福建省龙岩市一级校联盟2024届高三上学期11月期中联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1福建省龙岩市一级校联盟2024届高三上学期11月期中联考数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，所以.故选：D.2.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.3.在中，为的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.4.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】A【解析】，，，所以的图象向右平移得到的图象.故选：A.5.若直线与曲线相切，则实数的值可以是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】设直线与曲线相切的切点为，由函数，可得，可得，所以，可得，解得，则，即切点为，将切点代入，可得，所以，当时，可得.故选：B.6.已知数列的前项和为，其中则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据递推关系，可得数列的项为，进而可得数列的前13项分别为：，所以，，，，故ABD正确，C错误，故选：C.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，因为，则，两式相加可得，则，又，所以，即，代入可得，，则，即，所以，则.故选：B.8.现有下列不等式关系：①；②；③；④．其中成立的个数为（）A0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】，构造函数，则，当，故在上单调递减，所以①错误．由于，所以单调递增，故，所以，所以②正确．由于，所以，故，所以③正确．设，当单调递增，当单调递减，所以，故，当且仅当时等号成立.设，则当时单调递减，当时，单调递增，故当，故进而可得，当且仅当时等号成立，故，所以④正确．故选：D.二、选择题9.下列叙述正确的是（）A.不等式的解集为B.已知，且，则C.“”是“不等式成立”的必要不充分条件D.已知集合，则【答案】BCD【解析】对于A中，由不等式，解得或，所以A不正确；对于B中，由，当且仅当时，等号成立，所以B正确；对于C中，由不等式，解得，所以“”是“不等式成立”的必要不充分条件，所以C正确；对于D中，由集合，可得集合表示奇数构成的集合，因为，可得，所以，所以D正确.故选：BCD.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.点为图象的一个对称中心C.函数在区间上的值域为D.若的图象在区间上只有一条对称轴和一个对称中心，则【答案】BC【解析】，，故A错；，所以是的一个对称中心，故B正确；由得，所以，，故C正确；令，解得，所以是的对称轴，令，解得，所以是的对称中心，因为在区间上只有一条对称轴和一个对称中心，所以，解得，故D错.故选：BC.11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则以下结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】对选项A：为奇函数，故，则，故，即，所以不一定为0，错误；对选项B：令，得，即，正确；对选项C：，故，则，所以，为奇函数，所以，故，，又，所以的周期为4．又，所以为偶函数，不一定为，错误；对选项D：，D正确；故选：BD.12.已知正项数列的前项和为且，则下列说法正确的是（）A.长度分别为的三条线段可以围成一个内角为的三角形B.C.D.【答案】BC【解析】对于选项A：因为，可以构造边长分别为，且一个内角为的三角形，即内角不可能为，故A错误；对于选项BC：设，其中，则，可知，设，即，当时，构成等边三角形，记作，此时，可知数列是以为首项，公比为等比数列，可得，在等边中，可知边上的高为，在，可得，利用等面积可得，整理得，故B、C正确；对于选项D：由选项C知：当时，，故D错误．故选：BC.三、填空题13.已知函数则______．【答案】14【解析】.故答案为：14.14.已知向量，若，则______．【答案】【解析】由得，所以，故，故，故答案为：15.已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，其横坐标分别为，且，则______．【答案】【解析】由图象得，设，因为，所以，令，即，结合图象可得，，则，又，所以，，将代入中得，由图可知，，解得，所以.故答案为：.16.已知且，则的最小值为______．【答案】8【解析】由得，即，所以，令得所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：8.四、解答题17.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，若，求的取值范围．解：（1）化简得．令，得，所以的单调递增区间为．（2）由，得．因为，所以，得，所以．因为，所以.18.已知数列的前项和为，数列为等差数列，．（1）求的通项公式；（2）记，其中表示不小于的最小整数，如，求数列的前2023项和．解：（1）为等差数列，公差，所以，即，所以，上式对仍然成立，所以．（2）由题意可知，记的前项和为，则.19.如图，在正三棱锥中，分别为的中点．（1）求证：四边形为矩形．（2）若四边形为正方形，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为分别为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，取中点，连接和，因为为正三棱锥，所以．又因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以，所以四边形为矩形．（2）解：以为原点，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方形的边长为1，则，，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.20.中国政府一直鼓励国内企业加强自主研发和技术创新，并为此提供了大量的资金和政策支持．这些政策措施为国内科技企业提供了良好的发展环境，使得它们能够在短时间内取得显著的突破．现某企业研发出一种新产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为280万元，此外，每生产一台该产品需另投入550元．设该企业一年内生产该产品（）万台并委托一家销售公司全部售完．根据销售合同，当时，销售公司按零售价支付货款给该企业；当时，销售公司按批发价支付货款给该企业．已知该企业每销售1万台该产品的收入为万元，满足（1）写出该企业的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数关系式．（利润销售收入固定研发成本产品生产成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业的利润最大？求出此时的最大利润．解：（1）当时，．当时，．所以.（2）当时，，，在上单调递增，的最大值为，即当时，取得最大值4万元，此时销售收入远小于投入，企业亏损，所以最大利润一定在时取得．此时，当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为1170万元，所以当年产量为30万台时，该企业的利润最大，且此时的最大利润为1170万元.21.在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若点为的中点，点满足，点为与的交点，求的余弦值．解：（1）由已知得，即．由正弦定理得．因为在中，，所以．因为，所以．（2）设，所以，因为为的中点，所以，又，由（1）知，，，故，，故．，，所以，所以的余弦值为．22.设函数．（1）讨论的单调性；（2）若在区间内恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，当时，，在内单调递减；当时，，有，此时当时，，单调递减；