小学数学教学中运用数学工具的策略

小学数学教学中运用数学工具的策略

数学本身就被看作一种工具，是人类认识这个纷繁复杂的世界的眼睛和钥匙，数学用量

化和逻辑为描述事物的运动变化提供了统•的和严密的基础，并通过不断衍生新的数学分支

来表述人类已经扩展极大和绩效的世界体系提供强大而有力的工具。

•人和动物的区别在于人善于利用工具。

•工欲善其事，必先利其器。

•在数学学习中要善于借助数学工具。

课堂教学的改革要求教师以新的视角去审视“数学工具”的现实内涵，并以发展性的眼

光审读它的价值取向。数学教学是数学活动的过程。数学活动的过程是学生收获知识的过

程，是发展思维的过程，也是培养学生创新能力的过程。因此，教师应努力为学生的数学活

动创造条件，“数学工具”则是学生数学活动的重要媒介，它最大的价值在于可以为学生提

供实践的空间。数字尺子，数轴，坐标系，百格图，方格纸等都是小学数学教学中重要的

基本工具，用好这些“数学工具”，学生便有了“做”数学的机会，用好这些“数学工具”

学生将有机会体验数学、经历数学。

•学生需要的不止是一碗水，一桶水，与其准备一缸水不如帮助学生找到水源。

•学生找不到方向时，与其告诉学生方向不如给他们指南针。

•学生找不到位置时，与其帮助找位置不如给学生一张地图，或者学生会主动去查地

图。

学生在数学学习中，数学工具就是“水源”、是“指南针”、是“地图”，可以带给

学生解决问题的思路、方法和策略。“数学工具”的价值不仅仅在于帮助学生更好地学习数

学知识，还将有助于学生习得数学学习的方法，让学生面对新问题、新挑战时,心中有“招”。

例如在数学教学实践中，数轴、方格纸、坐标系等数学工具就有着广泛的应用：

•数轴：认数、加减法、负数、比较大小、24时计时法、…

•方格纸：平行、垂直、认数、平移、旋转、图形…

•坐标系：数对表示位置、正反比例、统计…

卜面重点介绍方格纸和数轴的使用策略：

一、在小学数学教学中“数轴”的使用策略

关于数轴：虽然小学阶段不学习数轴，但数轴的方法可以下放到小学。作为数形结合

的工具来促进数学教学。灵活应用数轴，能起到化繁为简，事半功倍的效果。数轴的原

型：温度计、直尺、杆秤等。

（-）小学数学中的数轴

1.问题1:什么是数轴？

问题1:什么是数轴？

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

在小学数学中，数轴以很灵活的方式出现。有方向和长度。

各版本教材中都在很多时候运用了“数直线”，下面主要以人教版教材为例。在人教版

教材中，在学生认识数、感受数与数之间关系等重要时机，呈现了丰富的、直观的、有效的

能够促进学生建立数感的学习材料。如认识整数时的实物图；认识分数和小数时的实物图、

线段图等……这些材料都有效地调动了学生的生活经验与认知基础，为学生认识抽象的数，

理解数与数之间的关系提供了重要的感性支撑。

除此之外，在认识乘法、千米的认识、年月日、因数倍数等内容中也都有体现。学生正

式学习数轴是在七年级（初中一年级）“有理数”单元中。教材中写道：一般地，在数学中

人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴

（numberaxis）。它满足：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；

通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取适当的

长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,

3……从原点向左，用类似方法依次表示-1,-2,-3,……。教材中还明确指出：“数

轴的出现对数学的发展起了重要的作用，以它作基础，很多数学问题都可以借助图直观地表

示。”

在小学阶段很长时间的学习中，学生们可能并不知道“数轴”这个名称，或并不清楚它

的准确含义，但他们能够看懂数轴，甚至能够用好数轴。实践中，我们发现数轴能够帮助学

生更深入地认识数,更准确地理解数与数之间的关系，为学生数感的建立起到了积极的作用。

2.问题2:小学认数的范围

问题2：小学认识数的范围

「正整数

「整数-零

有理数JI负整数

I分数［正分数

L负分数

里数和分数统称有理数。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

小学认识有理数和部分无理数。

实数与数轴的对话：

•实数：“我是一个数字王国，包括两个民族，一个是有理数民族，另一个是无

理数民族...”

•数轴：“我是一条平坦的高速公路，不论你往哪边走，都永远走不到尽头.这

条路我只许有理数民族和无理数民族的成员走.一”

3.问题3：在小学数学中数轴可以用在哪里？

问题3：在小学数学中数轴可以用在哪里?

，认数

，加减法

,时间

位置与方向

(1)认数：自然数、分数、小数、负数、百分数、分百小互化

(2)比较数的大小

1.

01234J□78J10

让学生在数轴上填数，这是教材中第一次出现数轴，它比写在直尺上的数更抽象，其目

的是帮助学生进一步巩固io以内数的顺序，以此加深学生对数序的理解。

3读直尺上的数。

01234567891011121314151617181920

此前认数时，直尺是多种实物模型中的一种（除直尺外还有实物图、算珠图等），现在

继小棍（10根一捆）之后，作为认识1广20的一道单独例题。明确要求学生能够把直尺

上的数读出来，有助于学生理解20以内数的顺序和大小。

00.10.20.30.40.5

0.200.020.1500.510.3500.4

学生在学习整数时认识和使用数轴的经验，可以帮助他们借助数轴比较小数的大小。将

小数与数轴上的点-一对应，不仅能够准确地判断小数的大小关系，“大多少”、“小多少”

也能够被学生直观地感受到，这也是数感建立的重要过程。

而且借助数轴比较大小，学生还会自主总结出比较大小的方法。因为在数轴上很容易看

到“数量级”。学生会很明显地看到所有的三位数大于所有的两位数，借助着数轴上自然绑

定的数序，找到数的位置之时，也就比较出了数的大小。

（3）加减法

7.校展数的顺序填数.

60I61I~~I70|75I~~[85-

96867646

学生需要要将计数与图像联系起来，“多一个”就是与计数顺序中的下一个数相联系，

“少•个”则是与计数顺序中的前一个数相联系。向前数（加法的计数策略）和向后数（减

法的计数策略）也能和数轴上的移动（或“跳跃”）联系起来。数轴上的“跳跃”将为以计

数为基础的计算策略提供心理意象。

学生有在数轴上进行加法“跳跃”的经验，在数轴上进行乘法计算，这样的“等距离连

续跳跃”可以帮助学生进一步理解相同加数连加的乘法本质。

•8和9的乘法口诀:

-

16口口口

o9i8[TH~~r"^~~i~~*i

用数轴上的点来呈现乘法结果，不仅是数形结合的一种体现。更能够让学生在计算小动

物“跳跃”过程中，均匀累加的结果。每次跳跃的距离也就是一个单位长度，借助数轴就把

“8”或“9”变成了简单的一个单位。使学生清楚地知道乘法口诀中每个乘积的来源,

并理解相邻两个积之间等差的关系。同时也丰富了学生对数轴的认识，感受到数轴上的点与

数之间的一一对应关系。

大理到前江有517可以俞作500.348可以

手遹？先估计看作350,500-350=150-

大理划丽江大约150千来.'

估算是展现和提升学生数感的重要途径，在这一内容的教学中出示了简易数轴（单位长

度不统一）,学生可以结合数轴将“往大估”与“向右移”相联系，“往小估”与“向左移”

相联系，“离远了”与“差得多”相联系，“离近了”与“差的少”相联系……数轴为学生

多样化的估算策略提供了直观参照。

4）时间

学生对时间的认识和理解需要相当长的过程。时刻、时间两个概念的区分；对两个时刻

之间相隔时间的计算都是教学中的难点。在这个学习过程中学生需要丰富的感知，也需要直

观的手段给予辅助。在三年级《年月日》单元中有这样•幅图：

坐火车从北京到石家庄要用多长时间？

1?igigigi?i?29

开车时赳到达时刻

这个不完整的“数轴”的出现给学生们“帮了大忙”。教学中，很多学生都感到如果想

知道“从上午10时到下午14时经过了多长时间？”似乎除了“掰着手指头数”没有什

么更好的办法了。如果想知道“从上午10时15分到下午14时20分经过了多长时

间？”就算“掰着手指头”也数不清楚了。可一旦画出“数轴”（或称“时间线”）很快就

能“算”清楚了。在数轴上“时刻”是每个点，“时间”就是两个点之间的距离。这两个概

念的不同直观明了地呈现出来。此外，在数轴上每个整时，都能够作为学生对时间进行比较

和计算的标准（或参照）。使得复杂的关系变得简捷明了，抽象的概念变得具体形象。

借助顺序来理解和记忆时间的前后。而且我们说通过时间长轴与数轴的对应，可以在学

习24时计时法时，让学生清晰理解时间的周期性。可以把12时或24时作为一个新的单

位在数轴上呈现。

（二）数轴的特性

•能体现顺序：认数、比较大小、位置与方向

•能体现间隔：加减法、位置与方向

•能体现数量级：认数、比较大小、时间

•能体现周期：认识时间、认数

通过数轴的运用可以有效地渗透：

•数形结合的思想

•对应的思想

•数轴与线段图的关系

•坐标系中的两个数轴

•使成为线性序

•看到间隔

•交集与并集在数轴上的表示

•通过观察数轴确定字母的取值或大小关系

•收集、处理信息的能力

在小学数学教学中“方格纸”的使用策略：

《新课程标准》把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步创新精神和实践能力的

一个重要学习内容。“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形

的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重

要工具。

学生对空间观念的建立不仅需要数学思考，更需要实践感悟。教学中，教师要能够并善

于为学生创造这样的思考空间和感悟条件。教材为教师的教与学生的学提供了大量丰富而有

效的素材.，用以实现对学生空间观念的培养。

（一）小学数学中的“方格纸”

纵观小学数学教材，在与图形相关的内容学习部分，大量地使用了方格（每个小格为正

方形）图和点子图。甚至在《新课程标准》各学段具体内容标准中明确指出“能在方格纸上

画出•个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。通过观察、操作，认识轴对称图形,

并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。”

教学实践中老师们也深感在几何教学中，用好方格图，可以有效地促进学生空间观念的

建立。这一形式对学生学习“空间与图形”部分，以及空间观念的建立会起到怎样的作用？

教师应在教学中怎样用好教材中提供的方格图？又可以怎样创造性地使用方格图，更好地开

发它的价值呢？

1.问题1方格图有哪些形式?

想一想：什么样的图形是平行四边形？在钉

子板上围国看

1O北

9t

8

7

6

5

4

3

2

234567891O

2.问题2:方格图在教材中的应用

教材中对方格图的使用几乎覆盖了小学阶段“空间与图形”的所有平面内容的学习（除

长正方体、圆柱圆锥等立体图形）。教材这样的设计尊重了小学生的认知基础，顺应了小学

生的认知需求，有效地帮助学生建立方位感和距离感，这些也正是发展学生空间观念的重要

途径与组成部分。方格图都可以用在哪里？

■图形的认识

案例1:认识平行与垂直

在四年级上学期《平行四边形和梯形》单元中，学生正式学习“平行”与“垂直”。这

是只限于直线之间的位置关系，是学生继续认识平行四边形和梯形等其它平面图形的知识基

础。教材中的实例主要分为两类：一类是以实物形式呈现出的线与线的关系（如：双杠、公

路的两边……）；另一类是抽象的直线（如：学生绘出的不同关系的直线、用三角板画出的

平行线与垂线……）。这些学习材料可以帮助学生建立正确的平行与垂直的概念。但在实际

教学中，学生对“水平的”或“竖直的”直线关系非常认可。对倾斜的（与水平线有夹角）

的两条线的关系则不太容易认可，常有凭感觉来判断或绘图的现象。于是我设计了这样的练

习：

a.“两条直线是怎样的关系？”

IIIIIIII

tII•t»I•iI«1i・1a

k--UUUUi-l.-l

L-LJLJLLJLIJ这是学生所熟悉的情况，判断的结果异口同声“相互平行”。

b.“情况变化了，下面几幅图中两条线段还互相平行吗？”

IIIIIIIII

1111，:

i-i44-j-Li.i-i-

i_.i44-4-pU-i-

虽然线段的长度发生变化了，方向变成竖直了，但位置关系还都是相互平行的。这组图

帮助学生抛开了“线段长度”、“方向”等非本质因素，对平行关系有了更清晰的认识。

C.”你能画出与下面这条线段有平行关系的线段吗？”

以此帮助学生丰富对不同方向平行关系的理解。

起初大多数学生画出的都是这样的:

并有学生关注到了线段在方格中的位置，借助方格准确地画出了与已知线段有平行关系

的线段。这时方格图发挥了重要的参照作用。

进而又有学生画出了：

---10,-।一--卜-・・卜一•

!\_iJL1\；J1LJ

i\',■十■■\:■一]

1」一L・」N_L_L」__L_L」、

都得到了学生的广泛认可，也展现了学生对概念本质的理解,

d.请你判断下面三组线段是否相互平行？

riiiiiyfli1iii

1!!\7\\\Z\\J5十平

r「!/f",|'[i…r,/一厂

「J」」一反二!」」-/—/二匚

L__L■--L■--L..J----J・--4.1■_/....L..

卜卜一1JJ-1XJfj，卜■._1__-1—

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1—*t—1—«■——♦-—»---一-1----«—

L___\____1_L——L—L.J__1-

此时网格图已然成为了学生判断平行、理解概念的重要依据。学生对平行的认识在逐步

加深，对平行的表象在悄然形成，空间观念得以有效提升。

案例2:圆的认识

案例：圆的认识

案例：圆的认识

画出A、

B两点

都在圆

上的圆。

TA

（2）测量

在《四边形》的教学中，学生学习了周长的概念后有这样的练习，让学生在方格图中深

化对周长概念的理解，同时为发现规律，感受图形联系提供了鲜活的研究素材。再如，《面

积》单元中，借助方格图帮助学生发现规律。感受并发现面积与周长之间的关系。这里的方

格图不仅仅可以提供给学生简单的数据提示，以便成功地发现规律，更能够帮助学生在计算

的基础上建立形的表象，这正是建立空间观念的好时机。在《多边形面积》与实践活动《铺

一铺》中，方格图都发挥了测量标准的重要作用，除了帮助学生发现和总结计算方法，更为

学生理解和感受面积、面积单位、面积单位的个数之间的联系起到了重要的作用。学生在这

样的活动中不仅收获了知识，也积累了测量的意识和方法。

•图形与变换

小学阶段，有关图形与变换内容的学习，二年级上册《观察物体》以及二年级下《图形

与变换》单元中，方格图成为低年级学生学习简单的时称（轴对称）、平移两种图形变换的

重要工具。五年级下册《图形变换》高年级学生对较复杂的轴对称和旋转变换依旧离依赖方

格纸的标准作用。

•位置与方向

在《位置与方向》单元教学中，引用学生熟悉的座位排序，这是学生认识位置的好素材,

这时出现的一些实物图，都是认识方格图的最初事物模型。此外，大量出现的“参照轴”是

简化的平面直角坐标系。成为学生理解位置和方向的直观参照。在这里出现的地图中的经纬

线，更是种方格图的变式，再一次调动学生对方格图中位置的理解和认知基础，更好地感

受和认识较大范围的位置关系。以前对方格图的使用，为这里的学习奠定了坚实的基础。在

高年级位置与方向教学中，明确地引入“数对”。用一对有序数来表示•个点在平面中的位

置。并借助大量方格图帮助学生感受数对与位置之间的一一对应关系，以及数对中两个数的

不同含义。这些不仅仅会成为学生提升空间观念的素材，也会为今后学习平面直角坐标系做

好充分的孕伏。单元明确地引入“数对”。用一对有序数来表示一个点在平面中的位置。并

借助大量方格图帮助学生感受数对与位置之间的•一对应关系，以及数对中两个数的不同含

义。这些不仅仅会成为学生提升空间观念的素材.，也会为今后学习平面直角坐标系做好充分

的孕伏。

（二）方格图的特性

1.方格图为学生建立方向感提供参照——方位感

以往比较关注“方位”的是体育或地理学科，在感受身体活动和认识地理位置的过程中

建立对正确、准确的“方位”概念。其实数学课上对学生方位的建立是空间观念的一部分，

也是不可或缺的重要阶段。在学生建立方位感的初期，方格图上一条条水平和竖直的线，■

组组平行与垂直的关系，将为学生建立方位感提供有力的参照，从而提升学生的空间观念。

2.方格图为学生感受距离提供标准——距离感

在认识图形特征，建立周长和面积概念的时候，点与点之间、线与线之间的距离应该是

引起学生细致关注的要点。而实际测量中必然存在的误差将在定程度上分散学生关注的重

点，躲避不开的细节将给学最初认识图形带来没有必要的干扰。而方格图则很好的解决了这

个问题，有大小相同、整齐排列的方格相衬，“距离”自然而然地走进了学生的心里，被学

生接受和认可。这种自然而然建立起的距离感，促使教学直指概念的核心，帮助学生有效地

建立概念，发展空间观念。

空间观念是义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力所需要的基本要素。空间

观念主要表现为学生主动、自觉或自动化地“模糊”2维和3维空间之间界限的•种本

领，是一种可以把握的能力。能够发展学生空间观念的学习内容主要包括：视图与构造，直

观与推理，观察与投影。通过对具体情景的探索会发现，从不同的角度观察物体、辨别方位、

动手操作、想象、描述和表示、分析和推理等活动是发展学生的空间观念的有效途径。

在小学阶段，主要是通过直观的手段来学习几何初步知识，充分利用和创造各种条件，

使学生在观察、操作等活动中，获得对简单几何形体和平面图形的直观经验。在空间与图

形内容的学习过程中，观察和感知实物是学生学习必不可少的学习经验。但总停留在直观层

面，也不能够很好地完成提升空间观念的任务。由具体向抽象的转变是必要的，方格图在这

个过程中就肩负了由具体到抽象、由模糊到清晰、由粗略到精确、由现象到本质的过渡。在

这个过渡的过程中学生的空间想象力可以得到充分而有序的训练，空间观念的提升也可以自

然而然地落实在每部分的学习之中了。

方格图只是教材众多有效素材中的一类，对方格图进行梳理并不是说它是学生空间观念

建立的唯一途径。但教学实践证明，它的确是一种有效的学习材料。对学生数学思想、数学

方法，甚至是数学能力的培养都有不可估量的价值。教师如果发现了它的价值，能够充分地

用好它，•定能够对学生空间观念的提升起到积极的促进作用。

三.在小学数学教学中其它数学工具的使用策略:

在小学数学中有很多基本的数学工具，如百格图，坐标系，创意图等。百格图也可看成

又一种方格纸。借助百格图可以从两个维度来看数，并可看到很多数字规律。如将百格图变

换列数和行数，还可以在教学乘法口诀时发挥很大作用。

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结语:

希望数学工具成为学生口渴时朝向的水源，借助数学工具去解决问题。把握好基本的数

学工具，运用好数轴和坐标系的度量作用，用数轴生成新的单位去度量长度；用方格纸生成

直尺去量平行，生成移动的尺子去量圆，像坐标系一样去量方向与位置，图形的面积，生成

三角板去量直角，并自己创造特殊角，。灵活画出直观图解决问题。希望学生将数学工具作

为翅膀，惬意地展翅而飞。

互动对话

话题一：“图形的认识”教学中如何有效使用方格纸

小学阶段学生认识的平面图形主要有直边图形（三角形、四边形）和曲边图形（圆）。

其中，直边图形的特征通常是从边和角两个方面来描述的，而圆的特征是到圆心的距离都相

等。基于数学的严谨，平行、长度相等、直角这些都是不能简单通过“观察”就确定的，而

测量过程中的误差总会使一些学生对结论产生怀疑。规整的方格纸则可以让学生通过看就确

定是否平行、垂直、相等的关系，帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，为进一步

学习图形变换和确定物体位置，发展空间观念奠定基础。

话题二：认数时有效借助数轴

数感的培养不应该只是一句空话，学生在学习一类新数时，除了会读、会写、会算以外,

更重要的是建立起对这类数的“感觉”，学生只有对数有了较为准确的“感觉”，才可能主

动地发挥其工具价值进而灵活地解决问题，这正是培养学生数感的目的所在。因而，发挥数

轴的直观特征，帮助学生“找感觉”，是认数教学过程的有效策略之一。

话题三：让孩子经常看到数学工具

小学阶段学生认识的平面图形主要有直边图形（三角形、四边形）和曲边图形（圆）。

其中，直边图形的特征通常是从边和角两个方面来描述的，而圆的要想让数学工具更广泛地

内化为学生们“兜里”随时可以拿出来用的方便工具，除了课堂上教师为其寻找“亮相”的

机会，更要让它们走到学生的身边，走进学生的视线，或是贴于桌面之上、或是悬于教室之

中，总之，让孩子经常能够看到这些数学工具，也是促其理解，主动使用的必要方式。

案例评析

100以内的加、减法练习课

执教：北京小学王伟

课堂实录：

片段一：算一算、找朋友

1.开门见山，引入研究素材

师：同学们，咱们在课堂上学习了100以内的加减法，今天咱们•起上一节

练习课！老师请来一些100以内的数朋友跟大家见面，热情点儿！打个招呼！

贴数字卡片：19、3、16、35、67,51

生：齐读（19、3、16、35,67、51）

2.引导学生通过计算找好朋友

师：（神秘地）这些数可不是随意请来的，里面藏着许多秘密，开动脑筋，你就一定能

发现秘密，我就先发现了：16、19、35,这三个数是好朋友，猜一猜！为什么这样说？

生：19+16=35所以16、19和35是好朋友。

师：真好，你从加法计算的角度发现好朋友，还能从别的角度说吗？

生：35-19=16，所以16、19和35是好朋友

师：不管用加法计算还是减法计算，我们都发现3、16、19是一组好朋友。那在

这些数中，还有这样的好朋友呢，任务交给你们，老师请你们也算一算，找一找。

学生汇报，教师有目的地记录。

3+16=19

19+16=35

35+16=51

51+16=67

师：大家都通过什么发现的好朋友？

生：计算。

师：对，计算帮了我们的大忙。

3.引导学生通过计算发现这列数的规律

师：通过刚才的计算我们再来观察，只有一个数是大家都离不开的好朋友！发现是谁了

吗？

生：16。

师：对，每个算式中都有16!

片段二：数形结合、发现数部队

师：这几个数也很特别，都能跟16成为好朋友，这里到底藏着什么秘密呢？要知道，

我们学过好多好多数，在一起构成了庞大的数家族，咱们走进数家族看一看！（贴尺子图）

师：老师截取了数家族的一段，读一读

生：0、10、20、30、40、50、60、70、80,90、100.......

师：除了标出的这些数，我们学过的100以内数在这里都能找到自己的位置，怎样帮3

找到位置？

生：（跑到黑板前用磁珠确定每个数的位置。）

师：再帮另外这几个数找到位置。

师：你发现什么了？

生：距离都相等（惊叹：真的哎，距离竟然都相等）。

师：带着学生说一遍：3+16=1919+16=3535+16=5151+16=6767+16=83

师：你觉得16像什么？

生：像长官。

生：像司令。

师:知道为什么都跟16是好朋友了吧！16在这列数中起的作用特别大，把从3到67

这几个数联系在一起，就像什么？

生：长官、司令、联络员！

师：是呀，多像个小小联络员，（指数）这些数呢？整齐的排在一起，组成了一支数的

部队，每个数呢？就像一个个小士兵！

师：联络员16一清点，我100以内还有个小士兵没来报道呢，是谁呢？快帮助找

找！

生：87和99。

师：怎么找到的？

生：67+16=83、83+16=99。

师:这支部队的下一个士兵怎样找？你有想法吗？如果尺子足够长的话，还能延长下去,

下个数怎样得到？

小结：加16加16加16就这样加下去，数的队伍越来越壮大……。通过计算，我们

又发现这些数是跟16有关系的一支部队呢，

片段三：调兵遣将、执行任务有收获

师：还有秘密呢？瞧！任务来了。这支部队要派两个兵去完成重要任务，命令来了，

两个数相加必须得8十几的才可以派出去，请你当数司令，你派哪两个？（同桌讨论）

生：汇报67+1983+351+35

师：检查：十位相加果然是8个十，可69加17十位相加才1个是十，怎么也是8

十多？错了吧！

生：没错，是个位向十位进位了。

师：很快找到和是8十几的两个数，你有什么好方法吗？

生：个位不进位，十位相加满80就可以。个位满十，十位相加满70就可以。

师：小结：真好，你们能用学过的估算知识，很快解决问题。

师：算算，和是8十几?86!

师：确定是86?

生：确定！

师：好！掉兵谴将成功！

师：又来一个任务，派两个相减得3十几的数去执行，帮忙找一找。两人一组，讨论

讨论！找到及时记录，派出一组就记录一组。

生：讨论并记录。

师：请你汇报，你派的谁和谁？

生：99-67、83-51、67-35、51-19。

师：短短时间内找得这么快，有什么好方法？

生：找两个数，个位够减，看十位就可以了，十位的相减得3就可以。个位不够减要

考虑退位，十位相减得4就可以了！

师：小结：要考虑个位和十位，判断同学找的对不对？

生：都对了!

师：算算，差是3十几？32!

师：把这些兵派出去吧，（教师板书连线）连99-67=32、83-51、67-35、51-19、

35-3,哎呀，这些数也太神奇了，为什么隔•一个就差32了呢？

生：（讨论）挨着的差16,隔一个就差两个16，就是32!

师：好！说得太好了！教师配合学生的讲解，及时从尺子图上撤下一个点，让学生清楚

看出3和35之间相差两个16,距离更“远”了。

师：今天这节课，我们通过计算发现了这列数中的秘密，其实数学中还有很多秘密，需

要我们去发现，只要你掌握了过硬的计算本领，你就一定能发现更多的秘密！

设计思路：

“100以内的加、减法”无论是新授课还是练习课都容易上得枯燥乏味，尤其是练习

课。如何突破为了练习而练习？如何使计算教学生动有趣并能够渗透数学的思想、使计算教

学更厚重一些？以下是教学的片段以及我们的思考，愿意与大家共同分享。

思考一：创设‘有效’的情境很重要！

这个思考源于备这节课时遇到的困扰。学习了人教版二年级下册《100以内的加、减

法》单元后，我们尝试设计一节练习课，用3、19、35、51、67、83,99……

这串数作为素材来研究。设想打破常态一题一题练习的形式，引导孩子通过计算研究这些

数之间的关系，既巩固算法，又能体会到'计算'在研究问题中的必要性。

这种设计的确是一次尝试，明显不同于以往逐题讲授的模式。开始时的设计没有具体

的情境，就是直接出示几个数，鼓励孩子从这些数中通过计算找朋友、发现关系、接着是研

究估算。毕竟面对的是7、8岁的孩子，一节课试讲下来，发现了很多问题，比如开始学

生还兴趣盎然，学着学着，就没劲头了。听课的老师们一会诊，“数学味儿有余，趣味性不

足”。低年级的孩子，枯燥的研究行不通，要加情境，加上购物的生活情境？那这节课的

很多意图就不好实现，而且感觉都牵强，我陷于两难的困惑中……空空的教室里，我把数

卡片贴在黑板上，站在黑板前苦思冥想，哎！不知不觉，数活起来了，变成了一个个神奇的

小兵、朝我走来，我灵感来了，多整齐的一串部队啊！为什么不在孩子们心中建立一支数的

部队呢？这不也是一种情境吗？事实证明，是更符合这节课设计的情境！

的确，参与课改以来，数学教师尤其是低年级教师习惯创设情境，从中我们尝到了甜头,

但在实践中却也常常遇到困惑，学生的现实生活毕竟是有局限性的，有时我们的‘贴近生活

'很难为抽象的数学概念或知识的学习提供基础，就拿这节计算练习课来说，我就是要让学

生体会到数与计算的关系，感受计算能帮助我们发现秘密，如果非要强加上具体的生活情境

恐怕就很难上出这浓浓的“数学味儿”来，学生对关系的把握恐怕会被削弱。而“数部队”

的情境更贴切，利用生活中部队和数部队的相似性帮助学生来认识数，“数部队”的情境

创设为我们打开了一扇窗，让我们认识到：数学课的情境创设，不是非创设小动物啊、购

物啊等'具体生活情境'这一种，可开拓的领域很大。其实这种做法也是有理论依据的：强

调与现实生活的联系是新轮数学课程改革的个重要特征。但是，数学是模式的科学，而

并非对于具体事物或现象的直接研究，从而也就必然在一定程度上包括了对于现实的超越。

郑毓信先生《国际视角下的小学数学教育》•书的论述给了我们充分的理论依据，提示我

们：创设能达成教学目的的有效情境最重要！练习课如此，其它课也如此！

思考二：计算练习课的教学利于渗透数学思想方法。

计算是一种最基本的数学思想方法，数学的形成和数概念的扩张都离不开计算。著名

数学家华罗庚教授所说的'数缺形时少知觉，形缺数时难入微数形结合的思想在这节

课发挥了两方面的作用，既于关键处帮助了学生思考，又教给了孩子们研究问题的方法。一

直以来我们想体现数形结合，但多认为在高年级的课堂上才好实现，经过这次实践我的眼界

开阔了，低年级同样可以将数与形巧妙结合，尤其在数与计算的内容中可以很好的渗透数形

结合的思想方法。实践中关键是要去找‘数'与'形'的结合点，就如夜赏星空，需要留心去

捕捉璀璨的星光一样。让我们回到课堂上看一看：

在任务的驱动下，孩子们不断地研究、不断地有发现：相邻两个数相差16；相隔两个

数的差是32；除去99,一大一小相加和正好是86……，探究中孩子不断惊叹于自己的

发现，当发现了数部队各数之间的联系后教师追问：“这支部队如果继续壮大下去，后面的

数士兵会是几？”老师的追问打开了孩子思维的闸门，孩子们想到“加16、加16、不断

的往后加……”。

当在“数家族”的大尺子上找到这些数朋友后，有孩子领悟出，3到19,19到35、

35到67……中间的“空”（学生的原话）都是一样的。孩子们在研究数学问题时，能主

动见数思形、见形思数、数形结合去考虑问题。

孩子们的表现告诉我们，练习课，学生用学过的知识来解决问题，老师放手的空间可

以更大，自由发挥的余地更大。因此有更多的机会可以体现数学的思想方法，练习课的教学

完全可以更厚重！

思考三：让孩子们在发现中体验探索的快乐，使计算练习课更加生动有趣！

计算课容易上得枯燥，练习课中为算而算的练习更容易使孩子厌倦，这节练习课孩子却

兴趣盎然，孩子们热情的表现让我们感到了这节课的生动有趣。那我们是通过什么让这节

课变得有趣的？

是发现！爱发现是人的天性，整节课没有一题题机械练习，或是在情景中解决一个又

一个问题，而是不断引领孩子去发现，孩子从发现中体验到了探索的快乐！在“发现秘密”

的吸引下，孩子们不再单纯的为“计算”而“计算”，计算是工具，是研究问题的工具。教

师一句：“掌握了更新的计算方法，你们还能发现更多的秘密！”给了孩子更多自信……所

以尽管整节课没有小动物等情境去贯穿，但孩子们兴趣盎然。

1、12、23、34、……56,67、78……自习课上，几个做完作业的孩子饶

有兴趣的做着数字游戏，一段时间以来，孩子们和数交上了好朋友，数在他（她）们小脑袋

瓜儿中排成了一串串整齐的‘部队’，这支部队通过计算可以不断变幻、有序组合。一节计

算课调动了孩子们探究的欲望。事实告诉我们，在某些方面，由于年龄的原因孩子的幼稚不

可避免，但在某些领域，他们深刻的思维能力、洞察能力更不容我们小看，尤其是我们激发

了孩子们研究的欲望之后。当数的部队在孩子头脑中逐渐壮大时，孩子们大胆的去猜想、

验证、发现规律，这是孩子在研究数学，研究使孩子快乐！

反思这节课，“数部队”的称谓形象亲切，突破了情境创设的局限。提高了学生对数

与计算的整体认识、数与形巧妙结合帮助学生学习。这次研究对我今后备课、上课的启发

也很大，很多时候我们教学中不是没有别的途径，是我们还没有发现更好的途径。这次我们

通过努力让“数部队”牢牢立在孩子心间，其实，数学课堂教学中还有许多领域可突破，就

如全课小结时总结的“数家族还有好多成员，还有好多秘密，需要更扎实的本领！才会发

现这些秘密。”同样，数学计算教学中也还有许多待开辟的领域，等待着我们教师用智慧去

突破。

专家点评：

数学教学是数学活动的教学，王伟老师这节“百以内加减法练习课”通过丰富多彩的

活动形式，让孩子在活动中通过观察、探索、计算，从新的角度了解数、认识数、体验计算

的方法与价值，激发了孩子们学习数的兴趣，提升了对数的认识与理解，为数与计算的学习

开辟了一片新天地。

本节课有以下几个特点：

一、在活动中激发兴趣

从孩子们见到这些数朋友开始，他们就被这些神秘的数朋友吸引住了，因为这些数里藏

着许多秘密，于是，孩子们对学习产生了极大的兴趣，也就自然而然地投入到学习活动中

了。

在学习过程中，教师为孩子们组建了一支•支“数部队”为数赋予了生命，孩子们在调

兵遣将的过程中，进行了加减法的训练。由于在孩子们眼里，每个数都成了一列部队中的活

生生的士兵，所以数也就自然而然地成为了他们的好朋友。

二、在活动中揭示关系

教师在教学中以计算活动为核心，引导学生在计算的过程中找到了一组组数朋友，发现

了每个算式中都有“联络员16”的秘密，在活动中他们感受了数与数之间有着天然的、密

切的联系，在加减法的计算中，它们是相互依存的关系。孩子们利用这种关系，又找到了数

部队中的新成员。如果没有这些学生乐于参与的活动，这些关系是不太容易被发现的。

三、在活动中强化数感

王伟老师以数形结合的活动方式，使学生感受了数与形之间的特殊关系。教师引导孩

子在尺子上找到与数相对应的点，当这些数的位置一经确定，就会自然而然地产生一种距离

感，相等的距离与相等的差使孩子们感受到形中有数、数中有形，体验了数与形的自然融合。

四、在活动中掌握学法

王伟老师组织的学习活动充满了感悟、猜测、验证和推理，孩子们在说自己是怎样想

的，为什么这样做的时候，学习的过程已经成为了潜移默化的渗透学法的过程，在低年级的

数学课堂教学中，这种潜移默化的渗透会对孩子们今后的学习产生积极的影响。

王伟老师的这节练习课，由于老师精心地设计了教学目标、教学环节；又由于老

师积极的评价和耐心的引导，为孩子们创造了情感开放、思维开放的良好学习环境，使我们

的孩子在课堂学习中放飞了思维的翅膀，感受了学习的乐趣，这样的数学课，他们会感受到

学习是快乐的！

思考与活动

1,结合一节课堂教学实例，分析数学工具在小学数学教学中的价值及使用策略。

2.选择恰当内容，设计一节能够显现数学工具有效作用的教学案例

用好方格图，促学生空间观念的建立

于萍

北京小学

摘要：

《新课程标准》把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步创新精神和实践能力的

一个重要学习内容。教学中，教师都在努力为学生提供建立空间观念的时机和空间。笔者纵

观整套小学数学教材（人教版），发现在与图形相关的学习内容中，大量地使用了方格（每

个小格为正方形）图和点子图。教学实践中教师也感到，用好方格图可以有效地促进学生空

间观念的建立。本文对方格图在教材中的分布进行了系统的整理与说明，并进行了系统分析。

试阐述“方格图对学生有效的学习'空间与图形’，以及空间观念的建立所发挥的作用”。

并以此引发了“教师该怎样用好方格图？”、“还可以怎样创造性地使用方格图，更好地开

发其价值？”等一系列的思考与尝试。

主题词：方格图空间观念

《新课程标准》把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步创新精神和实践能力的

一个重要学习内容。“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、儿何体和平面图形

的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重

要工具。

学生对空间观念的建立不仅需要数学思考，更需要实践感悟。教学中，教师要能够并善

于为学生创造这样的思考空间和感悟条件。教材为教师的教与学生的学提供了大量丰富而有

效的素材，用以实现对学生空间观念的培养。

纵观小学数学教材，在与图形相关的内容学习部分，大量地使用了方格（每个小格为正

方形）图和点子图。甚至在《新课程标准》各学段具体内容标准中明确指出“能在方格纸上

画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。通过观察、操作，认识轴对称图形,

并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。”

教学实践中老师们也深感在几何教学中，用好方格图，可以有效地促进学生空间观念的

建立。这一形式对学生学习“空间与图形”部分，以及空间观念的建立会起到怎样的作用？

教师应在教学中怎样用好教材中提供的方格图？又可以怎样创造性地使用方格图，更好地开

发它的价值呢？为了纵观方格图在小学教材中的分布与价值。笔者对教材（人教版为例）中

方格图的使用进行了整理与分析。以此引发教师对方格图价值的关注，更好地发挥其作用，

对促进学生空间观念的立起到积极的促进作用。并尝试创造性地使用方格图，以求更好地挖

掘方格图对学生空间观念建立的价值。

一.在教材中，现有方格图的梳理与分析

在学习图形内容时;教材中大量出现方格图，为学生感受方位，理解图形变换方式以及

认识图形特征创造条件。现将“空间与图形”部分的内容按（1）图形的认识；（2）测

量；（3）图形与变换；（4）图形与位置划分结构。并按第一学段和第二学段对教材内

容进行梳理（重复内容有所删减）并简要分析如下：

第一学段第二学段

•在三年级上册《四边形》单元中，初步认识四边形时，•在四年级上册《平行四边形和梯形》与四年级下《三弁

对平行四边形的认识仅仅停留在直观感受阶段。这时方格纸形》两个单元中比较集中地出现了方格图与点子图。其中点子E

g

所呈现出来的“平行”和“相等”关系成为学生判断的主要依（钉板）是在学生认识方格图的基础上的变式。由于只有点而国

畛

勺据。为学生今后深入研究相关数学概念积累重要的直观经验。少线了，它将为学生提供更大的想象空间。学生要由图形的特彳

人分析顶点的关系，山顶点的位置想象边与边的位置关系，进而W

n识图形。这些都为学生深入理解图形特征，建立空间观念提供.

良好的素材。

2.在下面的点子图上色平行叫边形和梯形,并分别包

出它们的商。

(2).你能画一个与它对称的图形吗？

3.下边的图形是平行四边形吗？怎样改才能成

3.花点子图3画,画。

(1)两个不同的(2)两个不同的

等怪三角形.宜向三角形.

想一想：什么样的图形是平行四边形？在仃

子板上围围看。

请在方格纸上画一个平行四边形。6.在右边的方格纸上画出

一个三角形，它不是等

腰三角形。

•在三年级上册《四边形》单元中，建立学习了周长的概•五年级上册《多边形面积》与实践活动《铺一铺》中，

念后有这样的练习，让学生在方格图中深化对周长概念的理解,方格图都发挥了测量标准的重要作用，除了帮助学生发现和总名

"同时为发现规律，感受图形联系提供了鲜活的研究素材。计算方法，更为学生理解和感受面积、面积单位、面积单位的，

呈

数之间的联系起到了重要的作用。学生在这样的活动中不仅收区

了知识，也积累了测量的意识和方法。

4,你能在下图中围出几种周长是24厘米的长方在方格纸上数一数，然后填写下表。（一个方格代