广东省惠州市博罗县2023-2024学年高一上学期期中调研考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省惠州市博罗县2023-2024学年高一上学期期中调研考试数学试题一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】根据条件知，1和2都是集合M的元素，并且至少2个元素，所以满足条件的集合为：，共4个.

故选：B．2.已知函数则（）A1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】由题意得．故选：B．3.已知，那么的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以只有A选项是的一个必要不充分条件.故选：A.4.对于实数，，，下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】D【解析】对于A：时，不成立，A错误；对于B：若，则，B错误；对于C：令，代入不成立，C错误；对于D：若，，则，，则，D正确.故选：D．5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意可得，解得且．故选：C.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的定义域为，，所以为偶函数，由此排除CD选项，，由此排除B选项.故选：A.7.已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵满足对任意，都有成立，∴在上是减函数，，解得，∴a的取值范围是.故选：C．8.已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（）A. B.9 C. D.8【答案】A【解析】若函数为偶函数，则，即，可得，整理得，故，解得，∴，若正实数a、b满足，即，可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选得0分.请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.9.下列说法中正确的有（）A.若，对任意的时，都有，则在I上是增函数B.函数在R上是减函数C.函数y＝－在定义域上是增函数D.的单调递减区间是和【答案】AD【解析】对于A，根据函数单调性定义知A正确；对于B，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C，在整个定义域内不是增函数，如，而，故错误；对于D，在和上单调递减，故D正确.故选：AD.10.下列说法正确的有（）A.命题“，”的否定为“，”B.若，，则C.若幂函数在区间上是减函数，则D.方程有一个正实根，一个负实根，则【答案】AD【解析】A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，A选项正确；B选项，若，，如，则，B选项错误；C选项，函数是幂函数，所以，解得或，与“”矛盾，所以C选项错误；D选项，设，则有两个零点，且两个一正一负，则，所以D选项正确.故选：AD.11.已知不等式，则下列说法正确的是（）A.若，则不等式的解集为B.若不等式的解集为，则C.若不等式的解集为，则D.若不等式恒成立，则【答案】ABC【解析】对于A，若，则即为，解得，故A正确；对于B，若不等式的解集为，则和是方程的两个根，且，所以，解得，故B正确；对于C，不等式的解集为，则和是方程的两个根，且，则，则，故C正确；对于D，当时，恒成立；当时，可得，解得，综上所述，若不等式恒成立，则，故D错误.故选：ABC.12.已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（）A. B.C.D.【答案】BC【解析】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立；对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立；对于C，令，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立；对于D，令，则，，则，易得，所以，故不存在正数M，使得成立.故选：BC.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷相应横线上.13.函数且所过的定点坐标为____________．【答案】【解析】令，即，则，所过定点坐标为.故答案为：.14.设a，，记，则函数的最大值________．【答案】1【解析】根据题意，联立方程组，解得，即两函数的交点坐标为，则两函数和图图象，如图所示：因为，所以的最大值为.故答案为：.15.如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，tmin后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中的水就是．假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过mmin后桶1中的水只有升，则m的值为_______________．【答案】10【解析】当时，，即，，即，故，故.故答案为：10.16.若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数，当时，．那么当时，______；求函数在上的“倒值区间”为______．【答案】【解析】设，则，，由为奇函数，可得，故当，，对称轴方程为，所以时，，设是在上的“倒值区间”，则值域为，所以，即，所以在上单调递减，，即，解得，所以函数在上的“倒值区间”为.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从①，②，③“”是“”的充分条件，这三个条件中选择一个，补充到本题第（2）问的横线上，求解下列问题．问题：已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．解：（1），则，，则.（2）若选择①：，即；若选择②：，即；若选择③：“”是“”的充分条件，则；综上所述：不管选择哪个均等价于，当时，，无解；当时，则，解得，综上所述：.18.（1）二次函数满足，且，求的解析式；（2）已知，，求的值.解：（1）令，因为，所以，因为，所以，所以，则，解得，所以.（2）由，即，则，所以，又由，因为，可得，所以，所以.19.已知函数的部分图象如图所示：（1）求的解析式；（2）将图象向左平移1个单位长度，得到的图象，求的最大值.解：（1）由图可知，解得，所以.（2）依题意可得，所以，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以最大值为.20.已知函数是定义在上的函数．（1）用定义法证明函数在上是增函数；（2）解不等式．解：（1）对于任意的，且，则：，∵，∴，，∴，∴，即，∴函数在上是增函数.（2）因为，所以是奇函数，则，即，所以，解得，则不等式的解集为．21.小明今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为万元（今年为第一年）.（1）该出租车第几年开始盈利（总收入超过总支出）？（2）该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出；②当年平均盈利达到最大值时，以10万元卖出.试问哪一种方案较为合算？请说明理由.参考数据：，，.解：（1）由题意可知扣除支出后的纯收入，，令，解得：，又，且，即从第二年开始盈利.（2），，①，所以当时，盈利总额达到最大值33，所以7年时间共盈利34万；②年平均盈利，当且仅当即时，等号成立，所以4年时间共盈利万，两个方案盈利总数一样，但是方案二时间短，比较合算.22.已知函数满足，当时，，且