孙人教版八年级上册数学复习教案

第十一章全等三角形11.1全等三角形知识点一：全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形知识点二：全等三角形及其对应元素的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.用“≌〞表示，如△ABC和△DEF全等，记作:△ABC≌△DEF,读作：三角形ABC全等于三角形DEF。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等知识点四：找对应边、对应角的方法1、公共边是对应边，公共角是对应角2、对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角3、对应角所夹的边是对应边，对应边所夹的角是对应角4、最长〔最短〕边是对应边，最大〔最小〕角是对应角5、平行边是对应边，对顶角是对应角三角形全等的判定知识点一：边边边三边对应相等的两个三角形全等．〔SSS〕知识点二：边角边两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)知识点三：角边角两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．〔ASA〕知识点四：角角边两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．〔AAS〕知识点五：斜边、直角边斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．〔HL〕知识点六：三角形全等的条件的选用附：1．全等三角形的性质：〔1〕全等三角形的对应边相等；〔如图〕〔2〕全等三角形的对应角相等.〔如图〕几何表达式举例：(1)∵ΔABC≌ΔEFG∴AB=EF………(2)∵ΔABC≌ΔEFG∴∠A=∠E………2．全等三角形的判定：“SAS〞“ASA〞“AAS〞“SSS〞“HL〞.〔如图〕〔1〕〔2〕〔3〕几何表达式举例：(1)∵AB=EF∵∠B=∠F又∵BC=FG∴ΔABC≌ΔEFG(2)………………(3)在RtΔABC和RtΔEFG中∵AB=EF又∵AC=EG∴RtΔABC≌RtΔEFG知识点七：证明文字表达的命题几何中证明文字表达的命题的一般步骤⑴根据题意画出图形⑵根据题设、结论，结合图形写出、求证。⑶经过分析，找出证明途径。⑷写出证明过程。角平分线的性质知识点一：角平分线的作法平分一个角的方法有很多，如度量法、折叠法，学了全等三角形的知识后还可以用尺规作图的方法来作。知识点二：角平分线的性质在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴PM=PN知识点三：角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上.∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN∴OP平分∠AOB知识点四：三角形的角平分线的性质三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．符号语言表示为：在△ABC中，AD、BM、CN分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么AD、BM、CN交于点O，且点O到三边的距离OE、OF、OG相等，即OE＝OG＝OF.GMNFODE第十二章轴对称轴对称知识点一：轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．知识点二：轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

知识点三：图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．知识点四：轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．知识点五：线段的垂直平分线经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线〔或线段的中垂线〕．〔2〕线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．(1)∵MN是线段AB的垂直平分线∴PA=PB(2)∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上作轴对称图形知识点一：轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．知识点二：轴对称变换的性质〔1〕经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样〔2〕经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．〔3〕连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．知识点三：作一个图形关于某条直线的轴对称图形〔1〕作出一些关键点或特殊点的对称点．〔2〕按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．几何表达式举例：(1)∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴ΔABC≌ΔEGF(2)∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴OA=OEMN⊥AE知识点四：用坐标表示轴对称关于坐标轴对称点P〔x，y〕关于x轴对称的点的坐标是〔x，-y〕点P〔x，y〕关于y轴对称的点的坐标是〔-x，y〕关于原点对称点P〔x，y〕关于原点对称的点的坐标是〔-x，-y〕关于坐标轴夹角平分线对称点P〔x，y〕关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是〔y，x〕点P〔x，y〕关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是〔-y，-x〕关于平行于坐标轴的直线对称点P〔x，y〕关于直线x=m对称的点的坐标是〔2m-x，y〕；点P〔x，y〕关于直线y=n对称的点的坐标是〔x，2n-y〕；等腰三角形知识点一：等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.〔如图〕几何表达式举例：(1)∵ΔABC是等腰三角形∴AB=AC(2)∵AB=AC∴ΔABC是等腰三角形知识点二：等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：〔1〕等腰三角形是轴对称图形.〔2〕等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的性质定理及推论：〔1〕等腰三角形的两个底角相等；〔即等边对等角〕〔如图〕〔2〕等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高〞三线合一；〔如图〕〔1〕〔2〕几何表达式举例：(1)∵AB=AC∴∠B=∠C(2)∵AB=AC又∵∠BAD=∠CAD∴BD=CDAD⊥BC………………知识点三：等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简写成“等角对等边〞〕．特别的：〔1〕有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．〔2〕有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．〔3〕有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．〔4〕有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形的判定定理及推论：如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；〔即等角对等边〕〔如图〕几何表达式举例：∵∠B=∠C∴AB=AC知识点四：三角形按边分类三角形知识点五：利用“三角形奠基法〞作图根据条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为根底，作出所求的三角形.附：三角形角平分线、中线、高、内角和、外角1．三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.〔如图〕几何表达式举例：(1)∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD(2)∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分线2．三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.〔如图〕几何表达式举例：(1)∵AD是三角形的中线∴BD=CD(2)∵BD=CD∴AD是三角形的中线3．三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.〔如图〕几何表达式举例：(1)∵AD是ΔABC的高∴∠ADB=90°(2)∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高※4．三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.〔如图〕几何表达式举例：(1)∵AB+BC＞AC∴……………(2)∵AB-BC＜AC∴……………5．三角形的内角和定理及推论：〔1〕三角形的内角和180°；〔如图〕〔2〕直角三角形的两个锐角互余；〔如图〕〔3〕三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；〔如图〕※〔4〕三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕几何表达式举例：(1)∵∠A+∠B+∠C=180°∴…(2)∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°(3)∵∠ACD=∠A+∠B∴…(4)∵∠ACD＞∠A∴…知识点六：等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.〔如图〕几何表达式举例：(1)∵ΔABC是等边三角形∴AB=BC=AC(2)∵AB=BC=AC∴ΔABC是等边三角形知识点七：等边三角形的性质、判定方法1、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于602、三条边都相等的三角形是等边三角形；3、三个角都相等的三角形是等边三角形；4、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．等边三角形的各角都相等，并且都是60°.〔如图〕几何表达式举例：∵ΔABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°〔1〕三个角都相等的三角形是等边三角形；〔如图〕〔2〕有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；〔如图〕〔1〕〔2〕几何表达式举例：(1)∵∠A=∠B=∠C∴ΔABC是等边三角形(2)∵∠A=60°又∵AB=AC∴ΔABC是等边三角形知识点八：直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．〔1〕在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.〔如图〕〔1〕几何表达式举例：(1)∵∠C=90°∠B=30∴AC=AB知识点九：三角形中的边角不等关系〔1〕在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.〔简称为：大边对大角〕〔2〕在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.〔简称为：大角对大边〕附：添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。第十三章实数13.1平方根知识点一：算术平方根的概念及表示一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²＝a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为，读作根号a，a叫做被开方数。提示：算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0：②算术平方根本身是非负数，即≥0也就是说，正数的算术平方根是一个正数：0的算术平方根是0：负数没有算术平方根。例1求以下各数的算术平方根⑴16⑵2.25⑶﹙－2.8﹚²知识点二：平方根⑴平方根的定义如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫做a的平方根，也叫做二次方根。例如，因为﹙±5﹚²＝25，所以5和－5叫做25的平方根。⑵平方根的表示一个正数a的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号－表示，这两个平方根连起来可以记作±。这里，符号读作二次根号。读作二次根号a。根指数2通常省略不写，如记作，读作根号a，±记作±，读作正负根号a。⑶平方根的性质一个正数有两个平方根，这两根平方根互为相反数；0只有一个平方根，它是0的本身；负数没有平方根。知识点三：平方根与算术平方根的区别和联系⒈平方根和算术平方根的区别⑴定义不同：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根；数a的非负数平方根叫做a的算术平方根。⑵个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个。⑶表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根为；⑷取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根那么是一正一负，且两数互为相反数。⒉平方根和算术平方根的联系⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那一个。⑵存在的条件相同：非负数才有平方根和算术平方根。⑶0的平方根和算术平方根都是0.13.2立方根知识点一：立方根的概念一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根，记为。其中a是被开方数，3是根指数，符号读作三次根号。知识点二：立方根的性质⒈正数的立方根是正数。⒉复述的立方根是负数。⒊0的立方根是0.知识点三：开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方和立方也互为逆运算，我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根。提示：开立方时，被开方数可以是正数、负数、0.另外当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的立方根。知识点四：两个重要公式﹙﹚³＝a＝a知识点五：立方根与平方根的异同⒈定义不同：如果x²=a，那么x叫做a的平方根；如果x³=a，那么x叫做a的立方根⒉个数不同：一个正数有两个平方根，他们互为相反数；负数没有平方根。而一个正数的立方根只有一个，且为正数；一个负数的立方根也只有一个，且为负数。⒊表示方法不同：非负数a的平方根记作±，数a的立方根记作，表示平方根时，根指数“2〞，一般省略不写，而表示立方根时，根指数“3〞绝对不能省略。⒋被开方数的取值范围不同：平方根±中，被开方数a的取值范围是非负数，即a≧0；立方根中，被开方数a的取值范围是任意数。⒌逆运算关系：平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算。13.3实数知识点一：无理数的概念定义：无限不循环小数叫无理数提示：⑴所有开不尽方的数都是无理数，如、、等。但要注意，并非带根号的数就一定是无理数，如、等。⑵圆周率及一些含的数都是无理数，如、＋1等。⑶不循环但有一定规律的无限小数是无理数，如1.010010001……等知识点二：实数的定义及分类定义：有理数和无理数统称实数知识点三：实数与数轴上的点的对应关系数轴：规定了、和的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。知识点四：实数的有关概念和性质⒈实数的相反数实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义是一样的，只是符号不同的两个数叫做互为相反数，即实数a的相反数是－a。假设实数a与b互为相反数，那么a+b=0；反之也成立。2、绝对值：绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.3.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1〔a≠0〕，就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；假设a≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；假设ab=1a、b互为倒数；假设ab=-1a、b互为负倒数.注意：①0没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。〔求一个数的倒数，不改变这个数的性质〕；④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。知识点五：实数的运算实数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。知识点六：实数的大小比拟对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。正实数大于0，负实数小于0，两个负数相比，绝对值大的反而小。第十四章一次函数14．1变量与函数知识点一：变量和常量在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。知识点二：函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值。提示：⑴函数的定义中包括三个要素：①自变量的取值范围；②两个变量之间的对应关系；③后一个变量被唯一确定而形成的变化范围⑵函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，必须是“对于x的每一个值，y都具有唯一的值与之对应〞。知识点三：函数解析式用来表示函数关系的等式就叫做函数关系式，也成为函数解析式。知识点四：函数自变量的取值范围1.、用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。2、用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。3、用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。4、假设解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各局部的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。5、对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义知识点五：函数的图象1、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．2、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表〔表中给出一些自变量的值及其对应的函数值〕；第二步：描点〔在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点〕；第三步：连线〔按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来〕。知识点六：函数的表示方法1、列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。2、解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。3、图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。一次函数知识点一：正比例函数概念一般地，形如y=kx〔k是常数，k≠0〕的函数，叫做正比例函数〔proportionalfunction〕，其中k叫做比例系数．知识点二：正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx〔k是常数，k≠0〕的图象是一条经过原点和〔1，k〕的直线．我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．解析式：y=kx〔k是常数，k≠0〕必过点：〔0，0〕、〔1，k〕走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴知识点三：正比例函数解析式确实定——待定系数法设出含有待定系数的函数解析式y=kx〔k≠0〕把条件〔一个点的坐标〕代入解析式，得到关于k的一元一次方程解方程，求出系数k将k的值代回解析式知识点四：一次函数概念一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k0)函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．知识点五：一次函数的图象和性质一次函数y=kx+b的图象是经过〔0，b〕和〔-，0〕两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.〔当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移〕〔1〕解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)〔2〕必过点：〔0，b〕和〔-，0〕〔3〕走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限〔4〕增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.〔5〕倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.〔6〕图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.知识点六：确定一次函数解析式的方法〔1〕根据条件写出含有待定系数的函数解析式；〔2〕将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；〔3〕解方程得出未知系数的值；〔4〕将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.知识点七：直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系〔1〕两直线平行：k1=k2且b1b2〔2〕两直线相交：k1k2〔3〕两直线重合：k1=k2且b1=b2知识点八：一次函数建模函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最正确方案、最正确策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线.这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：〔1〕从函数图象的形状判定函数的类型；〔2〕从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.14.3用函数观点看方程〔组〕与不等式知识点一：一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0〔a，b为常数，a≠0〕的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.知识点二：一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0〔a，b为常数，a≠0〕的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大〔小〕于0时，求自变量的取值范围.知识点三：一次函数与二元一次方程组〔1〕以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.〔2〕二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.第十五章整式的乘除与因式分解15.1整式的乘法知识点一：同底数幂的乘法am·an＝am＋n〔m、n为正整数〕同底数幂相乘，底数不变，指数相加．提示：〔1〕运用同底数幂的乘法法那么运算必须满足两个条件：①底数相同；②乘法运算。〔2〕同底数幂的乘法法那么中的a可以表示一个字母、一个数或一个多项式。〔3〕同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap＝am＋n＋p〔m、n、p为正整数〕〔4〕当指数为“1”时常常省略不写，计算时不要将“1例1：计算以下各题⑴a³·a²⑵﹙﹣3﹚¹·﹙﹣3﹚³⑶﹙a＋b﹚²·﹙a＋b﹚²⑷b·b²·b³例2：计算以下各题⑴﹣a³·﹙﹣a﹚²⑵﹙a－b﹚²﹙b－a﹚³⑶﹙a＋b－c﹚²﹙c－b－a﹚³注意：⑴在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按乘法法那么进行计算。⑵一般根据公式﹙n是正整数﹚来化为同底数的。知识点二：幂的乘方＝amn〔m、n为正整数〕幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：⑴指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘。⑵底数中带有负号时按有理数的乘方法那么进行化简。⑶运用幂的乘方法那么进行计算时应注意：①要注意符号的计算与处理；②切忌将幂的乘方与同底数幂相乘混肴。例3：计算以下各题⑴﹙z³﹚²⑵﹙10²﹚³⑶﹣﹙a²﹚³⑷[﹙a－b﹚³]³例4：计算以下各题⑴﹣[﹙a﹣b﹚²]³⑵﹙x²﹚²·﹙x﹚³⑶﹙y³﹚²＋﹙y²﹚³－2y·y³知识点三：积的乘方〔n为正整数〕积的乘方等于各因式乘方的积．注意：⑴在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为﹣1时的“﹣〞、括号里的“﹣〞与括号外的“﹣〞区别⑵注意按运算顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数幂的相乘。例5：计算以下各题⑴(﹣3xy²z)²⑵﹙﹣2ab²﹚²·﹙﹣2a²b﹚³⑶﹙3×10²﹚³×﹙﹣10³﹚²⑷[3﹙m＋n﹚²]³[﹣2﹙m＋n﹚³]²知识点四：单项式乘单项式单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式．提示：①把它们的系数相乘，包括符号的计算；②同底数幂相乘③单独字母的处理，三局部的乘积作为计算的结果例6:计算以下各题﹣3﹙﹣a²bc﹚²·a﹙bc﹚³－﹙﹣bac﹚³·﹙﹣abc﹚²知识点五：单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．多项式与多项式的乘法法那么：注意：⑴单项式乘多项式的每一项时不要忽略各项的符号；⑵单项式与多项式相乘，是用单项式乘遍多项式的每一项，不能漏乘，特别是常数项为±1时，尤其要细心；⑶确定积的每一项的符号时，一要看多项式中的每一项的符号，二要看单项式的符号。⑷算出的结果如有同类项应合并同类项。例7计算以下各题⑴﹙﹣3ab﹚﹙2a²b＋ab－1﹚⑵x﹙x－2﹚－2x﹙x＋1﹚－3x﹙x－5﹚例8化简求值3x²﹙2x²－x＋1﹚－x﹙3x³－4x²＋2x﹚,其中x＝－1知识点六：多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用式子表示﹙a＋b﹚﹙m＋n﹚＝am＋an＋bm＋bn例9计算以下各题⑴﹙a－2b﹚﹙5a＋3b﹚⑵﹙2x³－3x²＋1﹚﹙x³－x²－2﹚15.2乘法公式知识点一：平方差公式〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．提示：⑴平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，且这两个二项式的一项完全相同，另一项互为相反数；右边是完全相同项的平方减去互为相反数项的平方；⑵公式中的a、b可以是字母，也可以是数字，还可以是代数式；⑶平方差公式主要有8种变化形式：位置变化：﹙b＋a﹚﹙﹣b＋a﹚＝﹙a＋b﹚﹙a－b﹚＝a²－b²符号变化：﹙﹣a－b﹚﹙a－b﹚＝﹣﹙a＋b﹚﹙a－b﹚＝﹣﹙a²－b²﹚系数变化：﹙2a＋3b﹚﹙2a－3b﹚＝﹙2a﹚²－﹙3b﹚²＝4a²－9b²指数变化：﹙a²＋b²﹚﹙a²－b²﹚＝﹙a²﹚²－﹙b²﹚²＝增项变化：﹙a－b－c﹚﹙a－b＋c﹚＝﹙a－b﹚²－c²增因式变化：﹙a＋b﹚﹙a－b﹚﹙﹣a－b﹚﹙﹣a＋b﹚＝﹙a²－b²﹚[﹙﹣a﹚²－b²]＝﹙a²－b²﹚﹙a²－b²﹚＝－2a²b²＋连用公式变化：﹙a－b﹚﹙a＋b﹚﹙a²＋b²﹚﹙﹚＝﹙a²－b²﹚﹙a²＋b²﹚﹙﹚＝﹙﹚﹙﹚＝逆用公式变化：a²－b²＝﹙a＋b﹚﹙a－b﹚例1：计算⑴﹙﹣x＋y﹚﹙x＋y﹚⑵﹙x－y－z﹚﹙x－y＋z﹚⑶﹙x－y﹚﹙x＋y﹚﹙x²＋y²﹚⑷2002²－2000²⑸99×101知识点二：完全平方公式〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2〔a－b〕2＝a2－2ab＋b2文字语言表达：两个数的和〔或差〕的平方等于这两个数的平方和加上〔或减去〕这两个数的积的2倍．提示：⑴完全公式包括两个：第1个称为和的完全平方，第2个称为差的完全平方⑵两个公式的共同点在于：左边是相同的两个项式相乘，右边是一个三项式，首末两项分别是左边二项式中的两项的平方，中间项是二项式中两项乘积的2倍，符号与左边两项之间的符号一致；⑶右边这种结构的三项式成为完全平方；⑷公式变化：a²±2ab＋b²＝﹙a±b﹚²a²＋b²＝﹙a＋b﹚²－2ab＝﹙a－b﹚²＋2ab﹙a－b﹚²＝﹙a＋b﹚²－4ab﹙a＋b﹚²＝﹙a－b﹚²＋4ab﹙a＋b﹚²＋﹙a－b﹚²＝2﹙a²＋b²﹚﹙a＋b﹚²-﹙a－b﹚²=4abab=a²＋＝﹙﹚²－2a²＋b²＋c²+ab+ac+bc＝[﹙a＋b﹚²＋﹙b＋c﹚²＋﹙a＋c﹚²]﹙a+b+c﹚²＝a²＋﹙b＋c﹚²＝a²＋2a﹙b＋c﹚＋﹙b＋c﹚²例2：计算⑴﹙3a＋b﹚²⑵﹙－2＋3a﹚²⑶﹙－2x－3y﹚²立方差a³－b³=〔a－b〕(a²＋ab＋b³)立方和…….a³＋b³=(a＋b){a²－ab＋b²}15.3整式的除法知识点一：幂的除法＝am－n〔a≠0，m、n都是正整数，且m＞n〕同底数幂相除，底数不变，指数相减．注意：〔1〕底数a不能为0，假设a为零，除法就没有了意义了。|〔2〕公式后面的“a0,m.n都是正整数,并且m＞n〞是此法那么的一局部,不要漏掉!⑶同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算,两者不要混肴.例1:计算以下各题⑴÷x³⑵(-a)³÷a⑶(2xy)³÷﹙2xy)²⑷÷知识点二:零指数幂的意义任何不等于0的数的0次幂都等于1用式子表示为(a≠0)例2:假设,求x的值知识点三:单项