2024届辽宁省六校协作体高三上学期期中联考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat18页2024届辽宁省六校协作体高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用集合的交运算求集合即可.【详解】由题设.故选：A2．已知，，若，则的虚部是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据复数相等求出a，b，然后由共轭复数和虚部概念可得.【详解】因为，所以，所以，故的虚部为.故选：A3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的概念、和角公式运算即可得解.【详解】由题意，，解得：，则，∴角的终边与单位圆交于点，∴，，∴.故选：B．4．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中项的系数（

）A．15 B．54 C．12 D．-54【答案】B【分析】利用赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为二项式系数的和是16，所以，二项式的通项公式为，令，所以展开式中项的系数，故选：B5．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充要条件的定义及等比数列的和与项的关系即可判断.【详解】若，，则，则为递减数列．若为递增数列，则，，．所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选：B．6．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解.【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且故为偶函数，而当为单调递增函数，故当，单调递减，由可得，平方得，解得或，故的取值范围是，故选：C7．已知不等式的解集是，则下列四个命题：①：②；③若不等式的解集为，则；④若不等式的解集为，且，则.其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为有且只有一个零点，故可得，即可，再利用基本不等式和不等式的性质以及韦达定理，即可得答案；【详解】由题意，，∴.对于①：，等号当且仅当时成立，所以①正确；对于②：，等号当且仅当，即时成立，∴②正确；对于③：由韦达定理，知，∴③错误；对于④：由韦达定理，知，则，解得，∴④正确；综上，真命题的个数是3，故选：C.8．已知函数的图像经过，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的性质求得参数，结合题意构造新函数，利用导数研究其单调性，再根据函数变换规则，结合图象，可得答案.【详解】由函数的图象经过，则，解得，令，，由函数与函数在上单调递增，则函数单调递增，由，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，，则函数的图象如下图：

根据函数图象的平移变换，则.故选：D.二、多选题9．以下结论不正确的是（

）A．“事件，互斥”是“事件，对立”的充分不必要条件．B．假设，，且与相互独立，则C．若，，则事件，相互独立与事件，互斥不能同时成立D．在一组样本数据，，，，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为【答案】ABD【分析】根据互斥与对立的概念可判断A；由公式可判断B；根据互斥事件概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合推导可判断C；根据相关系数的含义可判断D.【详解】对于A，由互斥事件与对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“事件，互斥”是“事件，对立”的必要不充分条件，A错误，符合题意；对于B，由概率性质可知，，B错误，符合题意；对于C，若事件，互斥成立，则，又因为，所以有，若事件，相互独立，则有，矛盾，故事件，相互独立与事件，互斥不能同时成立，C正确，不符合题意；对于D，由题知，该样本数据成负相关，又因为所有样本点都在直线上，所以该样本数据的相关系数为，D错误，符合题意.故选：ABD10．若向量满足，，则（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为【答案】BC【分析】根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，求出，即可判断D.【详解】对于A：因为，，所以，所以，故A错误；对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为，且，所以在上的投影向量为，故D错误；故选：BC11．为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第行第个数记为，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第条斜线上所有数字之和为，入场码由两段数字组成，前段的数字是的值，后段的数字是的值，则（

）

A． B．C． D．该景点入场码为【答案】BCD【分析】分析可得，利用组合数公式可判断A选项；利用二项式定理可判断B选项；归纳得出，逐项计算可得的值，可判断C选项；计算出的值，结合B选项可判断D选项.【详解】由题意得，对于A：即为第行第个数，则，故A错误；对于B：展开式的通项为，其中，，，，所以，，故B正确；对于C：，，，，，归纳可得，即，所以，，，，，故C正确；对于D：，故，该景点入场码为，故D正确.故选：BCD.12．已知函数在上恰有三个零点，则（

）A．的最大值为B．在上只有一个极小值点C．在上恰有两个极大值点D．在上单调递增【答案】BD【分析】根据函数在上恰有三个零点，可推得，即可判断A；求出，结合余弦函数的最值情况可判断B，C；根据余弦函数的单调性可判断D.【详解】A项，当时，，由函数恰有三个零点，可得，解得，所以无最大值，因此A错误；B选项：由A选项知，，则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，因此B正确；C选项：当，即时，此时，函数取得极大值，当，即时，函数取得极大值，但是不一定在内，因此C错误；D选项：当时，，因为，所以，即，而在上单调递增，因此在上单调递增，因此D正确，故选：BD．三、填空题13．每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织招生宣传.某中学高三年级的3名男生、2名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是．【答案】12【分析】分两步完成，第一步，先将男生分成两组，再分配，第二步，将女生分配，再根据分步计数原理即可求出结果.【详解】第一步：先将3名男生分成两组，再分配到两所高校，共有种；第二步：将2名女生分配到两所高校，共有种；所以不同的安排方法有：种.故答案为：12.14．已知函数则．【答案】【分析】根据的值代入相应的解析式即可.【详解】因为，所以.故答案为：.15．若直线与曲线相切，则．【答案】【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知切线列式求解即可.【详解】依题意，设切点为，则，由，求导得，于是，解得，从而，则.故答案为：16．已知这5个数的标准差为2，若在中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是．【答案】/【分析】根据标准差公式求出，再根据中位数的定义结合古典概型即可得解.【详解】这5个数的平均数为，因为这5个数的标准差为2，，解得，则，即为，按照从小到大的顺序为，从随机取出3个不同的数，有，共种，其中5为这3个数的中位数有共种，所以5为这3个数的中位数的概率是.故答案为：.四、解答题17．设数列的各项都为正数，且．(1)证明数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）由数列的各项都为正数，且，得，即，所以数列是以为公差的等差数列；（2），由（1）得，所以，则，所以.18．已知平面向量，，记，(1)对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简得到，确定得到，，得到最值.（2）计算得到，确定，化简得到，根据正弦定理结合等比数列性质得到答案.【详解】（1），，则，故，，恒成立，故，，当，时，有最大值为.（2），即，，，故，，，，成等比数列，则，.19．随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.

(1)根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）(3)现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期.（参考数据：若，则，，.【答案】(1)74分(2)159人(3)分布列见解析，【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数进行估值计算即可；（2）根据正态分布的对称性求解概率即可；（3）根据随机变量的所有可能取值为：，分别求概率，即可得分布列与数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图估计平均数为：（分）（2）由题意可得测试成绩X近似服从正态分布所以，则所以人故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为人；（3）随机变量的所有可能取值为：，，，所以的分布列如下：数学期望.20．将函数的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像.(1)设，，当时，求的值域；(2)在①②③三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答.在中，，，分别是角，，所对的三条边，，__________，__________.求的面积.【答案】(1)(2)选①②：；选①③：；选②③：.【分析】根据三角函数图象变换，先求出，求值域时，结合，与的关系，换元转化可得值域.利用正弦定理或余弦定理先解三角形，再用面积公式可得.【详解】（1）的图像向左平移个单位得，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到即，又因故，，，，故因，所以设，，又因为在上单调递增，则，所以的值域为（2）且选①②：，，，，，，则；.选①③：，，，，，,选②③：，，由余弦定理得所以，则或（舍）.21．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，数列的前n项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)若对任意正整数n，均有，求实数m的最大值．【答案】(1)(2)的最大值为1【分析】（1）在中令即得，在中用代，然后两式相减得，用代，然后两式相减得当时，，再说明时等式仍然成立，最后利用等比数列的通项公式即得答案；（2）利用等比数列的通项公式和前项和公式对不等式化简，并分离出参数，然后构造出新数列，使，利用作差法说明从第项开始单调递增，求出的最小项，从而确定的最大值.【详解】（1）由，得，解得.因为①，所以②得，即，由于，所以③，所以④，得，即，所以当时，，又由，得，即，因为，所以，所以，所以对任意的都有成立，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故通项公式为.（2）因为，所以由得，即.令，则，当时，，即.又，所以，所以.故实数的最大值为.22．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；(3)设，证明：．【答案】(1)递增区间为，递减区间为(2)(3)证明见解析【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为在上恒成立，令，分和两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出的取值范围；（3）在（2）基础上得到，赋值得到，利用累加法得到结论.【详解】（1）当时，，则，令，得；令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为