2023-2024学年河南省开封市五县联考高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat15页2023-2024学年河南省开封市五县联考高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式得集合A和B，然后利用交集运算的定义求解即可.【详解】因为，，所以.故选：B.2．已知a，b为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】分别判断命题“若则”和“若则”的真假，得到正确结果.【详解】命题“若则”为假命题，∵取，则，但不成立.所以“”不是“”的充分条件；命题“若则”为假命题，因为取，则，但不成立.所以“”不是“”的必要条件.综上：“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D3．若，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】代入特殊值以及不等式的性质即可求解.【详解】当，，时，满足，不满足，故A错误；当，，时，满足，不满足，故B错误；因为，所以，因为，所以，所以，故C正确；当，，时，满足，不满足，故D错误.故选：C.4．已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合奇函数的性质，利用函数图象平移即可求得函数图象恒过的定点.【详解】因为是上的奇函数，所以，即函数的图象恒过点.又函数的图象是由函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以函数的图象恒过点.故选：A.5．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，且生物体内碳14原有初始质量为Q所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为即故选:D.6．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解.【详解】由①，令，②，由得，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D7．若a，b，且，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先变形等式，再利用基本不等式，即可求解.【详解】，，当，即时等号成立.故选：D8．已知函数的最大值为1，则实数的值为（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据给定的函数，分段讨论并结合二次函数、均值不等式求出最大值即可作答.【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，依题意，，即，当时，，若，则当时，，解得，符合题意，若，则当时，，解得，矛盾，所以实数的值为.故选：A二、多选题9．若关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（

）A． B．当时，C．当时， D．当时，【答案】AC【分析】利用二次方程的性质判断AB，利用数形结合，结合零点的知识判断CD，从而得解.【详解】将方程化为，由题意可知，关于的方程有两个不等的实根，则，解得，故A正确；当时，方程为，所以，，故B错误；当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图象，可得，所以C正确，D错误.故选：AC.10．在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法错误的是（

）A．与有两个交点 B．与有三个交点C．，当时，恒在的上方 D．，当时，恒在的上方【答案】AC【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得两函数交点个数，即可判断选项；由指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，即可判断选项.【详解】，，，，，则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示：显然两函数有三个交点，故A错误，B正确，由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确，故选：AC.11．狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为（其中为有理数集，为无理数集），则关于狄利克雷函数说法正确的是（

）A． B．它是偶函数C．它是周期函数，但不存在最小正周期 D．它的值域为【答案】BC【分析】根据狄利克雷函数的解析式，结合函数的性质逐一分析判断即可.【详解】因为，则，故A错误；由的解析式可知的定义域为，若，则，则；若，则，则；综上，，所以为偶函数，故B正确；设任意，则，当时，则，当时，或，则，即任意非零有理数均是的周期，任何无理数都不是的周期，故C正确；函数的值域为，故D错误.故选：BC.12．奇函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数，则（

）A．B．在区间上是增函数，在区间上是减函数C．是奇函数，且在区间上是增函数D．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不确定【答案】ABD【分析】对于A，若，根据偶函数的图像性质推出矛盾即可；对于B，根据奇函数和偶函数图像的性质结合已知条件即可判断；对于C，举出反例即可；对于D，根据奇偶函数的定义和单调性的性质即可判断.【详解】对于A，若，因为为偶函数，则函数在和上的单调性相反，与函数在区间上是增函数矛盾，所以，故A正确；对于B，因为函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数，根据奇函数和偶函数图像的性质，则在区间上是增函数，在区间上是减函数，故B正确；对于C，令，则在上为减函数，故C错误；对于D，设，其定义域为，由题意得，则，所以不具有奇偶性.因为在上是增函数，而在区间上都是增函数，则在区间上是减函数，所以在区间上的单调性不确定，故D正确；故选:ABD.三、填空题13．已知全集，如果命题，那么是.【答案】或【分析】由命题否定的定义可得答案.【详解】即且，所以或.14．已知，，定义，则．【答案】【分析】根据自定义运算及指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：．故答案为：15．当时，关于的分式不等式的解区间为．【答案】【分析】由题设可得，根据已知条件判断的大小关系，即可求解区间.【详解】由，当时，有，∴解区间为．故答案为：.16．定义：如果任取一个正常数，使得定义在上的函数对于任意实数，存在非零常数，使，则称函数是“函数”．在①，②，③这三个函数中，为“函数”的是（只填写序号）．【答案】②【分析】根据函数的定义逐一分析即可.【详解】对于①，令，则，不是常数，不是“函数”；对于②，令，则为常数，是“函数”；对于③，令，则，不是常数，不是“函数”；故答案为：②.四、解答题17．已知命题，.(1)若为真命题，求实数的取值范围；(2)命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由题意可得，即可解得实数的取值范围；（2）求出当命题为真命题时的取值范围，然后考虑当、均为假命题时实数的取值范围，结合补集思想可求得、至少有一个是真命题，实数的取值范围.【详解】（1）解：由题意，若为真，则，解得.（2）解：若为真，，方程两根为和，

则由题意得，所以，

当、均为假命题时，有，可得.因此，如果、中至少有一个为真时，或.18．已知函数.(1)当时，是否存在实数，使得是奇函数；(2)对于任意给定的非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围.【答案】(1)存在，(2)答案见详解【分析】（1）根据奇函数的定义和性质分析求解；（2）根据题意可知：，分和两种情况，运算求解.【详解】（1）当时，则，可知的定义域为，若是奇函数，则，解得，且当时，，即，是奇函数，综上所述：当时，是奇函数.（2）令，可得，因为，则，且，当时，则；当时，则；综上所述：当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为.五、作图题19．已知定义在上的奇函数，当时，．

(1)求函数在上的解析式；(2)在坐标系中作出函数的图象；(3)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)见解析(3)或或【分析】（1）根据函数是奇函数，求函数的解析式；（2）根据函数的解析式，作出函数的图象；（3）根据函数的图象，结合函数的单调性，转化为子集问题，即可求解.【详解】（1）当时，，因为函数是奇函数，所以，且，所以函数在上的解析式为;（2）根据函数的解析式，作出函数的图象，

（3）函数在区间上是单调函数，根据图象可知，，或，或，解得：或或.六、应用题20．某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产服装的数量无关）：元；②生产所需材料成本：（单位：元），为每月生产服装的件数.(1)用该设备生产服装，每月产量为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少？(2)若每月生产件服装，每件售价为：（单位：元），假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？【答案】(1)该用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元(2)该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为，再利用基本不等式即可求出结果；（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式即可求出结果.【详解】（1）解：设平均每套所需的成本费用为元，则有.当且仅当，即时，等号成立，此时.所以该用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元；（2）解：设月利润为（元），则有：，整理得：，解得（舍）或，所以该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元.七、证明题21．已知函数奇函数．(1)求a的值；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设，求在上的最小值．【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据是定义域为的奇函数，由求解；（2）利用函数的单调性定义证明；（3）由，令，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：是定义域为的奇函数，；经检验符合题意；（2）在上单调递增．证明如下：，则，因为，所以，所以，，可得．即当时，有所以在上单调递增．（3），令，又，则，所以，，对称轴为，则当时，；当，；当时，．22．设函数的定义域是，对于任意实数，恒有，且当时，．(1)求证：，且当时，有；(2)判断在上的单调性；(3)试举出一个满足