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文档简介
八年级数学下-专题:17.8勾股定理的逆定理(基础篇)(专项练习)
一、单选题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
1.下列各组线段中,能够组成直角三角形的一组是()
A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.1,近,有
2.下列条件:①从=。2一/=③。2:c=④ZA:ZB:NC=3:4:5,
能判定AABC是直角三角形的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
3.点4(2,4,6(2,“5)在平面直角坐标系中,点。为坐标原点.若%是直角三角形,
则必的值不可能是()
A.4B.2C.1D.0
4.下列叙述中,正确的是()
A.直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方
B.如果一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
C.AABC中,ZA,ZB,ZC的对边分别为a,b,c,若不+产=c?,则/A=90°
D.AABC中,ZA,ZB,ZC的对边分别为a,b,c,若NB=90°,贝!|c?-a)=b?
类型三、网络中判断直角三角形
5.在如图所示的方格纸中,点A,B,。均为格点,则乙转C的度数是()
A.30°B.35°C.45°D.60°
6.如图,每个小正方形的边长都是1,A,B,C分别在格点上,则NABC的度数为0
A.30°B.45°C.50°D.60°
类型四、利用直角三角形的逆定理求解
7.如图,在△/回中,AB=12,BC=13,AC=5t贝ij回边上的高AD为()
A.3B.4*D.4.8
8.如图,四边形力"9中,力耳=3。勿,47=4砌8c=13c%,CZ>=12砌且N/=90°,则四边形
力85的面积为()
C.22cliD.36ent
类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
9.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△?!笈的的顶点都在格点上.则N/6C的度
数为()
A.120°B.135°C.150°D.165°
10.在海面上有两个疑似漂浮目标.接到消息后,4舰艇以12海里/时的速度离开港口。,向
北偏西50°方向航行.同时,6舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶,如图所
示,离开港口L5小时后两船相距30海里,则8舰艇的航行方向是()
A.北偏东60°B.北偏东50°C.北偏东40°D.北偏东30°
类型六、勾股定理逆定的拓展运用
11.已知一个三角形三边长分别是4,9,12,要作最长边上的高正确的图形做法是()
12.在AA8C中,NA、NB、NC的对边分别记为“、b、c,下列结论中不正确的是()
A.如果NA-N8=NC,那么AABC是直角三角形
B.如果/=〃+。2,那么AABC是直角三角形
C.如果/A:NB:/C=3:4:5,那么AABC是直角三角形
D.如果a:6:c=3:4:5,那么A48C是直角三角形
二、填空题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
13.若一个三角形的三边之比为5:12:13,且周长为60cm,则它的面积为cm2.
14.若的三条边a,6,c满足关系式:d+NC?-a*-6'=0,则笫的形状是
类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点
15.已知在平面直角坐标系中/(-26,0)、8(2,0)、<7(0,2).点夕在x轴上运动,当点产
与点人B、C三点中任意两点构成直角三角形时,点P的坐标为.
16.如图,在AA3C中,AC=BC,CDVAB,CD=5,AB=24.E是A8边上的一个动点,点
F与点A关于直线CE对称,当△田■为直角三角形时,AE的长为_______.
类型三、网络中判断直角三角形
17.如图,正方形网格中,每一小格的边长为1.网格内有△乃历,则/胡8+/战的度数是
18.如图,点/、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点,则NABC=
类型四、利用直角三角形的逆定理求解
19.已知三角形的三边分别是6,8,10,则最长边上的高等于.
20.已知一个三角形的三边长分别为右cm、3cm、2cm,则这个三角形的面积为___cm2.
类型五、勾股定理的逆定理的实际运用
21.如图,甲、乙两艘客轮同时离开港口C,各自沿一固定方向航行,甲客轮每小时航行
16nmile,乙客轮小时航行12nmiIe,它们离开港口一个半小时后分别位于点A、B处,且相
距30nmile.如果知道甲客轮沿着北偏西45。的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是
22.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口。出发,如图所示,轮船从港口。沿北偏
西20°的方向航行60海里到达点A处,同一时刻渔船已航行到与港口。相距80海里的点B
处,若从8两点相距100海里,则渔船在港口南偏西「的方向.
类型六、勾股定理逆定的拓展运用
23.△{a'的三边长分别为a、b、c.下列条件:①/C;②
3:4:5;③,=(加c)(6-c);④a:6:c=3:4:5,其中能判断是直角三角形的个数有___个.
24.如图,点C为直线/上的一个动点,ADJJ于。点,BEL于E点,AD^DE=4,BE=1,
当CO长为AA8C为直角三角形.
三、解答题
25.如图,△/以中,a'的垂直平分线应■分别交力及BC于点、。、£且酬-%2=4优
(1)求证:N1=90°;
⑵若4?=8,AD-.BD=3:5,求4。的长.
26.在平面直角坐标系中,己知点力(-3,2),6(-1,0),C(-2,-1).
⑴请在图中画出△四C并画出与△月比关于y轴对称的图形.
(2)试判定△49。的形状,并说明理由.
2■
1.
-4-3-2-101234>X
-1■
~2-
27.如图,在△/回中,4?=7cm,AC=25cm,%'=24cm,动点/从点A出发沿四方向以lcm/s
的速度运动至点反动点。从点8出发沿8c方向以6cm/s的速度运动至点C只。两点同时
出发.
(1)求N8的度数;
(2)连接PQ,若运动2s时,求P、。两点之间的距离.
28.笔直的河流一侧有一营地C,河边有两个漂流点A,B、其中AB=AC,由于周边施工,由C
到A的路现在已经不通,为方便游客,在河边新建一个漂流点H,8在同一直线上),并新
修一条路CH,测得8c=10千米,C//=8千米,R/=6千米.
(1)判断△6a7的形状,并说明理由;
(2)求原路线4C的长.
29.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的关系式,显然,满足这个关系
式的x,y,z有无数组.当x,y,z都为正整数时,我们把这样的三个数Z%z叫做勾股数,
如,3,4,5就是一组勾股数.
(D请你再写出两组勾股数:,;
(2)古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果”表示大于1的整数,x=2〃,y=〃2_],z=〃2+14B
么,乂y,z为勾股数,请你加以证明.
参考答案
1.D
【详解】
试题分析:A.F+22/3。不能组成直角三角形,故错误;
B.2z+32工干,不能组成直角三角形,故错误;
C.42+5?*6?,不能组成直角三角形,故错误;
D.F+(&尸=(6)2,能够组成直角三角形,故正确.
故选D
考点:勾股定理的逆定理.
2.C
【分析】
根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论.
【详解】
^:@b2=c2-a2即。2+从=。2,4/欧是直角三角形,故①符合题意;
②•.•/』+/班/e180°
...//+/伊比180°,即//=90°,
...△力%是直角三角形,故②符合题意;
③*.*a:b:c=—:一:一,
345
、几k1kk
设‘产
...△力%不是直角三角形,故③不合题意;
④;ZA:ZB:NC=3:4:5,
.../田,?「义180°=75。,故不是直角三角形;故④不合题意.
3+4+5
综上,符合题意的有①②,共2个,
故选:C.
【点拨】本题主要考查了直角三角形的判定方法.①如果三角形中有一个角是宜角,那么这
个三角形是直角三角形;②如果一个三角形的三边a,b,c满足才+/=片那么这个三角形是直
角三角形.
3.B
【分析】
分N0AB=90°,N0BA=90°,ZAOB=90"三种情况考虑:当N0AB=90°时,点A在x轴上,
进而可得出m=0;当/0BA=90°时,点B在x轴上,进而可得出m=5;当/A0B=90°时,利
用勾股定理可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值.综上,对照四个选项即可
得出结论.
【详解】
解:分三种情况考虑(如图所示):
当N0AB=90°时,m=0;
当/0BA=90°时,m-5=0,解得:m=5;
当NA0B=90°时,AB2=OA2+OB?,即25=4+m2+4+m--10m+25,
解得:mi=l,nh=4.
综上所述:m的值可以为0,5,1,4.
故选B.
【点拨】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理,分/OAB=90°,N0BA=90°,NA0B=
900三种情况求出m的值是解题的关键.
4.B
【分析】
根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解.
【详解】
解:•••由勾股定理知,直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,而直角边应该都小
于斜边,所以直角三角形中,应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方,.A错误;
•••由勾股定理的逆定理可得:如果一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,那么这个
三角形是直角三角形,;.B正确;
•••为斜边,c的对角NC=90°,错误;
•..△ABC中,ZA,ZB,ZC的对边分别为a,b,c,ZB=90°,Ab为斜边,a2+c2=〃,D错误;
故选B.
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用,注意勾股定理是“两直角边的平方和等
于斜边的平方”,所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键.
5.C
【分析】
先利用勾股定理分别求解AC2,BC2,AB2,再证明AC=8C,AC?+5C?=AB?,从而可得答案.
【详解】
解:如图,连接4C
由勾股定理得:AC2=12+22=5,BC?=12+22=5,AB?=12+32=10,
AC=BC,AC1+BC2=AB2,
\?ACB90革巴A3C=?3AC45?,
故选C
【点拨】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用,熟悉“利用勾股定理的逆定理
判断直角三角形”是解题的关键.
6.B
【分析】
利用勾股定理的逆定理证明△4力为等腰直角三角形即可得到的度数.
【详解】
解:连接AC,
由勾股定理得:心陷々+22=后,仍々+32=晒,
;"+初=初=10,
...△4?。为等腰直角三角形,
:.ZA3O45°,故选B.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理,解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长,由
勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形.
7.C
【分析】
根据勾股定理逆定理可证明AABC是直角三角形,再利用直角三角形的面积公式可得
;xl2x5=;xl3xA。,解可得答案.
【详解】
解:•.•52+122=132,
AC2+AB2=BC2,
.•.A48c是直角三角形,
SMC=^AB.AC=^BC.AD,
-xl2x5=-xl3xA£>,
22
.3叱
13
故选:C.
【点拨】本题主要考查了勾股定理逆定理,关键是掌握如果三角形的三边长巴乩c满足
/+尸=02,那么这个三角形就是直角三角形.
8.D
【分析】
首先连接BD,再利用勾股定理计算出物的长,再根据勾股定理逆定理计算出N少90°,然后
计算出直角三角形4川和直角三角形加。的面积,即可算出答案.
【详解】
解:如图,连接加,
4=90°,仍3a4仍4cw,
BA7AB2+AEr=,3?+4?=5(c〃),
;Bg3cm,Cl)=\2cm,52+122=132,
:.B^+Cff=CEf,
驱>90",
2
S4OK=LXDBXCD=—X5X12=30(c/z?),
22
S久MF-X3X4=6(ciif),
四边形ABCD的面积为30+6=36(c苏),
故选:D.
【点拨】本题主要考查了勾股定理,以及勾股定理的逆定理,解决此题的关键是算出功的长,
证明△3%是直角三角形.
9.B
【分析】
根据勾股定理逆定理证明N〃是直角,结合盼切得N加华45°,从而得到N/6C.
【详解】
如图,延长射线16交格点于点D,
•..每个小正方形的边长为1
AB=BD=CD=qf+爰=BBC="+3?=晒
':BD2+DC2^BC2
.,.ZJ9=90°
又*:BACD
二△时是等腰直角三角形
:.ND吃45°
:.Z^O180°-ZDBC=180°-45°=135°
故选B.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理,利用勾股定理逆定理证明是直角是解决本题的
关键.
10.C
【分析】
根据题意求出的、如的长度,根据勾股定理逆定理可得△/如为直角三角形,N/5=90°,
继而可得力舰艇的航行方向.
【详解】
解:由题意,得:/庐30海里,
〃=12X1.5=18(海里),
陟16XI.5=24(海里),
,/三+团=11+242=900,
四=3()2=900,
:.0代+0音=4反
:.ZAOB=90°,
•.3舰艇向北偏西50°方向航行,
•••3舰艇的航行方向为北偏东40°.
故选C.
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理的应用,方位角的知识.在△放中,若J+b'cZ,那么
为直角三角形.
11.C
【分析】
由三角形的三边为4,9,12,可知该三角形为钝角三角形,其最长边上的高在三角形内部,即
过最长边所对的角的顶点,作对边的垂线,垂足在最长边上.
【详解】
解::1+9J97V12)
...三角形为钝角三角形,
最长边上的高是过最长边所对的角的顶点,作对边的垂线,垂足在最长边上.
故选:C.
【点拨】本题考查了三角形高的画法.当三角形为锐角三角形时,三条高在三角形内部;当
三角形是直角三角形时,两条高是三角形的直角边,一条高在三角形内部;当三角形为钝角三
角形时,两条高在三角形外部,一条高在内部.
12.C
【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可.
【详解】
选项A中如果NA-NB=NC,由NA+NB+NC=180°,可得NA=90°,那么AABC是直角三
角形,选项正确;
选项B中如果a2=b2+c;那么4ABC是直角三角形,选项正确;
选项C中如果NA:NB:NC=3:4:5,由NA+/B+NC=180°,可得NA=45°,NB=60°,ZC
=75。,没有直角,不是直角三角形,故选项C错误,
选项D中如果a:b:c=3:4:5,满足2知)2=上那么4ABC是直角三角形,选项正确;
故选:C
【点拨】考查直角三角形的判定,学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键,并结合
直角三角形的定义解出此题.
13.120
【分析】
设三边的长是5%12x,13%根据周长列方程求出”的长,则三角形的三边的长即可求得,然
后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形,然后利用面积公式求解.
【详解】
解:设三边分别为5x,12x,13x,
贝lj5A+12户13x=60,
x=2,
,三边分别为10cm,24cm,26cm,
V102+242=262,
...三角形为宜角三角形,
A5=10X244-2=120cm2.
故答案为:120.
【点拨】本题考查三角形周长,一元一次方程,直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理
解与运用,三角形面积,比较基础,掌握三角形周长,一元一次方程,直角三角形的判定以及勾
股定理逆定理的理解与运用,三角形面积是解题关键.
14.直角三角形或等腰三角形
【分析】
将a'+Z;2?-b'=0因式分解,然后分析不难得到三角形的形状.
【详解】
22
解答:解:•.•才+6得.ac-4=0,
;.5+/5-摘-2(才书)=0
:人/心画+6f=0
;.a2f2=0或才+万芳;。
...△/1比为等腰三角形或直角三角形.
故答案为:直角三角形或等腰三角形.
【点拨】此题主要考查学生对因式分解法,等腰三角形的判定及勾股定理的综合运用能力,
关键是对等式进行合理的因式分解.
15.(0,0),(亚,0),(-2,0)
3
【分析】
因为点只48在x轴上,所以24、8三点不能构成三角形.再分心△必。和77△党两
种情况进行分析即可.
【详解】
解:•.•点只4、8在x轴上,
:.P、/、6三点不能构成三角形.
设点户的坐标为(",0).
当△为「为直角三角形时,
①/4^=90°,易知点尸在原点处坐标为(0,0);
②N/g90°时,如图,
,/N/g90°
:.A(i+PCl=AP,
(2后+22+m2+22=(m+273)2,
解得,皿=逆,
3
点户的坐标为(2叵,0);
3
当为直角三角形时,
①NBPC=90;易知点尸在原点处坐标为(0.0);
②/及孑=90。时,
■:NBCP=9Q:COLPB,
:.PgBg2,
点尸的坐标为(-2,0).
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理,涉及到了数形结合和分类讨论思想.解题的关键
是不重复不遗漏的进行分类.
16.7或17
【分析】
分当〃在线段4。上时,当£在线段加上时分别求解即可.
【详解】
解:当£在线段4〃上时,
连接您作/关于龙的对称点人连接小硒/
殴90°,
3600-90°。
AAAEOZFEC-——-——=135°,
.•./第>45°,
。吩5,
―外砂12-5=7;
当£在线段做上时,
连接CE,作A关于四的对称点F,连接EF,CF,AF,
•.Z*90°,
:.NCED小45°,
:.ED^CD=l,
:.AB=AD^DE=17,
故答案为:7或17.
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,等腰直角三角形的性质,轴对称的性质,解
本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题.
17.45°45度
【分析】
延长PC到点C,使得PC=AP,连接BC,根据勾股定理的逆定理可得史CB为等腰直角三
角形,即可求解.
【详解】
解:延长PC到点C,使得尸C=AR连接BC,如下图:
由勾股定理得:PC=AP=#+22=6,8c=«+22=6,BP=Vl2+32=>/10
PC=BC,BP2=PC2+BC2,
:.APCB为等腰宜角三角形,
ZPAB+ZPBA=NCPB=45°,
故答案为:45。,
【点拨】此题考查了勾股定理,勾股定理的逆定理,三角形外角的性质,解题的关键是利用相
关性质,构造出等腰直角三角形,正确进行求解.
18.45°
【分析】
利用勾股定理可求出AS,AC,芯的长,进而可得出A扣AG+BJAOBC,利用勾股定理的逆定
理可得出为等腰直角三角形,再利用等腰直角三角形的性质,可得出/4胫45°.
【详解】
解:连接AC,
根据题意,可知:初=『+22=5,^=12+22=5,J^=l2+32=10.
:"E=Ad+Bd,AC-BC,
为等腰直角三角形,
.•.//除45°.
故答案为:45°.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质,利用勾股定
理的逆定理及AOBC,找出△{加为等腰直角三角形是解题的关键.
19.经
5
【分析】
根据勾股定理的逆定理,得这个三角形是直角三角形;根据直角三角形的面积计算,即可得到
答案.
【详解】
•.•三角形的三边分别是6,8,10,
XV62+82=102
•••这个三角形是直角三角形
:‘X最长边上的高xlO=2x6x8
22
最长边上的高为:誓
故答案为:三24.
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理的知识;解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理,从
而完成求解.
20.75
【分析】
根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形,再根据直角三角形的面积公式求出面积即
可.
【详解】
解:•::.角形的一边长分别为石cm、3cm、2c0,
...(/)2+22=3?,
这个三角形是直角三角形,斜边长为3c网
这个三角形的面积为:x2X石=石(c疗),
故答案为:石.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积,能求出三角形是直角三角形是解此
题的关键.
21.北偏东45°(东北方向)
【分析】
根据题意求得AC、BC、A8的长度,根据勾股定理逆定理求得AA/3C为直角三角
形,ZACB=90°,即可求解.
【详解】
解:由题意可知:AC=16xl.5=24nmile,8c=12x1.5=18nmile,AB=30nmile
Nl=45°
,/242+182=302,即AC2+BC2=AB2
AABC为直角三角形,ZACB=90°
/.N2=45。,即乙客轮的航行方向为北偏东45。(东北方向)
故答案为:北偏东45。(东北方向)
【点拨】此题考查了勾股定理的逆定理,解题的关键是根据题意求得三角形的边长并通过勾
股定理逆定理判定为直角三角形.
22.70
【分析】
求出优+组=?!式根据勾股定理的逆定理得出//施=90°,根据平角定义求出即可.
【详解】
解::04=60海里,6®=80海里,AB=100海里,
/.M+窗=初,
.•.//仍=90°
•.•/小3=20°,
.•.ZW=180°-20°-90°=70°,
故渔船在港口南偏西70°的方向,
故答案为:70.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用,能根据勾股定理的逆定理求出户90°是
解此题的关键.
23.3.
【分析】
①根据/A=NB-ZC,ZA+ZB+ZC=180°可解得NB=90°
②根据/A:NB:NC=3:4:5,NA+NB+NC=180°,分别计算出角度,有90°角的即为直角
三角形.
③把右边括号乘开,根据勾股定理判断即可.
④直接把三边长分别看成3,4,5,再根据勾股定理即可判断.
【详解】
①NCN4+N6+/Q180°,解得N6=90°,所以是直角三角形;
②/力:/8:/仁3:4:5,/♦+/母NC=180°,解得//=45°,N6=60°,NC=75°,故不
是直角三角形;
③..“2=(加c)(6-c),:.^+c2=lf,根据勾股定理的逆定理是直角三角形;
@Va:A:c=3:4:5,r.^-c2,根据勾股定理的逆定理是直角三角形.
•••其中能判断是直角三角形的个数有3个,
故答案为:3.
【点拨】本题考查了直角三角形的判定,务必清楚的两个锐角互余的三角形是直角三角形,
两个短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形.
13
24.3或2或,.
4
【分析】
作BF1A1)于F,根据矩形的性质得到BF=DE=4,DF=BE=1,根据勾股定理用CD表示出AC、BC,
根据勾股定理的逆定理列式计算,得到答案.
【详解】
解:作BF_LAD于F,
则四边形DEBF为矩形,
.,.BF=DE=4,DF=BE=1,
.,.AF=AD-DF=3,
由勾股定理得,AB2=AF2+BF2=25,
AC2=AD2+CD2=}6+CD2,
BC2=CE2+BE2=(CD+4)2+l=C£>2+8CD+16+l,
i^AABC为直角三角形时,AB2+AC2=BC2,
即25+16+CD2=C£)2+8CD+16+1,
解得,CD=3,
如图2,作BH1AD于H,
图2
仿照上述作法,当/ACB=90°时,
由勾股定理得,AB2=AH2+BH'=25,
AC2=AD2+CD2=\6+CD2,
BC2=CE2+BE2=(4-CD)2+\=CD2-SCD+16+1,
由AB2=AC2+BC2W:25=16+CD2+CD2-8CD+16+1,
解得:CO=2,
13
同理可得:当NABC=90°时,CD一.
4
13
综上:8的长为:3或2或一.
4
故答案为:3或2或1?3.
【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,
斜边长为c,那么”2+〃=。2.
25.⑴见解析;⑵AC=4
【分析】
(1)利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD,然后利用勾股定理逆定理可得结论;
(2)首先确定"的长,进而可得切的长,再利用勾股定理进行计算即可.
【详解】
(1)证明:连接CD,
的垂直平分线应分别交48、6c于点以E,
:.CD^DB,
,:Bli-D#=此
:.C0-D#=〃,
:.CI)=ALi+AC,
...△〃》是直角三角形,且/4=90°;
(2)解:♦;18=8,AD:Bg3;5,
:.Ag3、BD=B、
."C=5,
.".AC^yJcD2-AD2=4-
【点拨】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理,熟练掌握勾股定
理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键.
26.(1)见解析;(2)△力笈是直角三角形.理由见解析
【分析】
(1)补充成网格结构,找出点力、B、。的位置,再找出点/、B、C关于y轴的对称点/'、
夕、C的位置,然后顺次连接即可;
(2)利用勾股定理列式求出46、BC、/
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