湖北省孝感市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖北省孝感市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】设则故，化简可得，进而且，所以，，故则对应的点为，位于第四象限，故选：D2.已知向量，若，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，又，则，解得，故选：D3.甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（）A.0.36 B.0.48 C.0.64 D.0.54【答案】C【解析】由题意得密码未被破译的概率为，所以密码被破译的概率为，故选：C4.经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】当直线过原点时，方程为，符合题意，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，综上，所求直线的方程为或.故选：D.5.关于空间中两条不同直线与两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】若，则m，n可能平行、异面或相交，A错误；若，则，B错误；若，则的关系可能是或相交，C错误；，则，又，则，D正确．故选：D.6.东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，依题意，，，，于是得，，在中，，所以塔的高度约为.故选：A7.已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为.依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，所以，而，当直线PC⊥l时，最小，此时最小.结合图象可知，此时切点为，所以直线的方程为，即.故选：A8.如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（）A.三棱锥中，点P到面的距离为定值B.过点P平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为C.当点P为中点时，三棱锥的外接球体积为D.直线与面所成角的正弦值的范围为【答案】D【解析】对于A中，由题意可得：且∴为平行四边形，则，平面，平面∴平面又∵P为线段上，则点P到平面的距离为定值设点P到面的距离为h，为等边三角形，面积为∵，即，解得，A不正确；对于B中，过点P平行于平面的平面被正方体所截的截面为，此时三角形为边长为的等边三角形，其面积为，B不正确；设直线与平面所成角为，则，∵，则，D正确；对于C中，当点P为中点时，则∵平面，平面∴，平面∴平面设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥的外接球的球心，半径为，连接，则平面，且对于，则∴，则∵，则∴，即，则三棱锥的外接球的体积为，所以C不正确．故选：D．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知事件，且，则下列结论正确的是（）A.如果，那么B.如果A与互斥，那么C.如果A与相互独立，那么D.如果A与相互独立，那么【答案】BC【解析】对A，由得，则，A错；对B，由A与互斥得，则，B对；对CD，A与相互独立，则，，故C对D错；故选：BC10.已知圆，过点直线与圆交于两点.下列说法正确的是（）A.的最小值为 B.C.的最小值为 D.线段中点的轨迹为圆【答案】BCD【解析】的圆心和半径分别为，对于选项A：由题意可知，当轴时，圆心到直线的距离最大，此时最小，所以的最小值为，故选项A错误；对于选项B：设是的中点，连接，则，，的最小值为，最大值为直径4，，故选项B正确；对于选项C：当直线的斜率为0时，，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，,，,，联立方程，消去得，，，，的最大值为，当且仅当，即时取等号，故选项C正确；对于选项D：由于，则点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，点的轨迹方程为，即线段中点的轨迹为圆，故选项D正确．故选：BCD．11.在直三棱柱中，点是的中点，，点为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（）A.B.直线与直线所成角的余弦值是C.点到平面的距离是D.线段长的最小值是【答案】ACD【解析】在直棱柱中,在中，可得，所以，可得,又,且两直线在平面内，可得平面，由平面,所以，故必选项A正确；已知,点D到平面的距离为，所以,,,,所以，设到平面的距离为，则，可得，故C选项正确；取中点，连接又点是的中点在直棱柱中可得,,所以四边形为平行四边形，则,，取中点,连接，又中点为，可得，，在直角三角形中,在直角三角形中,在直角三角形中在三角形中,又，，所以直线与直线所成角为的补角，所以直线与直线所成角的余弦值是，故选项B错误;取中点,连接可得,又不在平面，在平面，所以平面，同理平面，又,所以可得平面平面，所以点的轨迹为线段，因为,,所以在三角形中由余弦定理可得,可得,所以,设B到的距离为，由等面积法可得,解得，可得长最小值是，故选项D正确；故选：ACD.12.已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A.的最小值为2 B.的面积的最大值为C.直线BE的斜率为 D.为直角【答案】BCD【解析】设椭圆C的右焦点，由椭圆对称性知线段AB，互相平分于点O，则四边形为平行四边形，如图，则，有，当且仅当，即时取“=”，A不正确；设，，则，当且仅当，即时取“=”，即，因，垂足为E，则，B正确；因，有，由椭圆对称性可得，而，则直线BE的斜率，C正确；设，由及得，，即，直线PA，PB的斜率有，而，于是得，有，所以为直角，D正确.故选：BCD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知有8个样本数据分别为，则估计该组数据的总体的第三四分位数为__________.【答案】【解析】因为，所以第三四分位数为第、两数的平均数，即为.故答案为：14.已知圆：和圆：，若点(，)在两圆的公共弦上，则的最小值为______.【答案】8【解析】由题意知：圆与圆公共弦方程为，又点(，)在两圆的公共弦上，∴，则当且仅当时等号成立，故答案为：8.15.如图，在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，此时三棱锥外接球的体积为__________.【答案】【解析】因为三棱锥的底面积为定值，故当高最大值，体积最大，又因为，且△为等腰直角三角形，取中点为，连接，故，且，所以当平面时，三棱锥的高最大为，可知，即，则△为等腰直角三角形，所以球心在平面的投影为中点，且△的外接圆半径为，设，则，由题意可得：，解得，所以三棱锥外接球的体积为.故答案为：.16.设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】椭圆的焦点为，在中，由正弦定理得：，解得，，设，在中，由余弦定理得：，解得，所以，又，所以，整理得，即，解得或（舍去）故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为）作为样本（样本容量）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为、.（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.解：（1）由题意可知，样本容量为，，；（2）由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数为，设中位数为，，则，由题意可得，解得，即本次竞赛学生成绩的中位数为.由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为.18.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点.如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足，.（1）求的面积；（2）求PB的长度.解：（1）由已知，所以.在中，，故.所以的面积.（2）在中，由正弦定理（*）而，代入（*）式得.19.在四棱锥中，底面是正方形，平面是的中点.（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，在棱上求一点，使得平面.解：（1）解法一：连接交于，连接.则在中，.而平面平面所以平面.解法二：以为坐标原点，射线分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系.设.连接交于，连接.依题意得.因为底面是正方形，所以是此正方形的中心，故点的坐标为，所以.则，故.而平面平面，所以平面.（2）因为，得设平面的法向量为，故，令，则，故，又，设，又因为平面，所以，即，解得，所以点为棱的中点时，平面.20.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且.（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程;（3）若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围.解：（1）设，则，化简得：，故点P的轨迹方程为；（2）设，因为点M为AP的中点，所以点P的坐标为，将代入中，得到，所以点M的轨迹方程为；（3）因为点在（1）的轨迹上运动，所以，变形为，即点为圆心为，半径为2的圆上的点，则表示的几何意义为圆上一点与连线的斜率，如图：当过的直线与圆相切时，取得最值，设，则由点到直线距离公式可得：，解得：或·，故的取值范围是.21.如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由.解：（1）在中，所以，即.又因为，在平面中，，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面，由平面，得.由（2）知，且已知，故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，则，.所以因为为中点，所以.由知，.设平面的法向量为，则即令，则.于是.由（1）知平面，所以平面的法向量为.所以，由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为；（3）设是线段上一点，则存在使得.因为，所以.因为平面，所以平面，当且仅当，即.即