抛物线交于点为坐标原点，设直线，直线的斜率分别是；求及的值.【解析】（1）由题意知，直线的斜率为直线l的斜率为，依题意，直线的方程为，即；（2）设，由，得，，设点到直线l的距离为，由知，所以，故.变式12．（2023·山东日照·高二统考期中）已知动点M到点，的距离之差的绝对值为，斜率为的直线l与点M的轨迹C交于A，B两点．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若（O为坐标原点），点，记直线NA，的斜率分别为，，求的值．【解析】（1）由题意可知，点M的轨迹C是以，为焦点的双曲线，且，，所以，，所以，所以动点M的轨迹C的方程为．（2）设，，则，则，，设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根与系数的关系得，，所以，，则，故．变式13．（2023·甘肃武威·高二校考期中）已知椭圆的离心率为，焦点是和，(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线（不过原点）与椭圆交于两点，线段的中点为，求直线与直线的斜率乘积的值.【解析】（1）焦点是和，故，椭圆的离心率，故，所以，椭圆的标准方程.（2）设，则，做差得：，即，，即,故.变式14．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线经过点．(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；(2)过点的直线交抛物线于A、两点，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，求的值．【解析】（1）由题意，，所以抛物线标准方程为，准线方程为．（2）由已知所作直线的斜率不为0，因此设直线方程为，设，由得，显然，，，则，所以．变式15．（2023·北京·高二校联考期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点定点作斜率为的直线与椭圆交于，，直线，的斜率分别记为，.求的值【解析】（1）得，所以椭圆的方程为：.（2）设直线：，则，消得：，，所以，设，，所以，，因为，所以，，题型四：斜率商问题例10．（2023·云南·高二校联考期中）已知双曲线：经过点，，为左右顶点，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.【解析】（1）依题意，，由双曲线过点，得，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线方程为，由消去x并整理得：，显然，设，于是，则，因此，所以为定值.例11．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）已知抛物线（）的焦点为F，的顶点都在抛物线上，满足．(1)求的值；(2)设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为，，，若实数满足：上，求的值．【解析】（1）设，，因为，所以，，即，由抛物线定义知，，，，所以.（2）由（1）知，．∵，同理，∴，，解得.例12．（2023·河南·高三校联考开学考试）已知双曲线实轴左右两个顶点分别为，双曲线的焦距为，渐近线方程为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，且，求的方程．【解析】（1）双曲线的焦距，；双曲线的渐近线方程为，即，，又，，，双曲线的标准方程为：.（2）由（1）得：，，设，，由题意知：直线的斜率一定存在，则可设，由得：，，解得：且，，，；，，即，，解得：或，又且，，直线的方程为：，即.变式16．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知随圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.(1)求的方程.(2)设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.【解析】（1）依题意，得，即，解得，所以的方程；（2）依题意，可设直线的方程为，联立方程，化简整理，得，易得恒成立，设，由韦达定理，得，可得，于是，故存在实数，使得恒成立.变式17．（2023·江西南昌·高二南昌十中校考期中）已知双曲线C经过点，且渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为，将点代入双曲线方程中可得，故双曲线方程为（2）由题意可知：直线有斜率，设其方程为，联立直线与双曲线方程，设,则，由于,则，所以将代入可得，由于点在直线上，所以，此时，只需要，即可，因此,故直线AM与直线AN的斜率之和为定值.变式18．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①为定值；②为定值；③为定值【解析】（1）设是上的一点，与是的两条渐近线，到两条渐近线的距离之积，依题意，，故，双曲线的标准方程为；（2）正确结论：③为定值.证明如下：由（1）知，，设，，因为，不与，重合，所以可设直线：，与联立：，消去整理可得：故，，，所以，，，①，，不是定值，②，，不是定值，③，所以是定值.变式19．（2023·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点到点的距离与直线的距离之比为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设曲线与轴交于、两点，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点（异于，），若直线与的交点为，记直线与的斜率分别为，，求.【解析】（1）设，依题意，，整理得，所以动点的轨迹是椭圆，其方程为.（2）由（1）知，不