高考数学B版真题及模拟：函数模型及函数的综合应用

函数模型及函数的综合应用A组

自主命题·北京卷题组1.(2015北京,8,5分,0.85)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了

甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是

()

A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案

D对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程

都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车

耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油8

0×1÷10=8(升),则C错;对于选项D:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用

丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.思路分析先认真审题,对燃油效率的定义要有清楚的认识,然后通过图象中的信息,依次对选

项进行判断.2.(2015北京文,8,5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情

况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为

()A.6升

B.8升

C.10升

D.12升加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600答案

B根据题意可知5月1日至5月15日这段时间的行程为35600-35000=600千米,耗油48

升,所以该车每100千米平均耗油量为48×(100÷600)=8升.B组

统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的实际应用1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,

则该市这两年生产总值的年平均增长率为

()A.

B.

C.

D.

-1答案

D设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这

两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,因

此x=

-1,故选D.2.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱

五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡

雏个数分别为x,y,z,则

当z=81时,x=

,y=

.答案8;11解析把z=81代入方程组,化简得

解得x=8,y=11.3.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b

(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保

鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是

小时.答案24解析依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k=

=

=

,所以e11k=

或-

(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=

×192=24(小时).评析本题考查了函数的应用,考查转化与化归的数学思想.考点二函数的综合应用(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”

为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=

关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是

.答案(2

,+∞)解析函数g(x)=

的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0,f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))连线的中点,

又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=

相离且b>0,即

解之得b>2

.所以实数b的取值范围为(2

,+∞).

评析本题考查新定义问题以及直线与圆的位置关系的应用.本题的易错点有两处:①不能正

确理解“对称函数”的定义,造成题目无法求解;②忽视h(x)>g(x)的隐含条件:直线f(x)=3x+b与

半圆相离,且直线f(x)=3x+b在y轴上的截距b>0.C组

教师专用题组考点一函数的实际应用1.(2010北京,14,5分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横

坐标的函数关系式是y=f(x),则f(x)的最小正周期为

;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象

与x轴所围区域的面积为

.说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的

是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继

续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.

解析由题意知正方形分别以A、B、C、P为旋转点滚动一次,P点轨迹重复出现,P点轨迹如

图所示,故f(x)的最小正周期为4.y=f(x)在其两个相邻零点间的图形与x轴所围区域如图阴影部

分所示.

图形由两个半径为1的

圆及两个边长为1的正方形和一个半径为

的弓形组成,其面积S=2×

π×12+2+

π×(

)2-

×2×1=

+2+

-1=π+1.答案4;π+1命题立意本题考查了周期的定义及不规则图形的求解,分割法是求解此题的关键.考查了学

生分析问题、解决问题的能力.2.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现

状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区

边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为

5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立

平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=

(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=

,得

解得

(2)①由(1)知,y=

(5≤x≤20),则点P的坐标为

,

设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-

,则l的方程为y-

=-

(x-t),由此得A

,B

.故f(t)=

=

,t∈[5,20].②设g(t)=t2+

,则g'(t)=2t-

.令g'(t)=0,解得t=10

.当t∈(5,10

)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10

,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;从而,当t=10

时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15

.答:当t=10

时,公路l的长度最短,最短长度为15

千米.评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识

分析和解决实际问题的能力.1.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),

(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=

1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=

,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=

(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=

(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数

.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)考点二函数的综合应用解析(1)若Mf(a,b)是a,b的几何平均数,则c=

.由题意知,(a,f(a)),(

,0),(b,-f(b))共线,∴

=

,∴

=

,∴可取f(x)=

.(2)若Mf(a,b)是a,b的调和平均数,则c=

,由题意知,(a,f(a)),

,(b,-f(b))共线,∴

=

,化简得

=

,∴可取f(x)=x.2.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解析(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=

(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=

max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=

评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推

理论证能力、分析问题和解决问题的能力.思路分析(1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是

分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组(时间:25分钟分值:40分)选择题(每题5分,共40分)1.(2018北京门头沟一模,8)某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准

进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.分值权重表如下:总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价标则相对灵活,报

价标的评分方法:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8

分,最低得分为48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分.

若报价低于基准价15%以上(不含15%),每再低1%,在80分的基础上扣0.8分.在某次招标中,基准价为1000万元.甲、乙两公司的综合得分如下表:公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司的报价为1100万元,乙公司的报价为800万元,则甲,乙公司的综合得分分别是

()A.73分,75.4分

B.73分,80分

C.74.6分,76分

D.74.6分,75.4分答案

A甲公司的报价为1100万元,高于基准价10%,所以扣8分,报价分为68-8=60分,所以甲

公司的综合得分为80×50%+90×10%+60×40%=73分;乙公司的报价为800万元,报价低于基准

价20%,所以报价分为80-0.8×5=76分,所以乙公司的综合得分为70×50%+100×10%+76×40%=7

5.4分,故选A.2.(2017北京东城二模,7)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两

点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是

()

答案

D对于A,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于B,在椭圆中,y与x的函数关系的图象不是对称的,不符合题意;对于C,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于D,当点P运动到AP是直径时,y最大,此时,x=

,符合题意.故选D.3.(2017北京顺义二模,8)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能

力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候

选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该

班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为

()A.y=

B.y=

C.y=

D.y=

答案

B采用特值法.令余数分别为7或8,将两个临界值代入选项加以判断.

=0,

=0,排除A;

=0,

=1,B符合;

=1,

=1,排除C;

=1,

=1,排除D.故选B.4.(2016北京东城二模,6)一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件

商品.根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20元;优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,则他购买的商品的标价

可能为

()A.179元

B.199元C.219元

D.239元答案

C设他购买的商品的标价为x元(x>100),则

解得200<x<225,故选C.5.(2016北京朝阳一模,6)某工厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示,下列说法中错误的

是

()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元(注:结余=收入-支出)答案

D

A、B、C均正确,D:前6个月的平均收入为

=45(万元).6.(2017北京平谷零模,8)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历

了5次涨停(每次上涨10%),又经历了5次跌停(每次下跌10%),则该股民购进的这支股票的盈亏

情况(不考虑其他费用)为

()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案

B设该股民购进这支股票的价格为a元,则(1+10%)5(1-10%)5a=0.995a<a.所以该股民购进的这支股票略有亏损.故选B.7.(2016北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值

t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生

产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.

若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是

()A.15

B.16

C.17

D.18答案

B由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)

(1+1.2x%)t(万元),则由

解得0<x≤

.因为x∈N*,所以x的最大值为16.8.(2016北京房山二模,8)为促进资源节约型和环境友好型社会建设,引导居民合理用电、节约

用电,北京居民生活用电试行阶梯电价.其电价标准如下表:北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983(元/千瓦时),则该用户1月份的用电量为

(

)A.350千瓦时

B.300千瓦时C.250千瓦时

D.200千瓦时用户类别分档电量(千瓦时/户·月)电价标准(元/千瓦时)试行阶梯电价的用户一档1~240(含)0.4883二档241~400(含)0.5383三档400以上0.7883答案

B∵北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983(元/千瓦时),∴设该户居民月用电量为x千瓦时,则241≤x≤400,根据题意得240×0.4883+(x-240)×0.5383=0.4983x,解得x=300.所以B选项是正确的.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:20分钟分值:30分)一、选择题(共5分)1.(2018北京房山一模,8)如图,直线AB与单位圆相切于点O,射线OP从OA出发,绕着点O逆时针

旋转,在旋转的过程中,记∠AOP=x(0<x<π),OP经过的单位圆O内区域(阴影部分)的面积为S,记

S=f(x),则下列判断正确的是

()

A.当x=

时,S=

-

B.当x∈(0,π)时,f(x)为减函数C.对任意x∈

,都有f

+f

=πD.对任意x∈

,都有f

=f(x)+

答案

C当x=

时,S=π-

=

+

,故A错,f(x)显然是增函数,故B错;根据旋转的过程可得函数f(x)的图象关于x=

对称,故D错,C正确.解后反思本题考查了函数的性质与实际问题的结合,通过几何图形得到函数的对称性、单

调性是关键.2.(2018北京东城一模,14)单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为f(n),则f(3)=

.下面是关于f(n)的描述:①f(n)=

sin

;②f(n)的最大值为π;③f(n)<f(n+1);④f(n)<f(2n)≤2f(n).其中正确结论的序号为

.(注:请写出所有正确结论的序号)二、填空题(每题5分,共25分)答案

;①③④解析单位圆的内接正n边形可拆解为n个等腰三角形,腰长为单位长度1,顶角为

,每个三角形的面积为

sin

,所以正n边形的面积为f(n)=

sin

,所以①正确,f(3)=

sin

=

×

=

.正n边形的面积无法等于圆的面积,所以②不对.随着n的值增大,正n边形的面积也越来越大,所以③正确.当且仅当n=3时,有2f(3)=f(6),由几何图形可知其他情况下都有f(2n)<2f(n),所以④正确.3.(2018北京东城二模,14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=art+24

(a,r为常数).在t=0min和t=1min时,测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在t=4

min时,该物质的浓度为

mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的整数t的值

为

.(参考数据:lg2≈0.3010)解析

t=0时,M=124,即a+24=124,解得a=100;t=1时,M=64,即ar+24=64,∴r=

,即M(t)=100

+24,将t=4代入得M(4)=26.56.由题意得100

+24<24.001,即100

<0.001,即

<10-5,两边取以10为底的对数得tlg

<-5,t(lg2-lg5)<-5,t[lg2-(1-lg2)]<-5,t(2lg2-1)<-5,∴t>

,∴tmin=13.答案26.56;13解题思路先由已知条件求出M(t)=art+24的解析式,易得第一个空的答案,第二个空的难度主

要是解对数不等式.解不等式时要注意lg

<0,否则非常容易出错.4.(2018北京朝阳二模,14)如图,已知四面体ABCD的棱AB∥平面α,且AB=

,其余的棱长均为1.四面体ABCD以AB所在的直线为轴旋转x弧度,且始终在水平放置的平面α的上方.如果将四面

体ABCD在平面α内正投影的面积看成关于x的函数,记为S(x),则函数S(x)的最小值为

;

S(x)的最小正周期为

.

答案

;π解析从侧面看,如图1,只需考虑△BCD绕着B点旋转时,C,D两点在直线l上的投影.

图1①当旋转

时,投影最短为

,∴Smin=

×

×

=

.②随着旋转,S=

图2当△BCD第一次旋转到图2位置时,C,D两点在直线l上的投影又回到了图1,∴S(x)的最小正周

期为π.5.(2017北京房山一模,14)《中华人民共和国个人所得税法》规定:从2011年9月1日开始,个人

所得税起征点由原来的2000元提高到3500元,也就是说原来月收入超过2000元的部分需要

纳税,从2011年9月1日开始,超过3500元的部分需要纳税,若税法修改前后超过部分的税率相

同,按下表分段计税:级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过1500元的部分32超过1500元不超过4500元的部分103超过4500元不超过9000元的部分20某职工2011年5月缴纳个人所得税2