浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题一、单项选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵在单调递增，∴，则.故选：C.2.若复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以.故选：A.3.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知得，，，若，则，即，解得，所以“”“”，但“”“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B．4.下列命题中错误的是（）A.已知随机变量，则B.已知随机变量，若函数为偶函数，则C.数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8D.样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为【答案】D【解析】对于A，，A正确；对于B，由函数为偶函数，则，所以，所以区间，关于对称，则，B正确；对于C，，所以数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是第六个数据8，C正确；对于D，由按分层抽样样本方差的计算公式可知选项缺少平均数的相关数据，D错误.故选：D.5.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，而，则，，因此，即有，所以.故选：C.6.已知是等比数列前项和，且，，则（）A.11 B.13 C.15 D.17【答案】C【解析】因为是等比数列，是等比数列的前项和，所以成等比数列，且，所以，又因为，，所以，即，解得或，因为，所以，故选：C．7.设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，令，得，因为函数在恰好有5个零点，所以函数在上恰有5条对称轴．当时，，令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得．故选：B．8.四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，连接交的延长线于点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，连接交于点，连接，则平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分，显然.设平行四边形的面积为，因为点为的中点，所以，设到平面的距离为，因为点为的中点，所以点到平面的距离为，取中点，连接，则，且，又点共线且，所以，且，所以，所以，所以点到平面的距离为，故，,因此.故选：B.二、多项选择题9.已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（）A.直线过定点 B.当时，线段长的最小值为C.半径的取值范围是 D.当时，有最小值为【答案】ABD【解析】由直线，可化为，由方程组，解得，即直线过定点，所以A正确；当时，圆的方程为，可得圆心，则，可得线段长的最小值为，所以B正确；因为直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，所以，解得，所以C不正确；当时，圆的方程为，则，当直线过圆心，此时，可得的最小值，所以有最小值为，所以D正确.故选：ABD.10.关于函数由以下四个命题，则下列结论正确的是（）A.的图象关于y轴对称B.的图象关于原点对称C.的图象关于对称D.的最小值为2【答案】AC【解析】由函数，其定义域为，且，故函数为偶函数，故A正确，B错误；由，则函数关于对称，故C正确；当时，，则，故D错误.故选：AC.11.正方体中，，分别是棱，上的动点（不含端点），且，则（）A.与的距离是定值 B.存在点使得和平面平行C. D.三棱锥的外接球体积有最小值【答案】ACD【解析】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则对A，由图可知，因为与是异面直线，转化为求异面直线的距离，因为,平面，所以，所以点到的距离为的一半，等于，即为异面直线与的距离；故A正确；对B，，设平面的法向量为则，取，则，所以，若存在点使得和平面平行，因为，则，故，不符合题意，故B错误；对C，所以则，所以，故C正确；对D，采用补体积法，将三棱锥补到以为底面以为高的长方体里，则长方体的体对角线为外接球的半径的二倍，体对角线长为，当且仅当时取等号；故D正确；故选：ACD.12.已知函数，若，其中，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因为，，所以，所以当时，，当时，或，所以当时，单调递减，当或时，单调递增，且当时，，当时，，且时，或，，，整理得：，所以的对称中心为，如图所示：令，则由图可知：，，，所以A错误；B选项中，，又因为，所以，且，所以，所以，因为在上单调递减，故，所以，B正确；C选项中，根据三次方程的韦达定理知，，所以，所以C正确；D选项中，因为，，，所以，由，知，，由B知，，所以，故，又，所以，所以D正确.故选：BCD.三、填空题13.展开式中的系数为______.【答案】【解析】设的通项为，当时，.故答案为：14.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则______.【答案】【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则，，所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，，所以，，则，所以，函数是周期为的周期函数，当时，，则，，，，，，，，所以，，又因为，所以，.故答案为：.15.已知函数，，写出斜率大于且与函数，的图象均相切的直线的方程：______.【答案】【解析】∵，∴，，设相切的直线与函数，的图象的切点分别为，，且，∴，且，解得，∴两切点分别为，∴与函数，的图象均相切的直线的方程为：.故答案为：.16.已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是______．【答案】【解析】做出图像，如图所示，则，在中，由得，，设，则，所以，解得，即，在中，由得，，设，则，所以，解得，即，因为，所以，则，即，所以，解得，所以，由可得，，则，所以，整理得，解得，故答案：．四、解答题17.在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若点在边上，，，，求的面积.解：（1）由题意得，所以，故因为，.（2）设，则，在中，有.在中，有.又，所以，所以有.又，所以.在中，由余弦定理可得.又，，，所以有.联立，解得，所以，所以.18.如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．（1）若是中点，求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值．解：（1）因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以，连接，则，在中，，所以，因为，，平面，且，从而平面，又平面，所以，因为，，平面，且，所以平面，又平面，所以，又因为，所以，又是中点，，所以，因为，，平面，且，所以平面，又因为平面，所以．（2）由（1）知，平面，且，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则、、、，则，，，由得，，所以，所以，，设面的法向量为，由得，，取，则，设直线和平面所成角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为．19.某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关；

甲乙总和合格

不合格

总和151530附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.解：（1）完善联表如下：甲乙总和合格12618不合格3912总和151530，根据临界值表可知，有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.（2）记事件代表“一袋中有4个合格品”，事件代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故，,故求：由故.20.已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）求所有的实数，使得函数在上单调.（1）证明：设（），则，设（），则，显然所以在上单调递增，故，所以.则在上单调递增，所以，因此（2）解：解法1：因为，所以为奇函数.要使函数在上单调，只要函数在上单调.又.因为，所以函数在只能单调递减，由，解得.下证当时，在上单调.由于是奇函数，只要在单调，因为，所以在单调递减.解法2：因为，所以为奇函数.要使函数在上单调，只要函数在上单调.又.（ⅰ）若，即时，，所以函数在上单调递减，所以满足题意；（ⅱ）若，则，故，所以由零点存在定理得存在，，使得当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，因此不合题意；（ⅲ）若，则，故，所以由零点存定理得存在，，使得当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，因此不合题意；因此所求实数的取值范围是.21.已知等差数列满足.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列满足，，且是等差数列，记是数列的前项和.对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.解：（1）设数列的公差为，则，得，故或（2）法一：由为等差数列，可设，记的公差为，故.所以，显然，，平方得，该式对任意成立，故，解得.故.因此，一方面，，，故，另一方面，.故整数的最小值为3.法二：记的公差为，则，，，上式平方后消去可得，因为是等差数列，所以，故，将其代入中，得，解得或，当时，，解得，故，，故，当时，，此时无意义，舍去，因此，一方面，，，故，另一方面，.故整数的最小值为3.22.已知抛物线：（）上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交于，两点，过点，分别作的切线与，与相交于点，过点作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点，、、、分别与轴交于点、、、.记、、、的面积分别为、、、.若，求直线的方程.解：（1