天津市部分区2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1天津市部分区2024届高三上学期期中数学试题一､选择题1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设，则.故选：C.2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】且时，，不成立，不充分，，则且即，必要性成立，因此是必要不充分条件．故选：B．3.已知集合，命题，则的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由特称命题的否定为全称命题，则的否定为.故选：D.4.已知函数，且的图象如下图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由且定义域为，所以为偶函数，排除A；由且定义域为，所以为偶函数，排除B；对于，当，趋向于0时，趋向正无穷，趋向于1，故趋向于正无穷，排除C.故选：D.5.已知，且满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题设，故A、B中对数式无意义，且，所以，C对，D错.故选：C.6.若函数在区间上单调，则的最大值为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】时，由于，则，显然，因此由单调得，，最大值为2，故选：B．7.与向量和的夹角均相等的单位向量为（）A.或B.或C或D.或【答案】A【解析】设所求向量为，因为，又与，的夹角均相等，由平行四边形法则可得与共线，设，则，又，可得，解得，故或故选：A.8.若,则A. B.2 C. D.【答案】B【解析】，，则，即，，解得.故选：B.9.已知函数，若函数有且只有一个零点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】显然有解，因此，，若，则只有一个零点，但此时无实解，无零点，所以，，，由得，由题意，解得（舍去），所以时只有一个零点，它只满足C，故选：C．二､填空题10.已知幂函数的图象过点，则_________.【答案】【解析】设函数，又因为幂函数的图象过点，所以，解得：，所以函数，故答案为：.11.已知数列的前项和为，若对任意的，且，则__________.【答案】10【解析】由题设，则.故答案为：10.12.若，则__________.【答案】2【解析】依题意，，，即，解得，所以故答案为：2.13.已知函数，若曲线的一条切线的方程为，则__________.【答案】3【解析】设切点坐标为，易知，则，由切线方程为可得，即，解得，即切点坐标为，将代入切线方程可得，解得.故答案为：314.在直角梯形中，，且，若，则__________.【答案】【解析】如图，以为轴建立平面直角坐标系，设（），则，，，（负值舍去），，故答案为：.15.已知函数满足.若在上恰好有一个最小值和一个最大值，则__________；若在上恰好有两个零点，则的取值范围是__________.【答案】4【解析】因为，设的最小值正周期为，若在上恰好有一个最小值和一个最大值，且，则，所以；若在上恰好有两个零点，则，解得，即，且，可得，因为，则，且，且，可得或或，解得或或，所以的取值范围是.故答案为：4；.三､解答题16.在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若.①求的值；②求的值.解：（1）由及余弦定理得：，整理得，即，∵，∴.（2）①∵，及，，∴，解得.②∵，∴是锐角，且，∴.∴，，∴.17.已知数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列，其公比大于0，且.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.解：（1）设数列的公差为，数列的公比为因为，由，得即，易知，可得由，得，即由，可得所以可得，；即数列的通项公式为，数列的通项公式为.（2）由可得即，即，两边同乘以得上述两式相减得整理得，.18.已知函数.（1）求的单调区间与极值；（2）求在区间上的最大值与最小值.解：（1）由题设，令，得或，当时，即，解得或，单调递增区间为和.当时，即，解得，单调递减区间为.函数的极大值为，极小值为.（2）由，，，则且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为.19.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为.（1）设，求证：.（2）若与中相等的项由小到大构成的数列为，求证为等差数列.证明：（1）∵，∴∴∴（2）令∴令∴令∴，代入上式可得，∴，∴，∴数列的通项公式为，∵，∴数列是首项，公差为15的等差数列.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）记的两个极值点为，且，求证：时，.（1）解：由题设，当时，，∴所求切线方程为，即.（2）解：函数在上单调递减，则恒成立，即恒成立，令当，即时，恒成立，所以满足题意.当，即时，函数的图象是开口向下