2021届重庆一中高考数学押题试卷(一)(含答案解析)

2021届重庆一中高考数学押题试卷（一）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.己知集合4={x|-1<x<1],B={x\x>0},则4n(CR8)=()

A.｛x|-1<%<0｝B.｛x|-1<%<0]

C.｛x|-1<%<1｝D.（x\x<1｝

2.不全相等的五个数〃、b、c、m、〃具有关系如下：〃、b、c成等比数列，a、m、人和〃、小c

都成等差数列，则理存£=（）

蹴！糜

A.-2B.OC.2D.不能确定

3.在正四面体（每一个面都是正三角形的四面体）ABCD中，E,尸分别在AB,AC上，满足BE=3,

EF=4,且E尸与平面BCD平行，则ADEF的面积为（）

A.2733B.2V34C.2^35D.12

4.i是虚数单位，复数z=詈是纯虚数，则实数。团（）

A.-1B.1C.4D.—4

5.下列关于命题的说法正确的是（）

A.命题“若炉=1,则％=1”的否命题为“若/=1,则%*1”

B.“x=-l”是“一―5久一6=0”的必要不充分条件

C.命题“mx6R,使得/+%+1<0”的否定是“VxCR,均有/+万一1>0”

D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题

6.已知函数〃x）=cosx,数列｛an｝中，即=/次="[誓]，数列也｝中，“=合济"篇），

n€N*,则下列说法正确的是（）

A.｛an｝是递增数列且即>1,｛%｝是递减数列且匕>1

B.｛斯｝是递增数列且即<1,｛%｝是递增数列且bn>1

C.｛即｝是递增数列且an<1,｛%｝是递减数列且%<1

D.｛an｝是递减数列且即>1,｛%｝是递增数列且垢<1

7.己知点P（2,l）是抛物线C：/=7ny上一点，A,B是抛物线C上异于P的两点，A,B在x轴上

的射影分别为4,B],若直线PA与直线PB的斜率之差为1,。是圆（X-1）2+（y+4）2=1上

一动点，则△A/i。的面积的最大值为（）

A.6B.8C.10D.16

8.已知函数/（%）=/一9一1,若f（x）2kx在xe[0,+8）时总成立，则实数A的取值范围是（）

A.（-co,1]B.（-0°,e]C.（-oo,2e]D.（-°o,e2]

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列四个命题的否定为真命题的是（）

A.p：所有四边形的内角和都是360。

B.q-3xG/?,x24-2x+2<0

C.r：mx6{x|x是无理数},/是无理数

D.s：对所有实数“，都有|a|>0

10.设函数/'（x）=cos2x+sin2x,则下列选项正确的有（）

A./（X）的最小正周期是兀

B./（x）满足/©+彳）=//一为

C.在[a,b]上单调递减，那么b-a的最大值是三

D.y=/（x）的图象可以由y=或cos2x的图象向右平移9个单位得到

11.己知点4（一，0）,抛物线C：必=2x的焦点为F,点P在抛物线C上，直线4P交y轴于点M,

且丽=2而，则下列表述正确的是（）

A.点尸的纵坐标为1B.A/IPF为锐角三角形

C.点A与点F关于坐标原点对称D.点P的横坐标为]

12.已知x>0,y>0,且/+y2=4,则下列不等式中一定成立的是（）（）

A.3x+y<2-710B.x+y>2y/2

xy

C.log2x+log2y41D.22<4e

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.。一》（2%+》5的展开式中，常数项为.

14.函数/'（x）=sin（x+B）sinx的最小正周期为

15.将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为

空的概率是.

16.已知圆锥的底面半径为1,高为2vL则该圆锥的侧面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且我a—cs讥B=V^bcosC.

(1)求角2的大小；

(2)若a=3,c=2,。为BC边上一点，CD=±DB,求sin4BOA的值.

18.17.(15分)已知中心在原点，焦点在日轴的椭圆网，长轴长为可，过焦点垂直于日轴的直线被

该

椭圆截得的弦长为目.

(1)求椭圆日的方程；

(2)—

S

19.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节

能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一

年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动

车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列｛即｝,每年发放的电动型汽车牌照数

为构成数列｛%｝，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

%=10a2=9.5=-------=____•••

匕3二--------------

瓦=2Z?2=____t>4=---------—

（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量.

20.“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商

务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券.为此，公司从“双十一”的网购消费者中

用随机抽样的方法抽取了100人,将其购物金额（单位：万元）按照[0.1,0.2）,[02,0.3）,...[091]

分组，得到如图频率分布直方图：

根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：

购物金额（单位：万元）

[0.3,0.6)[0,6,0,8)[0.8,1]

分组

发放金额（单位：元）50100200

（I）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；

（n）从购物者中随机抽取io人，这io人中获得电子优惠券的人数为x,求x的数学期望.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=lnx-2.

X

（I）若a》0,试判断/（X）在定义域内的单调性；

（n）若/（了）在[1,e]匕的最小值为三，求实数I的值:

（皿）若/卜）＜/在（1,丑0）上恒成立，求实数〃的取值范围.

22.在四棱锥p_4BCD中，R4_L平面ABCD，A1SC是正三角形，.4c与3D的交点.”恰好是

中点，又E4=.18=4,42X4=120°,点N在线段网上，且PN=也.

(/)求证：MV//平面PDC：

(n)求二面角.4-PC-5的余弦值

【答案与解析】

1.答案：A

解析：解：由集合B={x|x>0},全集为R,

得到CR8={x\x<0},

又集合4={x|-1<x<1},

则an(CRB)={x|-1<%<o}.

故选：A

由集合8和全集R,求出集合3的补集，然后求出集合A和集合5补集的交集即可.

此题考查学生会进行补集及交集的运算，是一道基础题.学生在求补集时注意全集的范围.

2.答案：C

解析：试题分析：由已知得，球=蟠，徐第一颂出愚，麓;凝，故愀="四，%=—,所以

翦需

-fr-=

如1外生=级③瓯带磁丁1_染酎*磷^呼_公

翻忸额‘彩杆黜：«开:据舟地二带；瞰一-”

考点：等差中项和等比中项.

3.答案：A

解析：解：依题意，ABCQ为正四面体，所以每个面都是正三角形，

vEF与平面BCD平行，EFu平面ABC,

平面力BC。平面BCD=BC,

所以EF〃BC,

所以三角形AEF为等边三角形，

所以4E=AF=EF=4,AB=AE+BE=3+4=7.

又因为三角形ACE三三角形AOF,

所以由余弦定理DE=DF=V42+72-2x4X7xcos600=V37>

取EF中点G,连接。G,则DG=7DE2一EG?==国.

所以三角形DE尸的面积S=ixFFxDG=ix4xV33=2733.

故选：A.

由EF与平面BCD平行，可得EF〃BC,所以4E=AF=EF=4,AB=AE+BE=7.又三角形AOE三

三角形AOF,然后求£>E、DF,面积即可求解.

本题借助正四面体考查了空间直线的位置关系、三角形的全等、余弦定理等知识，考查空间想象能

力和计算能力.属于中档题.

4.答案：A

解析：解：由2=鬻=需篝=等+1々是纯虚数,

Z+l+I)55

R=o

得心力0,即。=-1.

故选：A.

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

5.答案：D

解析：解：命题“若好=1,则X=1”的否命题为“若/*1,则X*1"，所以A不正确；

%=-1”推出“小一5刀一6=0"，反之不成立，所以“x=-l”是“尤2一5%一6=0”的充分

不必要条件，所以B不成立；

命题使得/+x+l<0”的否定是“VxeR,均有久2+X-INO"，所以C不成立；

命题“若x=y,则sinx=siny”因为原命题是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以。正确；

故选：D.

利用四种命题的逆否关系判断A；判断。；充要条件判断8；命题的否定判断C.

本题考查命题的真假的判断与应用，考查充要条件，四种命题的的逆否关系，是基础题.

6.答案：D

解析：解：根据题意，得

7T/-»,1.23,,71—1、-,*

(z・

Cln=—vCOSO+COS—7T+COS—71+COS—7T+,+COS------71),72EN;

2n2n2n2n2n7

•••%=^cosO=^>1,a2=£(cosO+cosTT)=X<^x2=^=ax,

.・・{〃}是递减的数列，且0n>1;

in,n.23.4.九、-a*

b=—(cos——FCOS—IT+tcos—7T+COS—Tt11-------FCOS—兀)，71GN;

n2n'2n2n2n2n2nJ

・•・瓦=(吗=0,%=W(cosRCOS9=?X曰=等,

・・・瓦V〈V1,.•・｛bn｝是递增数列;

故选：D.

根据题意，得通项公式与、bn,求出由、a2的值，验证｛an｝是递减的数列，且曲>1，求出瓦、电的

值，验证｛%｝是递增数列，且“<1，得出正确的答案.

本题考查了数列的通项公式的应用问题，解题时应根据通项公式，求出数列对应的项，从而判定结

论是否正确，是较难的题目.

7.答案：C

解析:

本题考查了直线与抛物线的应用问题，也考查了圆的标准方程应用问题，属于中档题.

由题意求得，”的值，写出抛物线的方程，设出点A、B的坐标，表示出直线PA与直线PB的斜率之

差，求出|公&|,再求出点。到x轴的最大距离，从而求得△4当。面积的最大值.

解：点P（2,l）是抛物线C/二m'上一点,

.・・m=4,x2—4y；

设抛物线上的点4Qi，彳），8（小曲，

则A,B在x轴上的射影分别为Ai（Xi，0）,（尤2,0）；

••・直线PA与直线PB的斜率之差为:

.2]

2T*1_XI+2_X2+2_卬-0_],

kpA~kpB=；

X2-2X2-2444

—❷=4,即MiBJ=4；

又。是圆。一1）2+（y+4）2=1上一动点,

且。到无轴的最大距离为d=4+1=5,

为81D面积的最大值为:

Lilxd=|x4x5=10.

故选：c.

8.答案：A

解析：

本题考查利用导数的综合运用，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力，属于中

档题.

当x=0时，显然成立；当x>0时，则e*-|x2-kx-1>0恒成立，令g(x)=ex-^x2-kx-1(%>

0),分kWl及k>l讨论即可.

解:当久=。时，f(x)>kx显然恒成立；

当x>。时，/(x)>kx即为e*-^x2-kx-1>0,设g(x)=ex-^x2-kx-l(x>0),

则g'(x)=ex—x—k,令/i(x)=g'(x)=ex—x—k,

h'(x)=ex-1>0,

・,・函数g'(x)在(0,+8)上为增函数，

①当kW1时，g'(x)>g'(0)=1-kN0,故函数g(x)在(0,+8)上为增函数，

二9(x)>g(0)=0，即f(x)2依成立；

②当k>1时，g'(0)=1-k<0,g'(k)=ek-2k>0,故存在加6(0#),使得g'Q。)=0,

.••当x6(0,&)时，g'(x)<o，g(x)单调递减，则g(x)<g(0)=0,即/'(x)<kx,不符题意；

综上所述，实数人的取值范围为(-8,1].

故选：A.

9.答案:BD

解析：解：对于4有的四边形的内角和不是360。，是假命题；

对于B，~~I7：Vx6/?,x2+2x+2>0,是真命题，

因为/+2x+2=(x+I)2+1>1>0恒成立；

对于C,~r：Vx6{x|x是无理数},好不是无理数，是假命题，如x=n'时；

对于。，飞：存在实数小使|a|WO，是真命题，如a=0时.

故选：BD.

根据题意，分别写出选项中命题的否定命题，再判断命题的真假性.

本题考查了命题与它的否定命题应用问题，命题的真假性判断问题，是基础题.

10.答案：AC

解析：

本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查了函数y=4sin(3x+p)的图象变换规律，考查了函数

思想，属于中档题.

利用两角和的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的周期公式即可求函数最小正周期，即可判

断4;分别求解和/(?+%),即可判断B：利用正弦函数的单调性即可判断C；利用三角函

数的平移变换即可判断D.

解：v/(x)=cos2x+sin2x=>/2(^cos2x+~sin2x)=V2sin(2x+?),

对于选项A：T=胃=兀,即A正确：

对于选项B：f©+x)=V2sin[2(^+/)+?]=V2sin(2x+与)=V2sin(^—2x),

一x)=V2sin[2(^—x)+g=Vising—2x)=V2cos(^—2x),

即x=?不是y=/(x)的对称轴，故B错误：

对于选项C：1+24兀<2x+EW与+2/OT时，y=/(x)单调递碱，

故减区间为S+丹+/ot],k&Z,6-&的最大值是等一©)=3故C正确；

对于。：y=&cos2x的图象向右平移处单位得到y=V2cos[2(x-=)]=V2cos(2x-=

V2sin2xV2sin(2x+^),故。错误.

故选：AC.

11.答案：CD

解析：解：由抛物线的方程可得c正确，

若9=2宿，则点M是线段4P的中点，又坐标原点。是线段A尸的中点，

所以0M是三角形AP尸的中位线，所以0M〃尸F,

因为。Mix轴，所以PF_Lx轴，所以三角形APF为直角三角形，B错误，

设点P(x,y),则x=：,代入抛物线方程可得y=±l,A错误，。正确，

故选：CD.

求出点尸的坐标，再由已知向量关系求出点M是AP的中点，进而得到0M是三角形AP尸的中位线，

进而可以求解.

本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到三角形中位线的问题，属于基础题.

12.答案：CD

解析：解：对于A,设％=2cosa,y=2sina,0<a<p

・•・3%4-y=6cosa+2sina=2V10sin(a4-0)>2\/TU,其中tcmJ=3,

故A错误；

对于8,4=x2+y2>(^)2,即x+yW2或，当且仅当x=y=或时，等号成立，故8错误；

z2

对于C,4=x+y>2xy,则xy<2,log2x+log2y=log2xy<log22=1,当且仅当久=y=V2

时，等号成立，故C正确；

对于。，由B得x+yW2近，则2'2丫=2'+〃422在=4四，当且仅当x=y=应时，等号成立，

故。正确.

故选：CD.

根据基本不等式，以及指数和对数的运算性质即可求出.

本题考查了基本不等式的应用，考查了运算能力和运算能力，属于基础题.

13.答案:-40

解析:

本题主要考查了二项式定理的应用问题，属于基础题.

根据(X-》(2x+展开式中常数项是(2x+》5展开式中的?页与X的乘积，加上X项与一i的乘积；

利用(2X+》5展开式的通项公式求出对应的项即可.

解：(x—》(2x+》5展开式中常数项是

(2x+展开式中的3页与X的乘积，加上X项与一l的乘积；

(2x+》5展开式的通项公式为

Tr+1=黑•(2x)5-.(>r=25—.Cr.产-2\

令5-2r=-l,解得r=3,二痣=22*僚*工="；

3

令5-2r=1,解得r=2,/.T3=2xC5x%=80x；

所求展开式的常数项为

401

—,x4~80%,(—)=40—80=-40.

xX

故答案为-40.

14.答案：7T

解析：解：函数f(%)=sin(x+^)sinx=(ysinx4-ycosx)sinx=j4"^sin2x=|sin(2x—

巳)+乌

故它的最小正周期为

故答案为：71.

由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题.

15.答案：

解析：

将4个不同的小球装入4个不同的盒子，分别求出恰好有一个盒子为空的基本事件、恰好有两个盒

子为空的基本事件、恰好有三个盒子为空的基本事件的个数，由此能求出在至少一个盒子为空的条

件下，恰好有两个盒子为空的概率.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.

解：将4个不同的小球装入4个不同的盒子，

恰好有一个盒子为空的基本事件有：底•罢•幽=144.

月2

恰好有两个盒子为空的基本事件有：(或或+等)•"=84,

恰好有三个盒子为空的基本事件有：Al=4,

...在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是：

8421

产V=-1-4-4-+-8-4-+-4=—58.

故答案为：

5o

16.答案：37r

解析：解：・.•圆锥的底面半径为1,高为2近，

.,•母线长为：,1+8=3,

二圆锥的侧面积为：nrl=7Tx1x3=3兀，

故答案为：37r.

首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可.

本题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题

的关键.

17.答案：解：(1)因为百Q—csinB=y/SbcosC9

由正弦定理得值si几4—sinCsinB=asinBcosC，

故V^sinBcosC+时sinCcosB—sinCsinB=y/3sinBcosC，

所以V^sinCcosB-sinCsinB=0，

因为sinC>0,

所以siziB=y/3cosBf即tauB=遮,

因为8E(0,7r),

所以8冶；

(2)因为a=3,CD=*DB,

所以CD=}DB=|,

△480中，由余弦定理得，AD2=22+(|)2-2x2x|x|=y,

所以皿=亨，

由正弦定理得嗯二丁喝工，

stnBs\nz.BDA

2X号277

故sinZ_8Z)A=-j=-=—.

~2~

解析：(1)由已知结合正弦定理及和差角公式，诱导公式进行化简可求tanB,进而可求B；

(2)由已知结合余弦定理先求4。，然后结合正弦定理可求.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.

18.答案:

解析:

目

19.答案：9；8.5；3；4.5；6.75

解析：解：（1）

=

%=10a2=9.5=98.5

瓦=2/?2=3坛=4.5%=6.75

...(2分)

当1SnW20且nGN*,an=10+(n-1)x(-0.5)=-0.5n+10.5；

当n>21且nGN*,an=0.

-0.5n+10.5,1<n<20KnG/V

・•・an=...(5分)

0,n>21且几£N*

而。4+4=15.25>15

2■（-）71-1,且nCN*

2

•1•bn=,...（8分）

6.75,n>5且n6N*

（2）%+a2+…+a20=lOx20+等•（-}=105...（10分）

bx+b2+b3+b4+b5++b2o=为皂+6.75x16=124.25...（13分）

r-2

.•.从2013年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张....（14分）

（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5

万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这

一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；

(2)利用等差数列与等比数列的求和公式，可求从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量.

本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题

的能力，属于中档题.

20.答案：解：(I)由频率分布直方图得：

购物者获得50元优惠券的概率为：(1.5+2+2.5)x0.1=0.6,

购物者获得100元优惠券的概率为：(1.5+0.5)x0.1=0.2,

购物者获得200元优惠券的概率为：(0.5+0.2)x0.1=0.07.

•♦.获得优惠券金额的平均数为：50X0.6+100X0.2+200X0.07=64(元).

(II)从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为：0.6+0.2+0.07=0.87,

依题意:X〜8(10,0.87),所以E(X)=10x0.87=8.7.

解析：(I)由频率分布直方图能求出获得优惠券金额的平均数.

(H)从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为0.87,依题意：X〜8(10,0.87),由此能求出E(X).

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查

运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

21.答案：(I)单调递增；

(口)；

(皿).

解析：(I)由题意得f(x)的定义域是(0,+8),且亡(x)=U，

X2

Va>0,/.fz(x)>0,

故f(X)在(0,+8)单调递增；

x^a

(II)由(I)可得(x)=

产

①若则x+a》0,即f(x)》。在［1,e］上恒成立,

此时f(x)在［1,e］上递增，

33人

f(x)min=f(1)=-a=—,/-a=--［舍)，

7?

22~

②若aW-e,则x+aWO,即f'(x)W。在［1,e］上恒成立,

此时f(x)在［1,e］上递减，

H3Q

f(x)min=f(e)=1--=—，a=--(舍)，

e22

③若-e<a<-l,令件