江西省赣州市十八县（市、区）二十三校2024届高三上学期11月期中联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江西省赣州市十八县（市、区）二十三校2024届高三上学期11月期中联考数学试题一､选择题1.命题“对任意的个位数字不等于2”的否定是（）A.的个位数字等于2B.的个位数字不等于2C.的个位数字等于2D.的个位数字不等于2【答案】A【解析】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为的个位数字等于2.故选：A.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由或，所以或，且则.故选：B.3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以，即，解得，所以，所以，故选：A4.已知为第一象限角，且，则为（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】由题设，则，所以，而为第一象限角，所以，则,所以，即为第四象限角.故选：D.5.已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，令的公差为且，则，可得，所以，故.故选：D6.若，则“”是“”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，，显然时，不成立，充分性不成立；由，，而，则，当且仅当时等号成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C.7.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，经过过滤后还剩余的污染物，则，解得，设污染物减少用时小时，于是，即，则，即，两边取对数得，因此，所以污染物减少大约需要.故选：B.8.已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为R，由是偶函数，得，即，由为奇函数，得，即，显然，因此，即，有，，，而的值都不确定，ABC错误，D正确.故选：D.二､多选题9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于中心对称D.在区间上单调递增【答案】ACD【解析】因为，所以的最小正周期，故A正确；因为，所以不是的对称轴，是的对称中心，故B错误，C正确；因为，所以，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：ACD.10.若数列满足：对任意正整数为等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是“局部等比数列”.给出下列数列，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A：由为常数列，也是等比数列，不符合“局部等比数列”；B：由不是等比数列，且，故为常数列，也为等差数列；其中可构成等比数列，符合；C：由不是等比数列，且，故为等差数列；其中可构成等比数列，符合；D：由不是等比数列，且，则，，，显然不为等差数列，不符合；故选：BC.11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，下列说法正确的是（）A.B.三棱锥的体积是C.点到平面的距离是D.该正方体外接球的半径与内切球的半径之比是【答案】AC【解析】A：由面，面，则，又，而，面，则面，面，所以，对；B：由，错；C：由，面，面，则面，又面即为面，且是上的动点，所以点到平面的距离，即为到面的距离，由⊥平面，平面，则，又，而，平面，则⊥平面，所以所求距离为，对；D：由于正方体外接球半径为体对角线的一半，即为，正方体内切球的半径为棱长的一半，即为1，所以正方体外接球的半径与内切球的半径之比是，错.故选：AC.12.若方程有两个根，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】如图所示，作出函数和的图像，易知①，②，且，所以，对于A：易知，所以，因为在区间上单调递增且，所以，A错误；对于B：令函数.当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当且仅当时，等号成立.由①知，即，则B正确；对于C：由②知，即，又，所以，C正确；对于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正确，故选：BCD.三､填空题13.__________.【答案】【解析】.故答案为：14.已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________.【答案】【解析】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，所以在上递减，在上递增，又在上单调递减，故，则.故答案为：15.在中，，则的取值范围是__________.【答案】【解析】由题设，外接圆半径为，如下图，外接圆中连接，所以为等边三角形，且，所以，当反向共线时最小为，当同向共线时最大为，所以.故答案为：16.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则__________.【答案】2【解析】过作垂直于四棱锥底面的截面，如图所示，由条件可知，为底面正方形的对角线，所以，所以,长度为正四棱柱底面正方形的对角线，所以，长度为正四棱柱底面正方形的对角线的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故答案为：2.四､解答题17.在等腰直角中，为内一点，.（1）若，求；（2）若，求解：（1）由题设，则，在中，则，即，由，则，所以，则.（2）设，则，由（1）知：，在中，则，即.18.已知函数在处取得极值.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）函数，求导得，由在处取得极值，得，解得，此时，当时，，当时，，即函数在处取得极值，所以.（2）由（1）知，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，而，即，所以函数在上的值域为.19.如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.（1）求；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）设，又分别为的中点，则，由为正三棱柱，即上下底面为等边三角形，又，所以，且，由，则，可得，所以.（2）作，构建以为原点的空间直角坐标系，如下图示，则，故，若是面的一个法向量，则，令，则，而，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.20.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和及其最小值.解：（1）由，得，两式相减得，而，，则，因此当n为正奇数时，，当n为正偶数时，，所以的通项公式是.（2）由（1）知，，则有，两式相减得，因此，显然当时，，，当时，，又，因此，所以数列的前项和，的最小值为.21.在中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为的中点，在上存在点，使得，求的值.解：（1）由，而，所以，则，且，若，即，则，所以；若，即，则，显然不成立；综上，.（2）如下图示，若且，则，同理，所以，则，由（1）易知，且，所以，整理得，综上，，，所以，即，，即，故.22.已知函数.（1）试讨论的单调区间；（2）若有两个零点，求的取值范围.解：（1）函数的定义域为，求导得，当时，在上恒成立，即在上单调递减；当时，令，解得，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单