抛物线的几何性质高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2抛物线的几何性质理解并掌握抛物线的简单几何性质，达到数学抽象与直观想象核心素养学业质量水平一的层次。掌握利用抛物线的几何性质求其标准方程的方法，达到逻辑推理与数学运算核心素养学业质量水平二的层次。掌握抛物线的几何性质在实际中的应用，达到数学建模与数学运算核心素养学业质量水平二的层次。复习回顾抛物线的定义抛物线的标准方程抛物线的统一格式抛物线：设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.标准方程统一为：y2=mx或x2=ny定直线经过定点形成的图像为过定点F且垂直定直线的直线。x2＝－2py（p＞0）

y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）

环节一抛物线的几何性质思考1：观察下图，你发现以y2=2px为例，抛物线x、y的取值范围是什么？1、抛物线的几何性质

思考2：观察下图，你发现抛物线的对称轴和对称中心是什么？对称轴为x轴无对称中心思考3：观察下图，抛物线与坐标轴交点的坐标是什么？

思考4：那么方程中的p在哪里呢？p表示焦点到准线的距离思考5：如果经过焦点作一条垂直对称轴的直线，与抛物线交于A、B两个点，你能求出|AB|的距离吗？|AB|=2p抛物线的通径为2p1、抛物线的几何性质思考6：那么通径与抛物线的两个交点的坐标是什么呢？p表示通径与抛物线的交点到焦点的距离思考8：p与抛物线的开口大小有关系吗？p越大，开口越大1、抛物线的几何性质思考7：那么p还有什么几何意义呢？

标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py图形性质焦点________________________________准线________________________________范围________________________________对称轴________________顶点________离心率e＝________

x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈Rx轴y轴(0，0)1思考9：若任意给出抛物线上的一个点P（x0,y0），你能求出P（x0,y0）到焦点的距离吗？1、抛物线的几何性质

思考10：如果是其他三种格式呢，你能求出P（x0,y0）到焦点的距离吗？

抛物线的焦半径公式1、抛物线的几何性质抛物线方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py抛物线图像焦半径公式

例1

例2

例3已知点A（0，－1），当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，求线段AB的中点M的轨迹方程.

例4

例4

方法二

如图所示，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为A'，B'，则由抛物线的定义知｜BB'｜＝｜BF｜，｜AA'｜＝｜AF｜.过点A作AE⊥BB'于点E，则｜BE｜＝｜BB'｜－｜AA'｜＝｜BF｜－｜AF｜.

环节二抛物线的焦点弦问题思考11：若现在有一条过焦点的直线，与抛物线交于A（x1,y1）B（x2,y2）两个点，如何表示|AB|呢？1、抛物线的几何性质|AB|=x1+x2+p|AB|=-y1-y2+p|AB|=y1+y2+p|AB|=-x1-x2+p抛物线的焦点弦公式1、抛物线的几何性质抛物线方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py抛物线图像焦点弦公式焦点弦为经过焦点的弦|AB|=y1+y2+p|AB|=-x1-x2+p|AB|=x1+x2+p|AB|=-y1-y2+p例1已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值；

例1已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.（2）若｜AB｜＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.

环节二抛物线的拓展性质1、抛物线中的隐形圆（1）以A/B为圆心，|AF|/|BF|为半径的圆与准线相切思考1：若焦点弦交抛物线于AB两点，你知道这里有多少个隐形圆吗？（2）以|AF|/|BF|为直径的圆，与y轴相切1、抛物线中的隐形圆（3）以AB为直径的圆，与准线相切思考1：若焦点弦交抛物线于AB两点，你知道这里有多少个隐形圆吗？（4）以AB在准线上的投影MN为直径的圆与焦点弦相切标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py图形性质焦点________________________________准线________________________________范围________________________________对称轴________________顶点________离心率e＝________

x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈Rx轴y轴(0，0)1抛物线方