北京市大兴区2024届高三上学期期中检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1北京市大兴区2024届高三上学期期中检测数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，，∴，故选：D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得故，进而，故选：C.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】指数函数不是偶函数，A选项错误；幂函数是奇函数，B选项错误；函数是偶函数，但在上不单调，C选项错误；函数是偶函数，时单调递增.故选：D.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，则，故充分性不成立，由，则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5.已知向量，若，其中，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向量，，，，，即.故选：D.6.在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角终边上，则错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知：，故A正确；且，故B错误；，故C正确；因为，整理得，解得或，且，则，可知为奇数时，为第三象限角，为偶数时，为第一象限角，综上所述：，即，故D正确；故选：B.7.在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意如下图所示：易知当时，，若满足条件的三角形只有一个；由题可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点时，即图中两点满足题意；所以可得，即；即的取值范围是.故选：C8.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，所以，故选：A.9.设函数的极值点为，且，则可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，又，所以存在唯一实数，使得，当时，，当时，，所以函数函数又唯一极值点，且，故可以是.故选：B.10.已知数列满足（），且．给出下列四个结论：①；②；③，当时，；④，，当时，．其中所有正确结论的个数为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于，且，所以，故①正确，，由于，所以，故，所以当时，，因此，故②正确，由于，所以数列为单调递减数列，所以，当时，；③错误，，故，则，由于，则，所以，又，同除以，所以，，相加可得，故，进而可得，，，当时，又数列为单调递减数列，当时，．故④正确故选：C.第二部分（非选择题）二、填空题11.______．【答案】2【解析】本题正确结果：.12.设函数，则______；若满足对于定义域内的每一个都有，，则的最小值是______.【答案】【解析】函数，则，若满足对于定义域内的每一个都有，，则为函数的一个正周期，又函数的最小正周期为，所以的最小值是.故答案为：；13.等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为_______，_______．【答案】（答案不唯一）【解析】“若为递增数列，则”为假命题，所以若为递增数列，则，，则，等比数列为递增数列，且，则和公比，满足题意.故答案为：；14.已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】;若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点，设，，当时，取最小值，且为.故答案为：；.15.已知函数①当时，的值域为_______；②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是_______．【答案】①②【解析】①当时，，时，，函数单调递减，；时，，函数单调递增，，所以的值域为；②函数关于的方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与轴右边的图像有两个交点，分别作出函数的图像，其中函数与的图像相交于点和结合图像可知方程恰有个正实数解，为和，需要，所以的取值范围为.故答案为：；.三、解答题16.在中，，．（1）若，求；（2）若，求的面积．解：（1）因为，所以由正弦定理，得，因为，所以，因为，所以或（2）由余弦定理，得，解得或（舍去），由的面积，得17.已知等差数列满足，.数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和的最小值为，若，，构成等比数列，求的值．解：（1）差为，则，解得，，所以数列的通项公式．（2）由（1）知，，，从而的前项和的最小值，由，，构成等比数列，得，由，得，即，又，则数列是首项为，公比的等比数列，即有，由，解得，所以的值是4.18.已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若对恒成立，求的取值范围．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：在区间上单调递增．注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．（1）解：因为的图象的相邻两个对称轴的距离为，所以，函数的最小正周期为，所以．（2）解：选择条件①②．因为的最大值为，所以，即．由，得，又因为，所以，所以函数的解析式为．选择条件②③．因为的最大值为，所以，因为的最小正周期为，且在区间上单调递增，又因为区间的长度为，所以，即，得，则，又因为，所以．所以的解析式为．选择条件①③．因为的最小正周期为，且在区间上单调递增，又因为区间的长度为，所以，即，得，则，又因为，所以．由，得，所以．所以的解析式为．因为，所以所以，故．当时，的最小值为．因为，恒成立，则，所以的取值范围为．19.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若在区间上的最小值为，求的取值范围；（3）直接写出一个值使区间上单调递减．解：（1）当时，，函数的定义域为，则，令，解得，或，与在区间内的情况如下：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极大值为，极小值为．（2）由题意知，．令，则，，①当，即时，区间上恒成立，所以区间上单调递减，所以的最小值为，与已知相矛盾，不符合题意；②当，即时，与在区间上的变化情况如下：单调递增极大值单调递减因为在区间上的最小值为，所以，即，解得，所以；③当，即时，在区间上恒成立，所以在上单调递增，最小值为，满足题意；综上所述：的取值范围是.（3）若在区间上单调递减，则在内恒成立，可得在内恒成立，即，即的取值范围为，所以的值可以为.20.设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求证：当时，；（3）问存在几个点，使曲线在点处的切线平行于轴？（结论不要求证明）（1）解：因为，所以，因为曲线在点处的切线方程为，所以所以，所以；（2）证明：由（1）知，，设，所以，当或时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当时，；（3）解：曲线在点处的切线平行于轴，即曲线在点处的斜率为，则点的个数即函数零点的个数，由题意可知点可以是，当时，令，则由（2）得，在上单调递减，在上单调递增，，由当时，，当时，，所以当时，函数无零点，当时，有且仅有一个零点，综上，函数有个零点，即存在个点，使曲线在点处的切线平行于轴21.设数列，如果，且，，对于，，使成立，则称数列为数列．（1）分别判断数列和数列是否是数列，并说明理由；（2）若数列是数列，且，求的最小值；（3）若数列是数列，且，求的最大值．解：（1）①是数列．因为，，，所以①是数列.②是数列．因为，，，所以②是数列．（2）首先证明不能为．假设，由数列为数列知，．所以，与已知矛盾，故假设不成立．所以不能为．因为数列：满足，，此时是数列，所以的最小值为.（3）（i）以下证明：若为奇数，则必为奇数．假设数列中存在偶数，设是数列中第一个偶数，因为数列是数列，所以，使．因为均为奇数，所以也为奇数，与为偶数矛盾．所以若为奇数，则必为奇数