知识点总结：函数值域的十一种求法

函数值域十一种求法1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数的值域。解：∵∴显然函数的值域是：例2.求函数的值域。解：∵故函数的值域是：2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数的值域。解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例4.求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为例5.求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6.求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7.求函数的值域。解：由原函数式可得：∵∴解得：故所求函数的值域为例8.求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6.函数单调性法例9.求函数的值域。解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例10.求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数的值域。解：令，则∵又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为例12.求函数的值域。解：因即故可令∴∵故所求函数的值域为例13.求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为例14.求函数，的值域。解：令，则由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。例15.求函数的值域。解：由，可得故可令∵当时，当时，故所求函数的值域为：8.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16.求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例17.求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例18.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。91.答案：A解析：y=3-,当x=1时，ymax=2.又在［1，+∞)中是增函数，因此y无最小值，故y∈(-∞,2］.2.答案：C解析：∵3-2x-x2=-(x+1)2+4≤4,∴lg(3-2x-x2)≤lg4.3.答案：B解析：∵y==1-,又2x>0,∴2x+1>1,-1<-<0.∴y∈(0,1).4.答案：B解析：∵x>1,∴x+1x-1+1=(x-1)+1x-1+2≥2+2=4.∴log0.5(x++1)≤log0.54=-2,∴y∈(-∞，-2］.5.答案：B解析：∵y=x2-x+1=(x-)2+≥，y=()1-x>0,y=+1>1且y≠2,y=|log2x2|≥0.6.答案：A解析：∵y=(2-log2x)的值域是（-∞，0），由(2-log2x)<0,得2-log2x>1.∴log2x<1.∴0<x<2.故选择A.7.答案：B解析：y=(x+1)+≥2=2(当且仅当x=时等号成立).8.答案：［-4，5］解析：由32-x2>0知-4<x<4,∴A=［-4，4］.又∵32-x2∈(0，32)，∴B=（-∞，5），A∩B=［-4，5］.9.答案：解析：y==,令t=,则y=,t∈［，2］，当t=或2时，y取最小