2023年云南省会泽县高三第二次调研数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z的共轨复数是三，且|z|=I+l-2i3为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2

2.设耳，工分别是双线y2=i（a>0）的左、右焦点，。为坐标原点，以耳凡为直径的圆与该双曲线的两条渐近

a~

线分别交于A,8两点（A3位于），轴右侧），且四边形。4尼8为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x±y=0B.氐土y=0C.》±岛=（）D.3x±y=0

3.如图，平面四边形ACBO中，AB1BC,AB±DA,A」B=AD=1,BC=O,现将△ABO沿AB翻折，使

点。移动至点尸，且P4_LAC,则三棱锥ABC的外接球的表面积为（）

4.如图所示，正方体ABC。—AgG4的棱AB,A2的中点分别为E，F,则直线跖与平面所成角的

正弦值为（）

AV5R730„V6N2A/5

5665

5.已知，（1一出）=2+初（i为虚数单位，a,beR）,则必等于（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

6.设“，b,c分别是AABC中NA,NC所对边的边长，则直线sin-今-c=0与bx+siny+sinC=0

的位置关系是()

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

尤2

7.已知x>0,a=x,b=x——,c=ln(l+x),贝||()

2

A.c<b<aB.h<a<cC.c<a<bD.b<c<a

8.。〃。力〃⑸a〃/，则。与〃位置关系是()

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

9.己知集合M={y|-l<y<3},N={%|尤(2尤一7),,()},则MuN=()

A.[0,3)B.(0,gC.f-l,1D.0

10.已知在平面直角坐标系中，圆G：(x-〃?)2+(y-〃2-6)-=2与圆。2；(x+l)-+(y-2)-=1交于A,B

两点，若|Q4|=|O8],则实数，”的值为()

A.1B.2C.-1D.-2

11.若x>0,y>0,贝！)"％+2丁=2后>的一个充分不必要条件是

A.x=yB.x=2y

C.x=2且y=lD.x=y或y=l

12.在AABC中，"cosA<cosB'^"sinA>sinB'^()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示梯子结构的点数依次构成数列｛可｝,则％«)=.

••

••••

••••••••

••••••••••I

14.某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为.

正(主)视图侧(左)视图

俯视图

15.如图所示，在正三棱柱ABC-A与G中，。是AC的中点，胡：45=0:1,则异面直线Aq与3。所成的角

为一•

16.在AABC中，(丽—丸恁)_L就(X>1),若角A的最大值为?，则实数4的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在平面直角坐标系X”中，曲线。的方程为丁-2彳+丁=0.以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立

极坐标系，直线/的极坐标方程为。=。(P€/?).

(1)写出曲线C的极坐标方程，并求出直线/与曲线C的交点N的极坐标；

(2)设尸是椭圆工+丁=1上的动点，求APA/N面积的最大值.

4-

1

18.(12分)已知函数f(x)=万依7-+(1-a)x-lnx,aeR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若ae(-oo,l),设g(x)=xe*-x-lnx+a,证明：Vx,e(0,2J,3x2e(0,+oo),使/(xj-g(w)>2-ln2.

())fa“，〃为奇数

19.(12分)已知数列%,｛hn｝,数列q,满足c.="nGN,.

4，“为偶数

(D若%=〃，2=2",求数列｛c“｝的前2〃项和Q；

(2)若数列｛q｝为等差数列，且对任意“eN*，c,+i>q,恒成立.

①当数列也｝为等差数列时，求证：数列｛4｝,也｝的公差相等；

②数列也｝能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列出｝;若不能，请说明理由.

20.(12分)设。为实数，在极坐标系中，已知圆。=2asin。(a>0)与直线pcos(e+?)=1相切，求a的值.

21.(12分)已知抛物线M：f=2py(〃>0)的焦点尸到点N(-1,-2)的距离为何.

(1)求抛物线M的方程；

(2)过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A,B,点A、8分别在第一和第二象限内，求AABN的面积.

22.(10分)选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)

ak\Fk

已知矩阵A=0[(导0)的一个特征向量为a=],

A的逆矩阵Ar对应的变换将点(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

设2=%+苗(匕y€??),整理［z|=N+l-2,得到方程组〈次歹=尤+［解方程组即可解决问题.

y+2=0

【详解】

设2=%+歹(%,了wR),

因为|z|=z+\-2i,所以+y2=X-yj+1_2i=(x+1)-(y+2)i,

所以复数z在复平面内对应的点为（g，-2）,此点位于第四象限.

故选D

【点睛】

本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题.

2.B

【解析】

由于四边形0A与8为菱形，且|06所以AA。工为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形。为菱形，|0闾=|。4|=|0.，所以4A。居为等边三角形，ZAOF2=60°,两渐近线的斜

率分别为G和-6•

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

3.C

【解析】

由题意可得24上面ABC,可知Q4_LBC,因为则3c，面。46,于是BC_LPB.由此推出三棱锥

。一ABC外接球球心是PC的中点，进而算出CP=2,外接球半径为1,得出结果.

【详解】

解：由翻折后得到Q4LA3,又Q4_LAC,

则B4_L面ABC，可知PAJ_BC.

又因为A3_L3C,则8。_1面243,于是

因此三棱锥P-ABC外接球球心是PC的中点.

计算可知CP=2,则外接球半径为1,从而外接球表面积为4%.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,

属于中档题.

4.C

【解析】

以D为原点，DA,DC,DDi分别为x,、z轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AAiDiD所成角

的正弦值.

【详解】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为2,

则E（2,l,0）,F（l,0,2）,而=（TT2）,

取平面AARD的法向量为方=（O/,O）,

EF万j6

设直线EF与平面AAiDiD所成角为9,则sin0=|cosEF,n|=|1=不

直线防与平面朋。。所成角的正弦值为迈.

6

故选C.

z

【点睛】

本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题.

5.A

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解.

【详解】

•/i(\—al)=2+hi9

:.a+i=2+初，得Q=2,b=l.

.\ab=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.

6.C

【解析】

试题分析：由已知直线sin4x—ay—c=0的斜率为吧/,直线fex+sin8-y+sinC=0的斜率为一’—，又由正

asinB

弦定理得型=亘1,故型两直线垂直

abaVsnBjbsinBJ

考点：直线与直线的位置关系

7.D

【解析】

令/(x)=ln(l+x)-X--,求/'(x),利用导数判断函数为单调递增，从而可得ln(l+x)>x—二，设

<)2

g(x)=ln(l+x)—x,利用导数证出g(x)为单调递减函数，从而证出Vx>O,ln(l+x)<x,即可得到答案.

【详解】

九~

x>0时，x>x----

2

令/(x)=ln(l+x)-x-弋］,求导/tX)=―J---1+x=——

(2)1+x1+x

Vx>0,f'(x)>Q,故/(x)单调递增：/(x)>/(0)=0

x2

ln(l+jc)>X-—>

当x>(),设g(x)=ln(l+x)-x,

又：g(o)=。，

g(x)=ln(l+x)-x<0,即VA:>0,ln(l+x)<x,

,2

故x>ln(l+龙)〉x一万x.

故选：D

【点睛】

本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.

8.D

【解析】

结合图(1),(2),(3)所示的情况，可得a与方的关系分别是平行、异面或相交.

y7/~

-----b/b/b

Zz/7

(I)(2)(3)

选D.

9.C

【解析】

先化简N={X|X(2X-7)皴0}={X|OA?|L再求MUN.

【详解】

因为N={x|x（2x—7）领0}=卜|0A?

又因为M={y|-l<y<3},

所以MuN=11,（,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.

10.D

【解析】

由|。4|=|0叫可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.

【详解】

因为|Q4|=|O8|,所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，0（0,0）,。1（加,加+6）,。2（—1,2）三点

共线，所以--=-2,得加=—2,故选D.

m

【点睛】

本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.

11.C

【解析】

,/x>0,y>0,

：.x+2y>2y/2xy,当且仅当x=2y时取等号.

故"x=2,且y=1”是“x+2y=2KB”的充分不必要条件.选C.

12.C

【解析】

由余弦函数的单调性找出cosA<cosB的等价条件为A>B,再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出

“cosA<cos3”是"sinA>sin5”的充分必要条件.

【详解】

•.,余弦函数y=cosx在区间（0,〃）上单调递减，且0<A<%,0<B<7T,

由cosAccos3,可得A>8,由正弦定理可得sinA>sin

因此，“cosA<cosB”是"sinA>sin的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力,

属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.5252

【解析】

根据图像归纳为=2+3+4+...+"+2,根据等差数列求和公式得到答案.

【详解】

根据图像：4=2+3,々=2+3+4,故4=2+3+4+...+〃+2,

.(2+102)x101

故40G=2+3+4+…+102=^------f------=5252.

故答案为：5252.

【点睛】

本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4

14.-

3

【解析】

利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.

【详解】

此四棱锥的高为底面是长为0,宽为2的矩形,

所以体积丫=！乂2乂&乂0=d.

33

4

所以本题答案为；.

【点睛】

本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确

理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.

15.60°

【解析】

要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两

条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角.

【详解】

取AG的中点E,连AE,用E,易证用E_L面ACGA于点E,；.NA用E为异面直线A4与所成角，

ABE1

设等边三角形边长为。，易算得4七=半"••在R/A4BE中，COS/AB|E=笈-=5

乙4&E=60°

本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方

法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求.

16.1

【解析】

把向量册进行转化，用X表示cosA,利用基本不等式可求实数/I的值.

【详解】

(AB-2AC)•(-AB+AC)=-c2-Ab2+(2+\)bccosA=0

cosA=-^(—+-)>^=—,解得2=1.

Z+lcbA+]2

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)Q=2COS6,M(0,0),(2)乎.

【解析】

(D利用公式即可求得曲线C的极坐标方程；联立直线和曲线C的极坐标方程，即可求得交点坐标;

(2)设出点P坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.

【详解】

(1)曲线C的极坐标方程：p=2cos6»

p-2cos，

联立＜71，得又因为M(0,0)都满足两方程,

V———

3

故两曲线的交点为M(o,o),N1,?

(2)易知=直线/：/=瓜.

126cosa-sina

设点P(2cosa,sina),则点尸到直线/的距离,=

2

Spw=--\MN\-d=即皿（a到（其中tan。）•

△yMN2II|

:公PMN面积的最大值为晅.

4

【点睛】

本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题.

18.(1)见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）/'（x）=（"x+］）D（x〉0）,分-\<a<0,a=-\,“<-1四种情况讨论即可;

⑵问题转化为/(4血-g()加>2—ln2,利用导数找到/(x),nin与g(x)min即可证明.

【详解】

,、c、/、/<\1(QX+1)(尤一1)/小

(1)f(x)=ax+(l-a)=----------(x>0).

①当。20时，融+1>0恒成立，

当0<x<l时，/'(x)<0；

当x>l时，/'(力>0,所以,

/(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数.

②当一1<。<0时，—>1,

a

当0<x<l时，/(x)<0；

当1cxe-工时，/(x)>0；

当时，/(x)<0,所以，

/(X)在(0,1)上是减函数，在［1,一,］上是增函数,

\a)

在［一：,+8)上是减函数.

③当”=一1时，/(上｛―1)K0，

则在((),+◎上是减函数.

④当。<一1时，—<1,

a

当0<xv-时，/'(%)<0；

当一4<x<1时，/'(x)>0；

a

当尢>1时，./(x)〈0,

所以，/(X)在上是减函数，

在(一！,1］上是增函数，在(1,+8)上是减函数.

\a

⑵由题意，得了GL-gaL〉？-ln2.

由(1)知，当“<-1,xe(O,2]时，，/(2)1，

/HP(2)=_inH)_i-i+in2-

令/z(x)=-lnx+g九一l+ln2,xe(0,l),/«x)=\?<0

故人(力在(0,1)上是减函数，有M尤)>//(l)=ln2—3=ln/〉0,

所以《一£)<〃2)，从而“x：L=〃2)=2Tn2.

x

g(x)=xe—x—lnx+a9xe(0,+oo),

则g(x)=(x+l)卜-}}

令G(x)=e'-L显然G(x)在(0,+8)上是增函数，

X

且G(g[=G2<0,G(l)=e-l>0,

所以存在使G(Xo)=e%-J=O,

且g(x)在(0,%)上是减函数，

在(小,”)上是增函数，

g(%)min=g(&)=Xoe"_/_ln/+a=l+a<O，

所以+2-ln2=l+a+2-ln2<2-ln2,

所以/()血>8(比血+2-足2,命题成立.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.

4〃十14

19.(1)4“=、+〃2_g(2)①见解析②数列也,}不能为等比数列，见解析

【解析】

(1)根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；

(2)①设数列｛4｝的公差为d,数列也｝的公差为4,当"为奇数时，得出当〃为偶数时，得出

从而可证数列｛4｝,｛b„]的公差相等；

②利用反证法，先假设｛d｝可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列｛a｝不能为等比数列.

【详解】

(1)因为2=2",所以4+2一”"=2，常^=4且q=q=l,C2=2=4

由题意可知，数列｛。2,一｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

数列｛。2“｝是首项和公比均为4的等比数列，

在n(n-l)°4(1—4")4n+14

所以7；,,="+—-----°x2+--------=——+n2一一；

2"21-433

(2)①证明：设数列｛4｝的公差为4,数列也｝的公差为4，

当n为奇数时，cn=an=6+(〃-l)d,=bn+i=bt+nd]

ci,—d—b.

若4<d,则当〃〉-“二“一时，q,+i-q,=(4-d)〃+d—q<0,

即。,用<c”,与题意不符，所以&Nd,

当〃为偶数时，C,=bn=4+(〃-1)4,cn+i=an+l=at+nd,

b,-d,—ci,,

若4>d,则当〃〉一--i—时，c.+|-q,=3-4)〃+6+4-白<0,

u-u।

即C〃+I<C"，与题意不符，所以

综上，d｝-d,原命题得证；

②假设｛4｝可以为等比数列，设公比为g,

b09

因为C.+I>C”，所以C“+2>C"+1>c〃，所以4+2-%=2d>0，,=q">1,

,,4d

因为当〃"咻丽F时,

02-可=闻⑷-1)=I叶|才，(--1)>4d，

所以当”为偶数，且《I<d<见+|时，/+2史(氏+1，4+3)，

即当n为偶数，且%<cn<c,川时，cn+l<cn+2<q”3不成立，与题意矛盾，

所以数列也}不能为等比数列.

【点睛】

本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要

回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心

素养.

20.。=2+&

【解析】

将圆。=2asin8和直线pcos[e+(]=1化成普通方程.再根据相切，圆心到直线的距离等于半径，列等式方程，解方程

即可.

【详解】

解:将圆p=2asin。化成普通方程为f+y=2ay，整理得/+(/一姨=/.

将直线2cos[。=1化成普通方程为x-y-夜=0.

|«+V2I

因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即।~=J=a

V2

解得a=2+也.

【点睛】

本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，是基础题.